张璞扬热学-4

1、1 微观微观（统计物理）（统计物理）2第四章第四章 气体动理论气体动理论1、热运动与热现象的微观理论热运动与热现象的微观理论2、理想气体压强、温度的统计解释、理想气体压强、温度的统计解释3、麦克斯韦分布律及其应用、麦克斯韦分布律及其应用4、玻耳兹曼分布律、玻耳兹曼分布律5、能量均分定理与理想气体的热容量、能量均分定理与理想气体的热容量6、熵的统计意义与笫二定律的微观解释、熵的统计意义与笫二定律的微观解释目目 录录3 宏观物体由大数分子宏观物体由大数分子(原子原子)组成组成; 分子本身有大小分子本身有大小;分子分子之间存在一定的间隙之间存在一定的间隙. 1. 分子观点分子观点一、热运动与热现象的

2、微观理论一、热运动与热现象的微观理论 气体分子动理论对个别分子的运动应用力学规律，对大量分气体分子动理论对个别分子的运动应用力学规律，对大量分子的集体行为则应用统计平均的方法，依据从大量微观粒子运子的集体行为则应用统计平均的方法，依据从大量微观粒子运动的统计平均结果研究宏观物体热的性质。动的统计平均结果研究宏观物体热的性质。1原子质量单位原子质量单位（u）=1.66055655kg2710 1个个 分子的质量分子的质量 m=uMr rM （ 分子量）分子量） 1mol物质的质量物质的质量131012012. 0 molkgMuMurr 42. 分子运动观点分子运动观点 组成物质的分子在永不停息

3、地作组成物质的分子在永不停息地作无规则运动无规则运动, 此运动与气体温度密此运动与气体温度密切相关切相关, 称热运动称热运动.证据：布朗运动、扩散现象、掺杂等证据：布朗运动、扩散现象、掺杂等布朗热运动布朗热运动1mol任何物质包含的分子数目任何物质包含的分子数目1233310022045. 61010 moluuMMmNrrA 物体单位体积内的物体单位体积内的 分子数分子数ArANMNn310 5分子间有相互作用力分子间有相互作用力, 此力为短程力此力为短程力, 引力、斥力视距离而定引力、斥力视距离而定3. 分子力观点分子力观点常用的半经验公式：常用的半经验公式： tsrrfts : :两个分

4、子之间的相互作用势两个分子之间的相互作用势r0 : :分子半径分子半径 10 -10 m平衡位置平衡位置R: :有效作用距离有效作用距离 10-9mrV(r)o斥力斥力引力引力2r0-RV(r)6 通常条件下，分子间的引力很小，作为近似可以忽略，但通常条件下，分子间的引力很小，作为近似可以忽略，但当分子非常靠近时，则分子间的强大斥力是不可忽略的，故常当分子非常靠近时，则分子间的强大斥力是不可忽略的，故常把气体分子简化为刚球分子模型。其分子相互作用势能把气体分子简化为刚球分子模型。其分子相互作用势能 与与r关系为关系为pdrdrp 0 d0r8 p 当气体分子间引力不能忽略，则常采当气体分子间引

5、力不能忽略，则常采用苏则朗（用苏则朗（Sutherland）分子力模型）分子力模型drrdrtp d0r87、热运动的混乱无序性、热运动的混乱无序性 混乱与无序是大量分子热运动的基本特征。一个孤立系混乱与无序是大量分子热运动的基本特征。一个孤立系统，其内部大量分子热运动的状态，总是趋向于最无序最统，其内部大量分子热运动的状态，总是趋向于最无序最混乱的状态。混乱的状态。Zv 气体分子在运动中常与其他分子碰气体分子在运动中常与其他分子碰撞撞. 气体动理论中常用气体动理论中常用平均自由程平均自由程 和和平均碰撞频率平均碰撞频率 两个概念来描述两个概念来描述. Znd221 推导推导（如图）（如图）:

6、 设想一个分子设想一个分子A以平均速率运动以平均速率运动 ，其他气体分子静止不动，其他气体分子静止不动.u8s sdu_ddA统计理论计算统计理论计算vu2 nvdnvZ222 s s pdkTndZv22221 对空气分子对空气分子 ： d 3.5 10 -10 m标准状态下标准状态下 ： Z 6.5 10 9 , 6.9 10 -8 m 1 ss sunZ 单位时间内分子单位时间内分子 A 走过的曲走过的曲折圆柱体体积为折圆柱体体积为 s s,圆柱体的横圆柱体的横截面积截面积s s 叫碰撞截面叫碰撞截面 ，则则us s = d29、统计规律性、统计规律性 由大量热运动分子组成的宏观物体系统

7、，在一定宏观条件由大量热运动分子组成的宏观物体系统，在一定宏观条件下系统所处的微观状态都是随机的，但每个随机事件出现的概下系统所处的微观状态都是随机的，但每个随机事件出现的概率却是一定的，取值与随机事件一一对应的任何量的统计平均率却是一定的，取值与随机事件一一对应的任何量的统计平均值也是一定的。值也是一定的。这种规律性称之为统计规律性这种规律性称之为统计规律性.随机现象的笫随机现象的笫i个随机事件出现的概率个随机事件出现的概率ifNNfiNi lim随机现象概率应满足随机现象概率应满足归一化条件归一化条件1limlim NNNNfiNiiNii某一物理量某一物理量p的宏观量是相应微观量的宏观量

8、是相应微观量 的统计平均值的统计平均值ippiiiiiiNfppNNp 1lim统计分布的最直接应用就是求平均值。统计分布的最直接应用就是求平均值。101、建立建立理想气体模型理想气体模型（1） 宏观模型宏观模型满足气体实验三定律或满足理想气体状态方程的宏观气体系统满足气体实验三定律或满足理想气体状态方程的宏观气体系统.（2） 微观模型微观模型二、理想气体压强、温度的统计解释二、理想气体压强、温度的统计解释理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作用理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作用的遵守经典力学规律的弹性质点的遵守经典力学规律的弹性质点.分子个体的力学性质假设：分子个体的力学性质假设：

9、1) ，分子视作质点，分子视作质点;2) 除碰撞瞬间除碰撞瞬间, 分子力为零分子力为零; 两次碰撞之间两次碰撞之间, 分子作惯性运动分子作惯性运动;3) 分子与分子、分子与器壁碰撞为弹性碰撞分子与分子、分子与器壁碰撞为弹性碰撞;4) 不计分子所受的重力不计分子所受的重力;d 11分子集体的统计假设分子集体的统计假设(平衡态时平衡态时)3vvvvzyx iiixiixnvnv32222vvvvzyx iiixiixnvnv22 分子向各方向运动机会均等；分子向各方向运动机会均等； 分子数密度分布均匀；分子数密度分布均匀； 分子速度在各方向分量平均值相等分子速度在各方向分量平均值相等22zyzyv

10、vvv、有同样类似的表达式有同样类似的表达式122、理想气体压强公式的推导、理想气体压强公式的推导研究对象研究对象: 容器内充以密度为容器内充以密度为n的理想气体。的理想气体。平衡态平衡态: 各处各处p 相同相同, 故仅研究某一器壁面元故仅研究某一器壁面元 。S 认为：认为：压强是大量分子碰撞器壁，在单位时间内作用于单压强是大量分子碰撞器壁，在单位时间内作用于单位面积器壁的平均冲量，即位面积器壁的平均冲量，即dtdSdIp xiS iviv 先考虑一种速度为先考虑一种速度为 的分子的分子 撞击撞击器壁一次时给器壁一次时给 面元的冲量为面元的冲量为:ixixiximvmvmvI2)(ivS 13

