概率论与数理统计+统计规律

1、1 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科. 随机现象的随机现象的只有在相只有在相同的条件下进行同的条件下进行试验时才会呈现出试验时才会呈现出来来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该的法则，应该.概率论与数理统计概率论与数理统计2v在实践中，不仅在实践中，不仅具有具有，还有大量，还有大量也具有也具有大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率虚词使用频率虚词使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率概率论与数理统计概率论与数理统计3切比雪夫不等式在切比雪夫不等式在数学上解释数学上解释了了

2、方差能刻画方差能刻画随机变随机变量取值的量取值的离散程度离散程度，即方差越小，即方差越小，X偏离其数学期偏离其数学期望望的概率越小，从而取值集中的概率越小，从而取值集中在附近。在附近。1222XE(X)= ,D(X)= ,P X - 0，有概率论与数理统计概率论与数理统计1|limpnnPAnv在数学上说明了，在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的.8对随机现象进行大量重复试验，则试验的结果是有规律的对随机现象进行大量重复试验，则试验的结果是有规律的试验者试验者抛掷次数抛掷次数 正面次数正面次数 正面频率正面频率Buffon404020480.5069Pearson120006

3、0190.5016Pearson24000120120.5005计算机计算机2400001199280 .4997计算机计算机0 .50002概率论与数理统计概率论与数理统计正面概率：正面概率：0.59概率论与数理统计概率论与数理统计v有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机变量的综合影响所形成的，而其中每个个别的因素作用都很小，这种随机变量的极限分布极限分布就是正态正态分布分布。v它在长达两个世纪的时期内曾是概率论研究的中中心课题心课题，称为10v设随机变量X1,X2,Xn相互独立，服从同一分布，且E(Xi)=,D(Xi)=2,则概率论与数理统计概率论与数理统计21212nitxinXn

4、lim Pxedtn*(0,1),.nZNn 1,nniiZX令则11v(德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理)设随机变量X1,X2,Xn相互独立，服从0-1分布，E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p),则概率论与数理统计概率论与数理统计2121(1)2nitxinXnplim Pxedtnpp*(0,1),.nZNn 1,nniiZX令则( ,)nZB n p12v已知 ，求 为：概率论与数理统计概率论与数理统计1niiXX1()niiP aXbv确认n足够大，一般要求n。v求出1()()niiiEXnE X1()()niiiDXnD X：v代入*()()(),.()()()XE XaE

5、 XbE XXXD XD XD X则()()()()().()()bE XaE XP aXbD XD X 13 同型号的螺丝钉100个，该型号钉的重量是一个随机变量，期望是100g，标准差是10kg,求该盒钉重量超过10.2kg的概率。概率论与数理统计概率论与数理统计1001iiiXXX则该盒钉的重量为,且相互独立，,1,2,.,100.iiX i 解：记第个 钉的重量为10021()()100()100 10 ,iiiD XDXD X1001()()100()100 100,iiiE XEXE X14 同型号的螺丝钉100个，该型号钉的重量是一个随机变量，期望是100g，标准差是10kg,求

6、该盒钉重量超过10.2kg的概率。概率论与数理统计概率论与数理统计*()(0,1),()XE XXND X由中心极限定理，*10200()10200()()= (+ )- ()=1- (2).()()E XE XPXD XD X 所求概率为15 设某种发光二极管的寿命服从期望为100小时的指数分布，现随机取得160只，设它们的寿命是相互独立的,求这160只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。概率论与数理统计概率论与数理统计1160,(),1,2,.,160.100iiX Xei解：记只电器元件的寿命分别为16021()()160 ()160 100 ,iiiD XDXD X1601()()

7、160 ()160 100,iiiE XEXE X1601160iiXX则只电器元件的寿命总和为,且Xi相互独立，16 设某种发光二极管的寿命服从期望为100小时的指数分布，现随机取得160只，设它们的寿命是相互独立的,求这160只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。概率论与数理统计概率论与数理统计*1920()1920()()= (+ )- ()=1- (0.8).()()E XE XPXD XD X 所求概率为*()(0,1),()XE XXND X由中心极限定理，17 计算机进行运算时对小数点后第一位四舍五入，误差XU-0.5,0.5,若运算100次，求平均误差落在-3/20, 3/

8、20的概率。概率论与数理统计概率论与数理统计, 0.5,0.5,1,.,100.iiiXXUi解：记第 次的误差为则1001iiiYXX则总误差为,且相互独立，1001( )()100()100 0=0,iiiE YEXE X10011( )()100()100,12iiiD YDXD X18 计算机进行运算时对小数点后第一位四舍五入，误差XU-0.5,0.5,若运算100次，求平均误差落在-3/20, 3/20的概率。概率论与数理统计概率论与数理统计所求概率为*5 3( )5 3( )()=( )( )5 3( )5 3( )()- ()= (3)- (-3).( )( )E YE YPYD

