均值-方差模型下的VaR与CVaR限制比较

1、均值-方差模型下VaR和CVaR限制作用的投资组合选择的对比研究Gordon J.Alexander Alexandre M.Baptista1引言随着VaR成为最流行的风险度量工具，近些年风险控制吸引了很多金融从业者和管理者的注意力。举例来说，Jorion,Linsemeier,Pearson,Alexander和Baptista,Hull,Chance指出VaR已经被公司财团，交易人，基金经理，金融机构和管理广泛应用。与之相反，很多研究者言辞激烈的批评了作为风险控制工具的VaR。举例来说，Artzner et al指出因为不满足次可加性，VaR不是一个连续的风险度量。即，两个债券的组合的V

2、aR可能会大于各个债券VaR的和。Basak 和Shapiro指出，如果在一个连续时间序列的开始部分选择使用VaR, 与不使用VaR相比较，这个机构将会承担更大的风险。因为上述的原因，这些研究者提出使用CVaR而不是VaR。这篇文章中我们主要讨论的问题有以下几个：1、使用VaR作为风险控制工具将会有什么样的结果？2、这些结果与使用CVaR有什么不同？3、作为风险控制工具，有哪些情况下CVaR可以支配VaR？为了找寻这些答案，我们查看一个周期的均值-方差模型。在一些特定的情况下，相比较不使用VaR，VaR的使用会使slightly risk-averse 选择带有更小标准差的投资组合。可是，也存

3、在一些情形，VaR会使得highly risk-averse 选择有较大标准差的投资组合。因为当CVaR的边界和VaR边界重叠时，CVaR限制比VaR限制要严格这些组合选择结果是真实的。因此，控制slightly risk-averse agent, CVaR限制比VaR更加有效，但是却对highly risk-averse有着更加perverse的作用。可是当组合中存在无风险债券或者CVaR的边界大于VaR边界的时候，这些perverse结果会被削弱甚至消除。moreover,在后一种情形下，如果CVaR边界被设定在一定水平下使得CVaR限制对highly risk-averse有同VaR

4、限制一样的perverse 作用，那么相比较与VaR，CVaR限制会导致slightly risk-averse选择带有更小标准差的组合。如果CVaR边界被设定在一个更高的水平使得CVaR限制像VaR限制一样降低了slightly risk-averse的最优投资组合选择，那么相比较与VaR，CVaR限制将会允许highly risk-averse选择带有更小标准差的投资组合。因此，当CVaR标准被设定在这两个水平之间时，CVaR限制dominates VaR限制作为风险控制的工具。这篇文章是如下组织的：第二部分是均值-VaR、均值-CVaR边界和有效前沿的特征。第三部分是使用VaR限制和CV

5、aR限制下的投资组合选择。第四部分是分析性的展现了两种限制下的投资组合选择标准差的差异和不同。第五部分考虑了存在无风险债券的情况。第六部分是结论。所有的证明在附录中给出了。2模型假设不存在无风险债券，有的债券。是期望收益率的向量，是回报率的矩阵的协方差矩阵。为已经定义明确的投资组合。最为的任意回报率。，分别为期望回报率和期望方差 。为的累积分布函数假设一个投资期限和置信水平，那么概率下VaR为 同理，那么概率下CVaR为 假设投资组合中的债券回报率满足独立的正态分布。为标准累积正态分布函数。标准正态密度函数。假设，有从而同理，其中，2.1均值-VaR 均值-CVaR边界当VaR，CVaR和方差

6、作为风险度量标准时，风险-回报边界如下定义：对于任意的定义1：当且仅当对于某些，满足，在置信水平下，投资组合属于均值-VaR边界定义2：当且仅当对于某些，满足，在置信水平下，投资组合属于均值-CVaR边界定义3：当且仅当对于某些，满足，在置信水平下，投资组合属于均值-方差边界在方差-VaR边界的投资组合并不依赖，因此我们可以得出以下结论：因为，当且仅当一个投资组合属于方差-均值边界，它属于均值-VaR边界。因为，当且仅当一个投资组合属于方差-均值边界，它属于均值-CVaR边界。又Merton在1972年证明当且仅当满足，投资组合属于均值-方差模型边界。其中，为n维单位向量。那么满足的投资组合同

