初中数学人教版第二十二章二次函数的知识点和典型例题

1、初中数学人教版第二十二章二次函数的知识点和典型例题初中数学人教版第二十二章二次函数的知识点和典型例题:² 相关概念及定义Ø 二次函数的概念：一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数Ø 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项² 二次函数各种形式之间的变换Ø 二次函数用配方法可化成：的形式，其中.Ø 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.² 二次函数解析

2、式的表示方法Ø 一般式：，为常数，；Ø 顶点式：，为常数，；Ø 两根式：，是抛物线与轴两交点的横坐标.Ø 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.² 二次函数图象的画法Ø 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，假设与轴没有交点，那么取两组关

3、于对称轴对称的点.Ø 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.² 二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值² 二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值² 二次函数的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增

4、大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值² 二次函数的性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值² 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.Ø 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.Ø 对称轴：平行于轴或重合的直线记作.特别地，轴记作直线.Ø 顶点坐标：Ø 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是

5、顶点的位置不同.² 抛物线中，与函数图像的关系Ø 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小Ø 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，

6、即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置总结：Ø 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的² 求抛物线的顶点、对称轴的方法Ø 公式法：，顶点是，对称轴是直线.Ø 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.Ø 运用抛物线的对称性：由于

7、抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.² 用待定系数法求二次函数的解析式Ø 一般式：.图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.Ø 顶点式：.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.Ø 交点式：图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.² 直线与抛物线的交点Ø 轴与抛物线得交点为(0, ).Ø 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).Ø 抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交

8、点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点顶点在轴上抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.Ø 平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，那么横坐标是的两个实数根.Ø 一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.Ø 抛物线与轴两交点之间的距离：假设抛物线与轴两交点为，由于

9、、是方程的两个根，故² 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达Ø 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；Ø 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；Ø 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是；Ø 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是Ø 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是Ø 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一

10、定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式² 二次函数图象的平移Ø 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：Ø 平移规律 在原有函数的根底上“值正右移，负左移；值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减² 根据条件确定二次函数表达式的几种根本思路。Ø 三点式。1，抛物线y

11、=ax2+bx+c 经过A，0，B，0，C0，-3三点，求抛物线的解析式。2，抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A2，3，求抛物线的解析式。Ø 顶点式。1，抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A2，1，求抛物线的解析式。2，抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为3，1，求抛物线的解析式。Ø 交点式。1，抛物线与 x 轴两个交点分别为3，0,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2，抛物线线与 x 轴两个交点4，0，1，0求抛物线y=a(x-2a)(x-b)的解析式。Ø 定点式。1，在直角坐标系中，不管a 取何值，抛物线经过x 轴上一定点

12、Q，直线经过点Q,求抛物线的解析式。2，抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。Ø 平移式。1， 把抛物线y= -2x2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。2， 抛物线向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.Ø 距离式。1，抛物线y=ax2+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2，抛物线y=m x2+3mx-4m(m0)

13、与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。Ø 对称轴式。1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。2、 抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B点A在点B左边两点，交 y轴于点C,且OB-OA=OC，求此抛物线的解析式。Ø 对称式。1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A-10，0，AC=16，D2，6。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2， 求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴或

14、x轴对称的抛物线的解析式。Ø 切点式。1，直线y=ax-a2(a0) 与抛物线y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A2，1,求抛物线的解析式。Ø 判别式式。1、关于X的一元二次方程m+1x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。2、 抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。3、抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。二次函数测试题一、选择题每题3分，共30分1.抛物线的对称轴是 A

15、直线B直线C直线D直线2对于抛物线，以下说法正确的选项是 A开口向下，顶点坐标B开口向上，顶点坐标C开口向下，顶点坐标D开口向上，顶点坐标3.假设A，B，C为二次函数的图象上的三点，那么的大小关系是( ) ABCD4.二次函数的图象与轴有交点，那么的取值范围是( )ABC D5抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A B C D6烟花厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，假设这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，那么从点火升空到引爆需要的时间为ABCDxy24820 7.如下列图是二次函数的图象在轴上方的一局部，对于这

16、段图象与轴所围成的阴影局部的面积，你认为与其最接近的值是 A4BC D8.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影局部铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长应分别为 AB CD9如图，当0时，函数与函数的图象大致是 O1xy10.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像如下列图,以下结论正确的选项是( )Aac0 B当x=1时,y0C方程ax2+bx+c=0(a0)有两个大于1的实数根D存在一个大于1的实数x0,使得当xx0时,y随x的增大而减小; 当xx0时,y随x的增大而增大.二、填空题每题3分，共18分10.平移抛物线

17、，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式 .11. 抛物线的图象经过原点，那么 .xyO12.将化成的形式为 .13.某商店经营一种水产品，本钱为每千克40元的水产品，据市场分析，假设按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元时，获得的利润最多.14.二次函数的图象如下列图，那么点在第 象限15.二次函数的局部图象如右图所示，那么关于的一元二次方程的解为 16老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当2时，随的增大而减小.丙：函数的图像与坐

18、标轴只有两个交点.这三位同学表达都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数_.三、解答题第17小题6分，第18、19小题各7分，共20分17.一抛物线与x轴的交点是、B1，0，且经过点C2，8。1求该抛物线的解析式；2求该抛物线的顶点坐标。18. 抛物线的局部图象如下列图.1求c的取值范围；2假设抛物线经过点，试确定抛物线的解析式；19二次函数的图象如下列图，根据图象解答以下问题：1写出方程的两个根；2写出随的增大而减小的自变量的取值范围；3假设方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.四、第小题8分，共16分20.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化1求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？21某商场将进价为30元的书包以40元售出， 平均每月能售出600个，调查说明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。1请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数关系式；2设每月的利润为10000的利润是否为该月最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时书包的售价应定为多少元。3请分析并答复售价在什么范围内商家就可获得