9、 YD YE YE YD YD Y*( )(0,1),( )YE YYND Y由中心极限定理，332010020Y而19 公司有200名员工参加考试，通过率为0.8，求至少有150人通过考试的概率。概率论与数理统计概率论与数理统计,(1,0.8),1,.,200.iiiXXBi 解：记第 个员工是否通过为则2001iiiXXX则考试通过人数为,且相互独立，2001()()200()2000.8,iiiE XEXE X2001()()200()2000.8 (10.8),iiiD XDXD X20 公司有200名员工参加考试，通过率为0.8，求至少有150人通过考试的概率。概率论与数理统计概率论

10、与数理统计*150()150()()=1- ()()()150()1- ()=1- (-1.77)= (1.77).()E XE XP XP XD XD XE XD X *()(0,1),()XE XXND X由中心极限定理，150X 而所求概率为21 保险公司要求被保险人每年交保险费160元，若期间发生重大事故，可获2万赔金，已知该市人员发生重大事故概率为0.005，现有5000人参保，求收益在20万到40万元的概率。概率论与数理统计概率论与数理统计2030X,(1,0.005),1,.,5000.iiiXXBi 解：记第 个参保人是否事故为则50001iiiXXX则需要赔金的人数为,且相互

11、独立，50001()()5000()5000 0.005=25,iiiE XEXE X50001()()5000()5000 0.005 (1 0.005),iiiD XDXD X2000005000 160-20000400000,X收益22 保险公司要求被保险人每年交保险费160元，若期间发生重大事故，可获2万赔金，已知该市人员发生重大事故概率为0.005，现有5000人参保，求收益在20万到40万元的概率。概率论与数理统计概率论与数理统计*()(0,1),()XE XXND X由中心极限定理，*20()30()()()E XE XXD XD X而*20()30()()(1)- ( 1)=

12、2 (2)-1=0.6826.()()E XE XPXD XD X 所求概率为23v我们之前学会了可用一个连续型随机变量及其密度函数去描述2005年全国新生婴儿的体重。如果完全知道了密度函数密度函数，就可以计算一个婴儿的体重在某个范围的概率以及全国新生婴儿的平均体重和体重的标准差等数字特征数字特征，从而更清楚的了解全国新生婴儿的整体状况。但问题是如何求得体重的密度呢？概率论与数理统计概率论与数理统计24v在数理统计学中把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的各个单元称为个体。实际问题关心的往往是总体某方面的数量特征，它是一个随机变量。所以统计学认为，总体总体就是一个随机变量随机变量X，它的分布

13、称为总体分布总体分布。数理统计的基本问题就是推断总体的分布。概率论与数理统计概率论与数理统计v数理统计的基本问题就是推断总体的分布。数理统计的基本问题就是推断总体的分布。25v一般地，在概率论中，随机变量的分布通常是假定已知的，概率问题大都是由已知的分布去求概率或数字特征等。但实际中怎样才能知道随机变量的分布呢？概率论与数理统计概率论与数理统计v有没有必要把一锅汤喝完？v日常生活中我们在煲汤时，如何评估一锅汤的味道？v舀一勺汤来品尝，从而推测整锅汤的味道的方法称为。26v为此，我们从所要研究的对象全体中抽取部分进行观测（即抽样调查）以取得信息，进而对整体作出推断。概率论与数理统计概率论与数理统

14、计v从总体X中抽取部分个体，称为抽样抽样，即是对X进行若干次观测，得到的就是n个随机变量X1,X2, Xn ，称为，其中n为样本容样本容量量，样本中的个体称为样品样品,样本观测值称为样本值样本值。27v为使样本具有充分的代表性，常进行简单简单随机抽样随机抽样，即要求：概率论与数理统计概率论与数理统计v样本有随机性样本有随机性：总体中每个个体入选的机会相等，即每个样品与总体同分布；v样本有独立性样本有独立性：每次抽样的结果不影响其它各次抽样的结果，即相互独立。v简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本简单随机样本。从总体中进行有放回抽样，是简单随机抽样，得到简单随机样本。当总体容量很大而样本容量较小时，可近似看作有放回抽样，从而得到简单随机样本。28v设总体分布为F(X),又因样本 X1,X2, Xn 相互独立，其联合分布函数为概率论与数理统计概率论与数理统计11( ,)( )nniiF xxF xv设总体密度为PX=xi=p(xi),又因样本 X1,X2, Xn 相互独立，其联合密度函数为11( ,)( )nniif xxf xv设总体密度为f(X),又因样本 X1,X2, Xn 相互独立，其联合密度函数为111,.,( )nnniiP XxXxp x29v设X1，X2，Xn为来自总体X的一个样本，g( X1，X2，Xn