人教版数学必修四第一章综合测试

1、第一章 平面向量(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的是()A向量可以比较大小B坐标平面上的x轴和y轴都是向量C向量就是有向线段D距离、密度和时间都不是向量解析：答案：D2右图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则()A.B.C. D.解析：利用平行四边形法则作出向量，再平移即可发现.答案：C3下列说法正确的是()A两个单位向量的数量积为1B若a·ba·c，且a0，则bcCD若bc，则(ac)·ba·b解析：A中，两向

2、量的夹角不确定，故A错；B中，若ab，ac，b与c反方向，则不成立，故B错；C中，应为，故C错；D中，因为bc，所以b·c0，所以(ac)·ba·bc·ba·b，故D正确答案：D4设(2,3)，(m，n)，(1,4)，则等于()A(1m,7n) B(1m，7n)C(1m,7n) D(1m，7n)解析：(1m,7n)，而.答案：B5已知A(4,6)，B，有下列向量：a；b；c；d(7,9)其中，与直线AB平行的向量是()A BC D解析：.，与直线AB平行的向量是.答案：C6设|a|12，|b|9，a·b54，则a和b的夹角等于()A4

3、5° B120°C135° D165°解析：cos ，又0°，180°，135°.答案：C7如图，M，N分别是AB，AC的一个三等分点，且()成立，则()A. B.C. D±解析：由，且，得.答案：B8已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于()A1 B.C2 D4解析：由于2ab与b垂直，则(2ab)·b0，即(3，n)·(1，n)3n20.解得n±.所以a(1，±)所以|a|2.答案：C9已知AD，BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，设a，b

4、，则等于()A.abB.abC.abDab解析：22ab.答案：B10已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C(3,2) D(1,3)解析：设D(x，y)，则(4,3)，(x，y2)，又2，故解得答案：A11两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为()A40 N B10 NC20 N D. N解析：对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10

5、N；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 N.答案：B12在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(1，3)，若点C满足，其中，R，且1，则点C的轨迹方程为()A3x2y110 B(x1)2(y2)25C2xy0 Dx2y50解析：设(x，y)(3，)，(，3)，(3，3)(x，y)(3，3)又1，x2y5.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13有下列说法：若ab，则a一定不与b共线；若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；在ABCD中，一定有；若向量a与

6、任一向量b平行，则a0；若ab，bc，则ac；共线向量是在一条直线上的向量其中，正确的说法是_解析：对于，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故不正确；对于，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故不正确；对于，在ABCD中，|，与平行且方向相同，所以，故正确；对于，零向量的方向是任意的，与任一向量平行，故正确；对于，ab，则|a|b|，且a与b方向相同；bc，则|b|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故ac，故正确；对于，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故不正确答案：14通过点A(1,2)且平行于向量a

7、(3,2)的直线为_解析：设P(x，y)为所求直线上任意一点，由题意知a，而(x1，y2)，a(3,2)，(x1)·2(y2)·30，化简得2x3y80，即为所求直线的方程答案：2x3y8015已知O，A，B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足20，若，则_.解析：由20，得2()()0，则2.2，1，3.答案：316已知向量a，b的夹角为45°，且|a|4，·(2a3b)12，则|b|_，b在a方向上的投影等于_解析：·(2a3b)12，且|a|4，a，b45°，3|b|2|b|40，|b|，或|b|(舍)b在a方向上的投影为|

8、b|cosa，b1.答案：1三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值解析：方法一：|3a2b|3，9a212a·b4b29.又|a|b|1，a·b.|3ab|2(3ab)29a26a·bb296×112.|3ab|2.方法二：设a(x1，y1)，b(x2，y2)|a|b|1，xyxy1.3a2b(3x12x2,3y12y2)，|3a2b|3.x1x2y1y2.|3ab|2.18(本小题满分12分)如右图，在平面直角坐标系中，|2|2，OAB

9、，(1，)(1)求点B，C的坐标；(2)求证：四边形OABC为等腰梯形解析：(1)设B(xB，yB)，则xB|·cos(OAB)，yB|·sin(OAB)，(1，)，B，C.(2)证明：连接OC.，3，.又|，|2，四边形OABC为等腰梯形19(本小题满分12分)已知向量a，b不共线，ckab，dab，(1)若cd，求k的值，并判断c，d是否同向；(2)若|a|b|，a与b夹角为60°，当k为何值时，cd.解析：(1)cd，故cd，即kab(ab)又a，b不共线，则解得即cd，故c与d反向(2)c·d(kab)·(ab)ka2ka·b

10、a·bb2(k1)a2(1k)|a|2·cos 60°(k1)a2a2.又cd，故(k1)a2a20.即(k1)0，解得k1.20(本小题满分12分)在OAB的边OA，OB上分别有一点P，Q，已知OPPA12，OQQB32，连接AQ，BP，设它们交于点R，若a，b.(1)用a与b表示；(2)若|a|1，|b|2，a与b夹角为60°，过R作RHAB交AB于点H，用a，b表示.解析：(1)a，b，由A，R，Q三点共线，可设m.故amam()am(1m)amb.同理，由B，R，P三点共线，可设n，由bn()a(1n)b.由于a与b不共线，则有解得ab.(2)由A，H，B三点共线，可设，则OHa(1)b，ab.又，·0.·(ba)0.又a·b|a|b|cos 60°1，ab.21(本小题满分13分)向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，求|a|2|b|2|c|2的值解析：由(ab)c，知(ab)·c0.又c(ab)，(ab)·(ab)a2b20.故|a|b|1，又c2(ab)2a22a·bb2a2b22，|a|2|b|2|c|24.22(本小题满分13分)已知O为坐标原点，(2,5)，(3,1)，(6,3)，则在上是否存在点M，使，若存