湖南省娄底市蓝圃学校高二数学4月月考试题(含解析)

1、数学试题一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.请把答案填在答卷页的表格内.1.已知集合A=1,2,3,4,B=y|y=3x2,xCA),则APB等于()A.1B.4C.1,3D.1,4【答案】D【解析】因为集合B中，xCA,所以当x=1时，y=3-2=1;当x=2时，y=3X22=4;当x=3时，y=3X32=7;当x=4时，y=3X42=10.即B=1,4,7,10.又因为A=1,2,3,4,所以AHB=1,4.故选D.匚视频二I-l2.设提纯虚数，若是实数，则()zI2A.B.闫C.D.卜|【答案】A试题分析：设K- EU,1

2、-i（1一以一如十2）2-a-（2+a）i-Ai+i十？（所+2）4二/，考点：复数概念及其运算【易错点晴】在复数的四则运算上，经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外，有时要结合共轲复数的特征性质和复数模的相关知识，综合起来加以分析.在复数的四则运算中，只对加法和乘法法则给出规定，而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算，加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律，复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式，除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题.3 .已知命题p：“？xC1,2,x2-a>0",命题q：“？xoCR

3、,使小十2ax。十=。"，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()A.a|aw2或a=1B.a|a>1C.a|aw2或1waW2D.a|-2<a<1【答案】A【解析】【分析】先求解命题b，q为真命题时，实数a的范围，再由命题P且q为真命题，即可求解实数a的取值范围【详解】由题意，命题p为真命题，则般卜2,所以卜力，命题q为真，则也->0,解得a>或强三-二，若命题且工为真命题，则日的取值范围是卜_二或出,即实数a的取值范围是阳白三二或;1lj|,故选A.【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中正确求解命题p.q为真命题时，实数”的范

4、围，再由命题p且q为真命题求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4 .已知条件pY-A-mvo,条件若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为()A.a>3B.a>3C.av-1D.a<-1【答案】D【解析】试题分析：由x2-2x-3<0可得设A找国Ka)|,因为p是q的充分不必要条件，所以IaB且A/B,可得口三】.考点：充分条件与必要条件.【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法:设“若p,则q”为原命题，那么:原命题为真，逆命题为假时,p是q的充分不必要条件;原命题为假，逆命题为真时,p是q的必要不充分条件;原命题与逆命题都为真时,p是q的充

5、要条件;原命题与逆命题都为假时,p是q的既不充分也不必要条件.-17 -(2)集合判断法:从集合的观点看，建立命题p,q相应的集合:p：A=x|p(x)成立,q：B=x|q(x)成立,那么：若A?B,则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件;若B?A,则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件;若A?B且B?A,即A=B时，则p是q的充要条件.（3）等价转化法：p是q的什么条件等价于非q是非p的什么条件.【答案】C【解析】【分析】根据函数的部分图象，先确定函数的最小正周期，求得年的值，再代入点（Ui,即可求解相应的q：的值即可.T，道父【详解】由图象得一2,所以又由w

6、,4T4一一一当时，丫-1,所以5m（+炉）=,解得tp4-+EZ,442当k:时，1P:故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数点图象与性质，由函数的图象求解三角函数的解析式时，通常根据函数的最值确定为（振幅）的值，再由函数的最小正周期，确定松的值，最后代入特殊点求解相应的中的值，即可得到三角函数的解析式，着重考查了识图能力，以及推理与运算能力.I/6 .由a=1,给出的数列an的第34项是（）3%+1A. B. 100 C.100【答案】A【解析】34D.【分析】由数列的递推关系式，分别求解出即可求解.的一“陶曲-，再寻找出计算的规律，利用等差数列的性质,详解由电-凡,r 3%+i11L1由

7、此可知各项分子为1,分母构成等差数列bj,首项忖- 1 ,公差为d - 3所以与小瓦Y"l）d-l33TUK：,所以如，故选A【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中明确数列的递推关系式，进行逐项求解，找出数列的构成规律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7 .给出以下四个命题:若 sin A= sin B,则 A= B;若abw0,则awo或bw0；若a>b,则am2>bm2;在ABCt3,在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若b24ac<0,则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是（）A"B.C.D.根据题意

8、，分别写出每个命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断它们的真假，即可得到答案.【详解】对于，原命题是：若则n三”或三0,是真命题，则其逆否命题是真命题;逆命题是：若昌三口或口三0,则此二0,是假命题，则否命题是假命题；对于，原命题：若Li则同】/>七，是假命题，所以其逆否命题也是假命题；逆命题是：若alti2>bin则q-b,是真命题，则其否命题也是真命题；对于中，原命题：在丛川娟中，若31nA=$|曲，则AB，是真命题，则其逆否命题也是真命题；逆命题：在3AB（中，若AB,则SnA-5inB,是真命题，则其否命题也是真命题；对于中，原命题：在一元二次方程卜？十8+g0中，若卜-4

