初中平方根知识讲解

1、平方根根底【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根规定0的算术平方根还是0；的算术平方根记作，读作“的算术平方根，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区

2、别与联系1区别：1定义不同；2结果不同：和2联系：1平方根包含算术平方根；2被开方数都是非负数； 30的平方根和算术平方根均为0要点诠释：1正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根2正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、以下说法错误的选项是A.5是25的算术平方根 B.l是

3、l的一个平方根 C.的平方根是4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项A.因为5，所以本说法正确；B.因为±±1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为±±±4，所以本说法错误；D.因为0，0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题举一反三：【变式】判断以下各题正误，并将错误改正： 1没有平方根 2 3的平方根是 4是的算术平方根 【答案】 ；×； ； ×， 提示：2；4是的算术平方根2、 填空：1是 的

4、负平方根 2表示 的算术平方根， 3的算术平方根为 4假设，那么 ，假设，那么 【思路点拨】3就是的算术平方根，此题求的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被外表现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】以下说法中正确的有 ：3是9的平方根 9的平方根是34是8的正的平方根 是64的负的平方根A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B；提示：是正确的.【变式2】求以下各式的值：13 2 3 4【答案】115；215；30.3；43、使代数式有意义的的取值范围是_ 【答案】；【解析】10，解得.【

5、总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.举一反三：【变式】代数式有意义，那么的取值范围是 【答案】.类型二、利用平方根解方程4、求以下各式中的.1 2； 3【思路点拨】外表上看此题是一元二次方程，但是此题可以通过开平方的方法2小题将看作一个整体，3小题将看作一个整体，求出它们的解后，再求.【答案与解析】解：1 2 1±17 16或18.3 【总结升华】此题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最根本方法.23小题中运用了整体思想分散了难度.类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米求长和宽各是多少米？【答案

6、与解析】解：设宽为，长为3， 由题意得，·31323 31323 21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.提高【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、假设24与31是同一个正数的两个平方根，求的值【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2431，解方程即可求解【答案与解析】解：依题意得 2431，解得1；的值为1【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数举一反三：【变式】21与2是的平方根，求的值.【答案】21与2是的平方根，所以21与2相等或互为相

7、反数.解：当212时，1，所以当2120时，1，所以2、为何值时，以下各式有意义？(1)； (2)； (3)； (4)【答案与解析】解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义(2)由题意可知：，所以时，有意义(3)由题意可知：解得：所以时有意义(4)由题意可知：，解得且所以当且时，有意义【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义举一反三：【变式】，求的算术平方根【答案】解：根据题意，得那么，所以2， ，的算术平方根为类型二、平方根的运算3、求以下各式的值(1)；(2

8、)【思路点拨】1首先要弄清楚每个符号表示的意义.2注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)；(2)【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据来解类型三、利用平方根解方程4、求以下各式中的.1 2； 3【答案与解析】解：1 2 1±17 16或18.3 【总结升华】此题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最根本方法.23小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求以下等式中的：1假设，那么_； 2，那么_；3假设那么_； 4假设，那么_【答案】1&

9、#177;1.1；2±13；3；4±2.类型四、平方根的综合应用5、是实数，且，解关于的方程【答案与解析】解：、是实数，3，把3，代入，得24，6【总结升华】此题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出、的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可举一反三：【变式】假设，求的值【答案】解：由，得，即，当1，1时，当1，1时，6、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3 (0) ，那么宽为2，依题意得 . . . 0， . 长方形纸片的长为. 5049, .