11、单位时间内速度为单位时间内速度为 的分子对面元的分子对面元 的冲量为的冲量为:ivS SvmnmvSvnixiixixi 222 单位时间内单位时间内 受各种速度的气体分子碰撞而得到的冲量为受各种速度的气体分子碰撞而得到的冲量为:S SvmnIixviixix 202取消上式求和中取消上式求和中 的限制，则的限制，则0 ixvSvnmSvnnnmxiixi 22SvmnIixii 222114KnSISFp 32 故理想气体压强公式为故理想气体压强公式为问题：试用类似的方法，推导一只球形容器的压强公式。问题：试用类似的方法，推导一只球形容器的压强公式。SnSvmnK 3221322knvnmp

12、 32312 即即 压强公式将宏观量压强公式将宏观量p与统计平均值与统计平均值n与与 联系起来联系起来, 典型典型地显示了宏观量与微观量的关系及地显示了宏观量与微观量的关系及.压强的统计意义。压强的统计意义。K SvnmI 231152、理想气体的温度公式、理想气体的温度公式由状态方程和压强公式：由状态方程和压强公式：nkTp knp 32 温度的统计意义：从微观角度看温度的统计意义：从微观角度看, 温度是分子动能温度是分子动能 大小的大小的量度量度, 表征大量气体分子热运动剧烈程度表征大量气体分子热运动剧烈程度, 是一统计平均值是一统计平均值, 对个对个别分子无意义。别分子无意义。k kTk

13、23 得：得：由此得由此得kTvm23212 mkTv32 16例题例题4-1 推导道尔顿定律推导道尔顿定律: 同一容器中同一容器中, 有几种不发生有几种不发生化学反应的气体化学反应的气体,当它们处于平衡态时当它们处于平衡态时, 总压强等于各总压强等于各气体压强之和气体压强之和.解：解：处于平衡态时温度处于平衡态时温度T 相同相同 321 321nnnn iip)nnn(np 3213232得证得证17例题例题4-2 试求氮气试求氮气温度分别为温度分别为t =1000和和t =0时，时， 分子分子的平均平动动能和方均根速率的平均平动动能和方均根速率?m/s1006. 11028127331.

14、8333332 RTmTvJ1063. 212731038. 123232023 kT 解解: 1) 在温度在温度t =10000C时时2) 同理在温度同理在温度t=00C时时J1065. 52731038. 123232123 kT m/s493102827331. 83332 RTv18三、麦克斯韦分布律及其应用三、麦克斯韦分布律及其应用kTvmk23212 由理想气体的温度公式：由理想气体的温度公式： 可知可知: 温度温度T 一定时一定时, 大量分子的方均根速率是确定的大量分子的方均根速率是确定的. 虽然单虽然单个分子的速率取偶然值个分子的速率取偶然值, 但大量分子的速率满足一定的统计规

15、律但大量分子的速率满足一定的统计规律.1、气体分子速率分布函数、气体分子速率分布函数 设设分子可能的速率值分子可能的速率值:.,.,21ivvv3v2v1 iviv1vv取速率区间取速率区间:,121vvv ,1iiivvv 19则则 Ni/N 表示第表示第i个速率间隔中的分子数占总分子数的百分个速率间隔中的分子数占总分子数的百分比或表示单个分子速率值落在区间内的概率。比或表示单个分子速率值落在区间内的概率。使使: ivvv 21实验结果实验结果（伽尔顿板实验伽尔顿板实验）表明：表明： 平衡态时平衡态时, 分布在不同区间的分布在不同区间的 不同的不同的, 但但 Ni/N却是完全却是完全确定的。

16、当确定的。当 v0时时, Ni/(N v)与与 v无关无关, 仅是仅是v 的连续函数的连续函数。 该函数称为该函数称为速率分布函数速率分布函数vNNvNNvfvdd1)(lim0 Ni20伽尔顿板实验伽尔顿板实验实验所得分布曲线实验所得分布曲线21 物理意义物理意义：速率在速率在v 附近的单位速率间隔内的分附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比子数占总分子数的百分比, 或某分子速率出现在或某分子速率出现在v 附近的单附近的单位速率间隔内的概率位速率间隔内的概率.)(vfNNvvfdd)( 满足归一化条件：满足归一化条件：1d)(0 vvf 如果确定了速率分布函数如果确定了速率分布函数