7、时属于均值-VaR边界和均值-CVaR边界。2,.2均值-VaR，均值-CVaR的有效前沿定义4： 当且仅当没有使得 （至少其中一个不等式是严格的），在的置信水平下，投资组合属于均值-VaR有效前沿。定义5： 当且仅当没有使得 （至少其中一个不等式是严格的），在的置信水平下，投资组合属于均值-CVaR有效前沿。定义6： 当且仅当没有使得 （至少其中一个不等式是严格的），在的置信水平下，投资组合属于均值-方差有效前沿。2.2.1最小VaR 投资组合和最小CVaR组合如果在置信水平下最小VaR的投资组合存在，那么他在均值-方差有效前沿（证明：假设是最小VaR的投资组合点，但是不在均值-方差有效前沿

8、。由定义6，存在投资组合点，使得 ，其中至少一个不等式是严格的。从而有，与假设矛盾。如果在置信水平下最小VaR的投资组合存在，那么他在均值-方差有效前沿。）同理，如果在置信水平下最小CVaR的投资组合存在，那么他在均值-方差有效前沿。： 在置信水平下最小VaR的投资组合 ：在置信水平下方差最小的投资组合g,h是n维向量命题1当且仅当，在置信水平下最小VaR的投资组合存在。如果，那么在选择置信水平时要慎重，因为这关系到全局最小VaR是否有解。如果，那么最小VaR不存在。表示置信水平下最小CVaR的投资组合。当且仅当，在置信水平下最小CVaR的投资组合存在。如果，那么因为，所以，当最小VaR投资组

9、合点存在时，最小CVaR投资组合点也存在。但是也有可能只有最小CVaR投资组合点存在。corollary1在置信水平下最小VaR的投资组合存在时，。在置信水平下最小CVaR的投资组合存在时，。2.2.2 均值-VaR 均值-CVaR的特点命题2（1）如果，那么在置信水平下不存在均值-VaR有效的投资组合；如果，当且仅当投资组合属于均值-VaR边界并且时，投资组合在置信水平下是均值-VaR有效的（2）如果，那么在置信水平下不存在均值-CVaR有效的投资组合；如果，当且仅当投资组合属于均值-CVaR边界并且时，投资组合在置信水平下是均值-CVaR有效的corollary2最小方差的投资组合在任何置

10、信水平下都不是均值-VaR有效和均值-CVaR有效corollary3如果最小VaR的投资组合在置信水平下存在，那么它在置信水平下也是均值-CVaR有效的corollary4如果，那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿是空集；如果，那么均值-VaR有效前沿是空集，但是均值-CVaR有效前沿是均值-方差有效前沿的一个非空真子集；如果，当且仅当一个投资组合属于均值-CVaR有效前沿并且，那么属于均值-VaR有效前沿，i.e. 均值-VaR有效前沿是均值-VaR有效前沿的一个非空真子集总而言之，如果，置信水平low；如果，置信水平moderate；如果，置信水平high3 VaR CVaR限制下的

11、投资组合选择3.1 VaR限制考虑VaR限制，其中 CVaR边界。CVaR限制依赖于两个参数：置信水平和CVaR边界L。从而有，在均值-标准差二维空间中，满足CVaR限制的投资组合集合位于斜率为，截距为的直线上或者上方。如果边界降低，那么截距变大；如果置信水平升高，斜率变大。3.2 CVaR限制考虑CVaR限制，其中 VaR边界。VaR限制依赖于两个参数：置信水平和VaR边界V。从而有，为VaR限制和 CVaR限制设定一个共同的置信水平，假设VaR和CVaR边界重合（）。因为，我们可以得到VaR限制与CVaR限制相似，但是CVaR限制斜率更大，限制性更强。因为为了使两种限制等价，他们必须使用相