17、，就可以用积分的方法求出分布，就可以用积分的方法求出分布在任一有限速率范围在任一有限速率范围 内的分子数占总分子数的比率内的分子数占总分子数的比率 vf21vv dvfNNvvv 2122 对于与气体热运动速率有关的物理量对于与气体热运动速率有关的物理量 ，其平均值为，其平均值为 dvfFdNFNFvvvvv 001 vF问题问题：已知已知f(v)是速率分布函数是速率分布函数, 说明以下各式的物理说明以下各式的物理 意义：意义： 21vvdv)v(Nf dvfv dvnfv 21vvdv)v(f 21vvdv)v(vf 12vdv)v(fv23 2、麦克斯韦速率分布率和速度分布率、麦克斯韦速率

18、分布率和速度分布率 Maxwell在在1859年发表论文年发表论文气体动力理论的说明气体动力理论的说明，其，其速度分布率及速率分布率的推导思路如下：速度分布率及速率分布率的推导思路如下：麦克斯韦速率分布率表达式为麦克斯韦速率分布率表达式为kTmvvevkTmNdvdNvf2/22/32)2(4)( kTmvzyxvvvekTmdvdvNdvdNvFzyx2/2/3,2)2()( 麦克斯韦速度分布率表达式为麦克斯韦速度分布率表达式为24 以以 表示速度分量表示速度分量vx在在vx+dvx之间的粒子数，用分之间的粒子数，用分布函数布函数g(vx)表示在单位表示在单位vx区间区间d vx宽度内出现的

19、概率，则宽度内出现的概率，则xvdNxxvdvvgNdNx)( zzvdvvgNdNz)( yyvdvvgNdNy)( 同理有同理有 假设三个概率是彼此独立的，则粒子同时出现在假设三个概率是彼此独立的，则粒子同时出现在vx到到vx+dvx ， vy到到vy+dvy， vz到到vz+dvz间的概率为间的概率为zyxzyxzyxvdvdvFdvdvdvdvvgvgvgNdN )()()()()()(zyxvgvgvgF 式中式中 为速度分布率为速度分布率25（3）由于粒子在各方向运动的概率相等，所以速度分布）由于粒子在各方向运动的概率相等，所以速度分布与粒子的速度的方向无关。速度分布函数只是速度大

20、小与粒子的速度的方向无关。速度分布函数只是速度大小 的函数的函数222zyxvvvv 速度分布率可以写成速度分布率可以写成)()()()(222zyxzyxvvvFvgvgvg 22222223)(3AvvvvAAvAvAvececcececeFzyxzyx 考虑到具有无限大速率的粒子出现的概率极小，故考虑到具有无限大速率的粒子出现的概率极小，故A应为应为负值。令负值。令 A=-1/ 2 , 则则要满足这一关系，函数要满足这一关系，函数 应具有应具有 的形式，则的形式，则 2xAvce)v(gx26zyxvvvvdvdvdvecNdNzyx2222/)(3 分布函数应满足归一化条件，所以分布函

21、数应满足归一化条件，所以1222222/3 zvyvxvvdvedvedvecNdNzyx 利用数学积分公式，可得利用数学积分公式，可得 1 CzyxvvvvdvdvdveNdNzyx2222/ )(331 -麦克斯韦速度分布率麦克斯韦速度分布率27（4）由麦克斯韦速度分布率导出速率分布率）由麦克斯韦速度分布率导出速率分布率 设想一个用三个相互垂直的轴分别表示设想一个用三个相互垂直的轴分别表示 的的“速度空间速度空间” 如图，在半径为如图，在半径为v，厚度为，厚度为dv、体积为、体积为 的球壳内，粒子的速率的球壳内，粒子的速率v出现在同一速率区间出现在同一速率区间dv内的概率内的概率相同。相同

22、。zyxvvv,dvv24 zvdv),(zyxvvvyvxvxvyvzvo 故将速度分布率中故将速度分布率中 的换的换成成 即可得粒子在即可得粒子在v到到v+dv区区间出现的概率间出现的概率zyxdvdvdvdvv24 dvevNdNvv22/2334 28(5) 确定常数确定常数由上式可得速率平方的平均值由上式可得速率平方的平均值2223 v 由压强微观公式和理想气体由压强微观公式和理想气体状态方程状态方程mkTv32 mkT22 因此，麦克斯韦速度分布率及速率分布率表达式为：因此，麦克斯韦速度分布率及速率分布率表达式为：kTmvzyxvekTmdvdvNdvdNvF2/2/32)2()(

23、 kTmvvevkTmNdvdNvf2/22/32)2(4)( 292223224)(vekTmvfkTmv 3、麦克斯韦分布律的性质与特征、麦克斯韦分布律的性质与特征麦克斯韦速率分布率适用于平衡态的气体麦克斯韦速率分布率适用于平衡态的气体f(vp)0vf(v)vpv v+dv面积面积= dNvNA30 温度温度T变化变化:当当T升高时升高时, A点右下移点右下移, 分布变平坦分布变平坦.温度越温度越 高高, 速率大的分子数越多速率大的分子数越多.f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)T1T3T2vp2vp1AT1T2m2m3324、麦克斯韦速率分布率的实验验证、麦克斯韦速率分布

24、率的实验验证OD蒸汽源蒸汽源检测器检测器R抽气抽气抽气抽气 密勒密勒-库什实验装置及演示库什实验装置及演示 1955年密勒（年密勒（Miller）和库什（）和库什（P.Kusch）做的实验比较）做的实验比较精确地验证了麦克斯韦速率分布定律。精确地验证了麦克斯韦速率分布定律。当园柱体当园柱体R以角速度以角速度 旋转时，只有那些速率旋转时，只有那些速率v满足关系式满足关系式 LvvL 的原子才能通过细槽。改变的原子才能通过细槽。改变 ，对不同速率范围内的原子射，对不同速率范围内的原子射 线测其强度，就可验证麦克斯韦速度分布率线测其强度，就可验证麦克斯韦速度分布率 33 注意：注意：应用麦克斯韦分布

25、律计算有关问题时，常用到一应用麦克斯韦分布律计算有关问题时，常用到一些广义函数积分的递推公式，在此列出供查阅些广义函数积分的递推公式，在此列出供查阅axdxeIadxeIIandxxeIaxaxnnaxn212121010020222 亦可直接查阅定积分亦可直接查阅定积分 积分表积分表dxxenax 0234(1) 平衡态下微观粒子的三种速率平衡态下微观粒子的三种速率1) 最概然速率最概然速率(最可几速率最可几速率) vp-出现概率最大的速率出现概率最大的速率 TmvvvveTmvdvdfdvdp 22/322240023 ppvTmv 5、麦克斯韦分布律的应用、麦克斯韦分布律的应用 RTmk

26、Tvp22 353) 方均根速率方均根速率2v mkTdvfvvv3022 RTmTdvvfvv60. 180 2) 平均速率平均速率vv02vvpv vf0v三种速率在不同的问三种速率在不同的问题中各有自已的应用题中各有自已的应用 RTmkTv332 36(2) 气体分子碰壁数与泻流气体分子碰壁数与泻流 s s ddvdvdvvekTmnzyxxkTvvvmzyx /21232222 单位时间内碰到单位面积容器壁上单位时间内碰到单位面积容器壁上的分子数称为该的分子数称为该气体分子的碰壁数气体分子的碰壁数，记作记作 . s sd平面zy xvv 如图，单位时间内速度在如图，单位时间内速度在v附