12、同的边界（VaR和CVaR边界重，合即）和不同的置信水平。对于给定置信水平的VaR限制，CVaR限制总有一个相对应的，其中，使得。在的时候CVaR限制等价于VaR限制。现在我们讨论在各种边界情况下的，在VaR限制和CVaR限制条件下的投资组合选择。给定：如果，那么边界为大；如果，那么边界为适中；如果，那么边界为小3.3低置信水平3.3.1保守投资者如果是大边界。因为无限制的最有投资组合位于，无论是施加VaR限制或者CVaR限制都不会改变投资组合选择。如果是适中边界。假设无限制的最优投资组合位于和C点之间。那么施加VaR限制不会改变投资组合选择；但是，如果施加CVaR限制，那么C点将会成为最优投

13、资组合。因此，CVaR限制下的最有投资组合标准差大于VaR限制下的最有投资组合标准差。如果是小边界。假设无限制的最优投资组合位于和f点之间。如果施加VaR限制，那么f会成为最优投资组合；但是，如果施加CVaR限制，那么e点将会成为最优投资组合。尽管两种限制都会增大最优组合的标准差，但是CVaR限制下的最有投资组合标准差大于VaR限制下的最有投资组合标准差。但是如果无限制的最优投资组合位于e和f点之间。只有施加CVaR限制才会导致保守投资者选择e.3.3.2风险投资者因为无限制的最有投资组合选择在1（a）位于之上, 在1（b）位于c之上,在1（c）位于e之上,因此无论施加那种限制都不会改变最有投

14、资组合选择。3.4中度置信水平假设置信水平是中度的，那么存在投资组合满足VaR限制。假设，那么也存在满足CVaR限制的投资组合3.4.1保守投资者图2说明了在中度置信水平下在CVaR或者VaR限制下的投资组合选择与低置信水平下是类似的。可是对于一个给定的边界，当最优投资组合标准差增加了，这种增加大于在低置信水平下的增加3.4.2风险投资者假设无限制条件下最优投资组合在以上，那么施加VaR限制不会改变最有投资组合选择；但是如果施加CVaR限制，那么将会被选择成为最优投资组合。因此，在CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。3.5高置信水平我们假设，那么存在满足CV

15、aR限制的投资组合。因为，那么有。因此也存在满足VaR限制的投资组合。3.5.1保守投资者图3说明了在高度置信水平下在CVaR或者VaR限制下的投资组合选择与中低置信水平下是类似的。可是对于一个给定的边界，当最优投资组合标准差增加了，这种增加大于在中低置信水平下的增加3.5.2风险投资者假设无限制条件下最优投资组合在和之间，那么施加VaR限制不会改变最有投资组合选择；但是如果施加CVaR限制，那么将会被选择成为最优投资组合。因此，只有CVaR限制能够降低最有投资组合的标准差，在CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。假设无限制条件下的最优投资组合选择在以上，如果

16、施加VaR限制，那么会成为最有投资组合选择；但是如果施加CVaR限制，那么将会被选择成为最优投资组合。因此，在CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。3.6 CVaR边界大于VaR边界就像上边所提到的一样，当时，对于一个给定的置信水平，CVaR限制比VaR限制更加严格。因此，很自然的我们需要考虑时的情况。与相比，当时，我们只需将均值-标准差图像中的CVaR图线整体向下滑动。3.6.1保守投资者考虑图像1（a）, 2（a）, 3（a）.当CVaR限制线向下滑不会改变投资者感兴趣的投资组合的集合。因此，对于大V，对于投资组合选择没有什么影响与之相反，考虑图像1（b）

17、, 2（b）, 3（b）.与相比，当，CVaR限制可能会变得不再那么严格。如果，CVaR限制的最优投资这组合标准差可能大于VaR限制的，但是小于当时的CVaR限制标准差。如果，那么CVaR限制的人最优投资组合标准差与VaR限制的一样，就好像两个都没有限制作用有时候CVaR限制作用可能比VaR弱一点。假设无限制条件下的最优投资组合在和之间（见图1（c）。如果CVaR边界大于的CVaR，那么CVaR限制下的最有投资组合的标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。总而言之，如果，那么CVaR限制对于保守投资者的反常作用可以得到一定程度的削弱。3.6.2风险投资者当处于低置信水平的时候，CVaR限制

18、的向下平移不会改变投资者的最优投资组合选择。当处于中度置信水平的时候，则会出现其他的状况。当时的CVaR限制作用弱于当。但是CVaR限制仍然比VaR限制更有作用，所以即使当时，CVaR限制下的最优投资组合的标准差仍然小于VaR限制下的最优投资组合的标准差。当处于高置信水平的时候，我们可以从图3（a）如果CVaR边界大于的CVaR，那么CVaR的限制作用弱于VaR；如果CVaR边界小于的CVaR，那么CVaR的限制作用强于VaR。因此，CVaR限制下的最优投资组合的标准差可能小于，等于，大于VaR限制下的最优投资组合的标准差。总之，当时，CVaR的限制作用有所削弱，甚至可以弱于VaR的限制作用。

19、3.8 总结总而言之，如果施加CVaR限制或者VaR限制，那么带有较小标准差或者较大标准差的有效投资组合都有可能被排除掉。因此，与施加限制之前的最优投资组合相比，限制后的最优投资组合的标准差可能会变大，变下或者不变。另外，没有一种限制，无论是CVaR还是VaR，能够使得所有的投资者（包括风险厌恶程度不同的保守投资者，风险投资者，稳健投资者）选择比无风险限制条件下最优投资组合标准差更小的投资组合。当时，给定一个置信水平，CVaR限制强于VaR限制。作为保守投资工具，CVaR比VaR更加有效。可是，有时候CVaR起到反作用：它使得保守投资者选择带有更大标准差的投资组合。尽管作为风险控制工具，VaR

20、有时也会发生这种情况，但是CVaR的反作用更大，CVaR起到反作用的情况也更多见。因此使用CVaR作为风险控制工具并不是万无一失的，也是有代价的。当时，上面提到的反作用会得到一定的削弱。另外，4（b）中的例子说明，相比较于VaR限制下投资组合的标准差，CVaR有时可以同时使得保守投资者和风险投资者选择带有更小标准差的投资组合。4限制下的最优投资组合的标准差分析性的表述在不同的限制下的最优投资组合的标准差的差异。在这一章，我们不需要假设。4.1低置信水平当处于低置信水平时，图1中均值-方差边界上和VaR限制有唯一的交点。它的标准差是均值-方差边界上和CVaR限制有唯一的交点。它的标准差是假设作为

21、焦点，对于保守投资者，那么限制下的最有投资组合的相对差异为4.2中度置信水平当处于中度置信水平时，图2中均值-方差边界上和VaR限制有唯一的交点。它的标准差是但是，均值-方差边界上和CVaR限制有两个交点。它的标准差是假设作为焦点，对于保守投资者，那么限制下的最有投资组合的相对差异为4.3高置信水平当处于高置信水平时，图3中均值-方差边界上和VaR限制有两个交点。它的标准差是均值-方差边界上和CVaR限制有两个交点。它的标准差是假设作为焦点，对于风险投资者，那么限制下的最有投资组合的相对差异为；假设作为焦点，对于风险投资者，那么限制下的最有投资组合的相对差异为4.4CVaR限制的使用现在我们来

22、探究如何设定CVaR边界使得CVaR限制能够支配VaR限制。4.4.1最小CVaR边界首先，设定CVaR边界使得对于保守投资者来说，CVaR限制作用如同VaR限制。举个例子来说，当处于高置信水平时，需要找到合适的CVaR边界值使得CVaR相交于VaR与最小期望回报率的投资组合即VaR限制与有效边界的交点。这个边界可以如下给出：图4（c）给出了边界为的CVaR限制作用下的投资组合选择。首先，假设保守投资者在无限制下的最优投资组合在和之间。无论施加那种限制，都是最优的投资组合选择。然后，假设风险投资者在无限制条件下的最优投资组合在和之间。如果施加VaR限制，那么最优投资组合不会改变，但是，如果施加