27、近的附近的dv范围内，同器壁内表面面元范围内，同器壁内表面面元 碰碰撞的分子数为撞的分子数为s sdx dvnfdvdNvxs37单位时间内同单位时间内同 碰撞碰撞 的各种速度的总分子数的各种速度的总分子数dN则为则为s sdzkTmvykTmvxkTmvxdvedvedvevdkTmnNzyx /21/21/210232222s s 利用积分公式，得利用积分公式，得1222121 ykT/mvdvekTmy 212102184122)mkT(dvevkTmxkT/mvxx 38故有故有s s dmkTnN21841 碰壁数碰壁数 ，故，故s sdN vnmkTn41841 若把面元若把面元

28、挖掉成一小孔。当小孔很小，以致跑出的气挖掉成一小孔。当小孔很小，以致跑出的气体分子对容器内气体平衡状态的影响可以忽略，这样小孔的体分子对容器内气体平衡状态的影响可以忽略，这样小孔的漏气现象称为漏气现象称为泻流泻流. 值就是单位时间内泄漏出单位面积小孔值就是单位时间内泄漏出单位面积小孔的分子数。这个关系式被用来富集天然铀中的的分子数。这个关系式被用来富集天然铀中的 。U235s sd 39例题例题4-3 氢气的温度是氢气的温度是300K. 求速率在求速率在30003010m s1之间的分子数与速率在之间的分子数与速率在15001510m s1之间的分子数之间的分子数之比。之比。PPvvxvvx

29、,)(157910230031. 82213 smmKTvP氢气氢气(H2)在温度在温度T=300K时的最可几速率时的最可几速率解：设解：设 xeNxvNfNxv 224 因因 ，故麦克斯韦速率分布公，故麦克斯韦速率分布公式可写为式可写为 vvvffvv ,40速率在速率在1500到到1510间的分子数间的分子数 15791015791500421579150022enn 27. 015003000221579300015791500221 eenn所以速率在所以速率在3000到到3010间的分子数间的分子数 1579101579300042)15793000(21enn 411、气体分子在重

30、力场中按高度的分布气体分子在重力场中按高度的分布SpSgdzSdpP )( 右图为一装在圆筒容器的平衡态理想气体，在重力场中右图为一装在圆筒容器的平衡态理想气体，在重力场中，考虑，考虑z-z+dz一小段气体层的力学平衡条件，得一小段气体层的力学平衡条件，得nm nmgdzgdzdp 即即四、玻耳兹曼分布律四、玻耳兹曼分布律nkTp 由由kTpn pdzkTmgdp p0pp+dpz+dzz0z42zkTmgepp 0 两边积分得：两边积分得：zkTmgenn 0dzkTmgpdp 表明表明: 分子数密度随高度的增加按指数衰减分子数密度随高度的增加按指数衰减.ppgRTppmgkTZ00lnln

31、 在登山运动和航空驾驶中常通过测压强在登山运动和航空驾驶中常通过测压强p来估算高度来估算高度.43 玻耳兹曼由重力场的势能，直接推广到任意保守力场中，玻耳兹曼由重力场的势能，直接推广到任意保守力场中，即得即得玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律kTpenn 02. 麦克斯韦玻耳兹曼分布（麦克斯韦玻耳兹曼分布（MB分布）分布）由此可知，外场中粒子按位置的分布律由此可知，外场中粒子按位置的分布律 为为 kTrBpeff0 rBf而由麦克斯韦速度分布率知道，粒子按速度的分布律而由麦克斯韦速度分布率知道，粒子按速度的分布律 为为 kTkTmvvMkekTmekTmf2322/32)2(2 vMf44 kTrB

32、vMrvPkekTmffff/ )2/30,)2(（ 在经典力学中，位置和动量（或速度）是互相独立的，在经典力学中，位置和动量（或速度）是互相独立的，因此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相独立事因此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相独立事件，由独立事件的概率乘法法则可知，粒子按速度及位置件，由独立事件的概率乘法法则可知，粒子按速度及位置的分布律为的分布律为 上式称为上式称为麦克斯韦玻耳兹曼分布律麦克斯韦玻耳兹曼分布律, ,简称麦简称麦- -玻分布玻分布. .适适用于任何保守场中、由任何物质微粒组成的系统用于任何保守场中、由任何物质微粒组成的系统. . 就叫玻就叫玻耳兹曼因子耳兹曼因