23、CVaR限制，那么将会成为最优投资组合。因此CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。最后，假设风险投资者在无限制条件下的最优投资组合之上。如果施加VaR限制，那么将会成为最优投资组合，但是，如果施加CVaR限制，那么将会成为最优投资组合。因此CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。4.4.2最大CVaR边界首先，设定CVaR边界使得对于风险投资者来说，CVaR限制作用如同VaR限制。需要找到合适的CVaR边界值使得CVaR相交于VaR与最大期望回报率的投资组合即VaR限制与有效边界的交点。这个边界可以如下给出：图4（a）给出了边界

24、为的CVaR限制作用下的投资组合选择。首先，假设保守投资者在无限制的条件下的最优投资这组合位于和之间。如果施加VaR限制，那么将会成为最优投资组合；如果施加CVaR限制，那么最优投资组合不变。因此CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。然后，考虑风险投资者在无条件限制的情况下最优投资组合在之上，无论哪种限制都会选择作为最优投资组合选择。4.4.3总结当CVaR边界适当的大一些使得，那么在部分的情况下，CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。假设在意识到以下的平衡点时施加VaR限制：1设定的小VaR边界能够有效地控制保守投资但是对于

25、风险投资有反作用；2设定的大VaR边界不能够有效地控制保守投资但是对于风险投资有反作用也不明显；因此假设设定VaR边界为一个中间值，我们已经看到CVaR限制能够支配VaR限制使得对于保守投资者和风险投资者都有CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。因此，只有CVaR边界适当的比VaR边界大一些，作为风险控制工具，CVaR可以比VaR更加有效。5增加无风险债券假设现有一回报率为的无风险债券。投资组合定义为，其中表示资产投资于无风险债券的比例。5.1均值-VaR和均值-CVaR的边界和有效前沿假设或者说在没有无风险债券的情况下临界投资组合位于最小方差投资组合之上。M

26、erton证明了当且仅当满足时，属于均值-方差边界。其中是一个正常值。因为，所以当且仅当一个投资组合属于均值-方差边界时，它才属于均值-VaR边界。因为，所以当且仅当一个投资组合属于均值-方差边界时，它才属于均值-CVaR边界。以下是均值-VaR有效性的特征：proposition3:1如果，那么在的置信水平下不存在均值-VaR有效地投资组合；2 ，那么在的置信水平下当且仅当一个投资组合属于均值-方差有效前沿时它才属于均值-VaR有效前沿同理1如果，那么在的置信水平下不存在均值-CVaR有效地投资组合；2 ，那么在的置信水平下当且仅当一个投资组合属于均值-方差有效前沿时它才属于均值-CVaR有

27、效前沿corollary5：1如果，那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿是空集；2如果，那么均值-VaR的有效前沿是空集，但是均值-CVaR有效前沿与均值-方差有效前沿重合；3如果,那么均值-VaR和均值-CVaR有效前沿与均值-方差有效前沿重合；在存在无风险债券的情况下：如果，那么置信水平是低的；如果，那么置信水平是适中的；如果，那么置信水平是高的5.2在VaR CVaR限制下的投资组合选择假设一个投资机构面对VaR和CVaR限制，然后我们比较无限制条件下的最优投资组合选择和VaR CVaR限制下的最优投资组合选择。假设5.2.1低置信水平因为无限制条件下的最优投资组合在之上，那么那种限制都不会改变最优投资组合选择。5.2.2中度置信水平假设保守投资者的无限制条件的最优投资组合位于和之间，那么那种限制都不会改变最优投资组合选择。假设风险投资者的无限制条件的最优投资组合位于之上。如果施加VaR限制，那么不会改变最优投资组合选择；但是如果施加CVaR限制，那么将会成为最优投资组合；因此，CVaR限制下的最优投资组合标准差小于VaR限制下的最优投资组合标准差。5.2.3高置信水平假设保守投资者的无限制条件的最优投资组合位于和之间，那么那