33、子。这个定律说明，在能量越大的状态区间内的粒。这个定律说明，在能量越大的状态区间内的粒子数越少，且随着能量的增大，粒子数按指数规律急剧地减子数越少，且随着能量的增大，粒子数按指数规律急剧地减少。少。kTEe 45五、能量均分定理与理想气体的热容量五、能量均分定理与理想气体的热容量 确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标数目确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标数目.1、自由度、自由度 研究气体的能量时研究气体的能量时, 气体分子不能再看成质点气体分子不能再看成质点, 微观模型微观模型要修改要修改, 因为分子有平动动能因为分子有平动动能, 还有转动动能还有转动动能, 振动动能振动动能.双原子分子

34、：双原子分子：刚性刚性 i=5非刚性非刚性 i=6多原子分子：多原子分子：刚性刚性: i=6非刚性非刚性: i 3n 气体分子运动自由度：气体分子运动自由度： 单原子分子：单原子分子：3个平动自由度个平动自由度, i=3462、能量按自由度均分定理、能量按自由度均分定理Tvm 23212 理想气体的平均平动能为理想气体的平均平动能为222221212121zyxvmvmvmvm 在平衡状态下在平衡状态下222231vvvvzyx Tvmvmvmzyx 21212121222 分子在每个平动自由度上的平均动能相等分子在每个平动自由度上的平均动能相等, 都等于都等于kT/2. 47在温度为在温度为

35、T的平衡态下的平衡态下, 物质分子的任何一个自由度上均分物质分子的任何一个自由度上均分配有配有kT/2 的平均热运动动能的平均热运动动能. 能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理： Tsrt 221 分子的平均总能量分子的平均总能量t：平动自由度数；：平动自由度数；r：转动自由度数；：转动自由度数；s：振动自由度数：振动自由度数i= ?非刚性多原子非刚性多原子i= 7非刚性双原子非刚性双原子i= 6i= 5i=3刚性多原子刚性多原子刚性双原子刚性双原子单原子单原子推广推广:平衡态时平衡态时, 任何一种运动或能量都不比另一种运动或能量任何一种运动或能量都不比另一种运动或能量 更占优势更占优势

36、, 在各个自由度上在各个自由度上, 运动的机会均等且能量均分。运动的机会均等且能量均分。483、理想气体的内能与热容、理想气体的内能与热容 理想气体理想气体(刚性分子刚性分子)的内能的内能, 是系统内全部分子的平动是系统内全部分子的平动动能和转动动能之和。动能和转动动能之和。 RTikTiNUA2)2(mol 1mol理想气体的内能理想气体的内能：RTiU 2 mol理想气体的内能：理想气体的内能：理想气体的内能是温度的单值函数理想气体的内能是温度的单值函数 U =U(T)根据定义根据定义 RsrtdTdUdTQCmV221, R23R25单原子分子气体单原子分子气体双原子刚性分子双原子刚性分

37、子气体气体49例题例题4-3 求在温度为求在温度为30时氧气分子的平均平动动能时氧气分子的平均平动动能, 平均动能平均动能, 平均能量以及平均能量以及4.0 10-3 kg的氧气的内能的氧气的内能.解解: 氧分子是双原子分子氧分子是双原子分子, 平动自由度平动自由度t=3, 转动自由度转动自由度r=2，常温下常温下, 可以认为分子是刚性分子可以认为分子是刚性分子, 不计振动不计振动.)J(1028. 623221 kTkTtt 平均平动动能平均平动动能)J(1005. 125220 kTkTrtk 平均动能平均动能)J(1005. 120 k 平均能量平均能量)J(1087. 7252 RTM

38、U 内内 能能50例题例题4-4 星体周围大气的稳定性。试计算气体在大气中星体周围大气的稳定性。试计算气体在大气中的逃逸速率与方均根速率之比的逃逸速率与方均根速率之比. 其中其中: 大气温度大气温度 T=290K , 地地球质量球质量 Me = 6.01024 kg, 地球半径地球半径 Re = 6.4106m.解解:设离地球中心无穷远处引力势能为零设离地球中心无穷远处引力势能为零, 在地球表面附近大气在地球表面附近大气层中的分子具有引力势能层中的分子具有引力势能eepRmMGE 分子逃逸条件分子逃逸条件221mvEEkp 而对于气体分子，其方均根速率为而对于气体分子，其方均根速率为 RTv3

39、2 eeRGMv2 逃逃分子逃分子逃逸速率逸速率51气体种类气体种类氢气氢气氦气氦气氮气氮气氧气氧气二氧化碳二氧化碳速率之比速率之比5.98.322.123.627.7 气体的两速率比值愈小表明分子愈容易逃脱地球引力气体的两速率比值愈小表明分子愈容易逃脱地球引力场作用空间，这是大气层中氢气和氦气成分远小于氮气和场作用空间，这是大气层中氢气和氦气成分远小于氮气和氧气的原因之一氧气的原因之一 TRTRGMvvKee 322逃逃故两速率之比故两速率之比: 由由K的表达式知，由臭氧层破坏形成温室效应及植被破的表达式知，由臭氧层破坏形成温室效应及植被破坏等因素引起的温度升高都会降低地球周围大气的坏等因素

40、引起的温度升高都会降低地球周围大气的K值，值，从而改变大气结构并影响其稳定性，直接威胁到人类的生从而改变大气结构并影响其稳定性，直接威胁到人类的生存环境。存环境。52六、熵的统计意义与笫二定律的微观解释六、熵的统计意义与笫二定律的微观解释 设想一长方形容器，中间隔板把它分成左、右两个相等的设想一长方形容器，中间隔板把它分成左、右两个相等的部分。左边有部分。左边有4个可识别的气体分子，右边为真空。打开隔板个可识别的气体分子，右边为真空。打开隔板后，容器中气体分子的位置分布如下图后，容器中气体分子的位置分布如下图1、热力学概率、热力学概率134212312413434212132314243443

41、22342414231312123434234124123134123412146415320个分子的位置分布个分子的位置分布 nW和左侧分子数和左侧分子数的关系图的关系图54从图中可以了解，并以此类推：从图中可以了解，并以此类推： 每一宏观态可以包含多个微观态。每一宏观态可以包含多个微观态。 对应于微观态最大的宏观态就是系统在一定条件下对应于微观态最大的宏观态就是系统在一定条件下的平衡态。的平衡态。 热力学概率（热力学概率（ W ）定义：与任一给定的宏观态相对应的）定义：与任一给定的宏观态相对应的 微观态数微观态数. 热力学概率是最重要的物理量之一热力学概率是最重要的物理量之一,它是分子运动

42、无序性它是分子运动无序性的一种量度。的一种量度。实际上实际上,系统宏观状态的熵系统宏观状态的熵S是与热力学概率是与热力学概率W相对应的相对应的,W越大越大,熵熵S越大越大. 由于热力学概率由于热力学概率W是反映宏观态的微观运动的混乱、无是反映宏观态的微观运动的混乱、无序程度的，所以序程度的，所以熵实际上是反映宏观态的微观运动混乱无序熵实际上是反映宏观态的微观运动混乱无序程度的物理量程度的物理量.孤立系统宏观态的熵值越大，表明这种宏观状孤立系统宏观态的熵值越大，表明这种宏观状态下系统的大量分子热运动的情况越混乱越无序，也就是这态下系统的大量分子热运动的情况越混乱越无序，也就是这个宏观状态出现的概率越大个宏观状态出