9、泰；0,则方程有实数根，是假命题，则其逆否命题也是假命题；逆命题：在一元二次方程式+Bk+匕一U中，若方程有实数根，则f4的c0，是假命题，则其否命题也是假命题；所以原命题、逆命题、否命题、逆否命题中都是真命题的，只有，故选C.【点睛】本题主要考查了四种命题的书写及真假关系的判定，其中解答中熟记四种命题的书写，以及四种命题的真假关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.8 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）T正 I 口 MITtWTI W 1ttWMA.7B.17C. 13 D.1 【解析】ABC-DEI ,是正方体中的一部分，如图. lBC-2 ,试题分析

10、：该三视图的几何体是三棱台考点：三视图，表面积.【名师点睛】几何体的三视图，常常可以看作是由基本几何体（如正方体、长方体）切割出的几何体的三视图，因此由这样的三视图作直观图时，可以画出正方体（或长方体），在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图，这样画图有一个好处就是几何体中的线面关系（平行与垂直）非常清晰.9 .已知三角形的三边分别为a,b,c,内切圆的半径为r,则三角形的面积为b斗仁*;£四面体的四个面的面积分别为S,S2,S3,S4,内切球的半径为R类比三角形的面积可得四面体的体积为（）A.吗"WB.吗词C.犷D./-澎圣斗【答案】B【解析】【分析】根据几何体

11、和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面、面积与体积进行类比，利用类比推理，即可得到结论.【详解】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，则&ABC的面积为S（n+b+c）i,对应于四面体的体积为V=+S”号+SJR，故选B.【点睛】本题考查了类比推理的应用，其中合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）.10 .甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记

12、为a,再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b,且a,bC0,1,2,，9.若|ab|wi,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为（）【分析】由题意得甲乙两人各猜一个数字，共有10.010。种，再由列举出满足|ab|<1的所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，可知甲乙两人各猜一个数字，共有W10-100（种）猜字结果，其中满足怙熊1的有:当厂。时，b-OJ；当&I时，当广2时，|bT23；当其时，卜-4；当a-4时，b.3.%5；当a5|时，b34.5.6；当同-6时，H-5A7；当a-7时，|b-6,7

13、,8；当a'时，b7.E.9；当需-9时，b乱9,共有WN种，”7所以他们“心有灵犀”的概率为p,故选A.10025【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意，得出基本事件的总数和找出事件所包含的基本事件的个数（列举法）是解答的关键，同时注意认真审题，合理作答，着重考查了推理与运算能力.11 .函数f（x）=2x2lnx的单调递减区间是（）1r>1八1r1*1A.（o.t）B.（工明和（才+句C.q+功D.（.叫_不）和（0*0JuJb£££【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，利用函数的导数小于0,即可求解函数的递减区间.

14、【详解】由题意，得f（x）=曳W=竺更生>0,XXX又当xE（0。时，&尸口，所以函数R#的单调递减区间是卜故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导数的计算公式以及导数在函数中的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2212.已知双曲线三1=1的左，右焦点分别为Fi,F2,点P在双曲线的右支上，且|PF|=4|PF2|,a'b-则此双曲线的离心率e的最大值为（）A.-B.'C.2D.'P33【答案】B【解析】【分析】w517gt根据双曲线的定义，求得|PF卜丁|PF卜尸再由余弦定理，得6将生1P心彳根据三角函数的性质，得到

15、当eMFJFa-】时，离心率已取得最大值，即可求解.【详解】由双曲线的定义知|PF>|PF2=2a又口耳卜口外,联立解得PF/|PF2|-L,MSL?64r4r7T-u99179,在SFjF,中，由余弦定理，得g*FFFr=-T,1 -X2N82 -a-a3 3要求l的最大值，即求的最小值，当gMFP%-1时，解得一；，即e的最大值为：，故选B.解法二：由双曲线的定义知IPFJ-IPF,三加又PFJ三4|PF,联立解得82255|PFj料PF萨，因为点P在右支所以PF|之c-心即丁国c-白故丁|>c,即e的最大值为一,故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的求解，其中根据双

16、曲线的定义求得田瓦卜|印，再在APFih中，利用余弦定理得到关于离心率卜的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，属于中档试题.二.填空题：（只要求写出最后结果，并把结果写在答卷页的相应位置上，每题5分，共20分）13 .展开式中x2的系数为.2【答案】60【解析】【分析】求出二项式，1斗展开式的通项，再根据（1-xXl+2厨,即可求解小的系数.【详解】因为展开式的通项为所以（二）（1+2冏展开式中工二的系数为大22-60故答案为6。.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力.14 .曲线y=

17、x32x在（1,1）处的切线方程为【答案】x-y-2=0【解析】试题分析：根据导数的几何意义求出函数在斜式方程写出切线方程即可.2解：y'= - 2+3xx=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点y'|x=1=1而切点的坐标为（1,-1）曲线y=x3-2x在x=1的处的切线方程为x-y-2=0故答案为：x-y-2=015 .程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是【答案】【解析】【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，得到计算的周期性，即可求解.1+2ITI【详解】由程序框图知：第一次循环s11-2；第二次循环S,13；1-21O21 11- 1+-第三次循环S=-j=

18、第四次循环S=2j=5；13I1 +12 3第五次循环S-箝|，则S值的周期为4,1-2跳出循环体的i值为，共循环了3Q15次，输出的S-4故答案为I【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点.解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答.近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合.16.已知向量op=aiLob=。山，设x是直线。乜的一点（o为坐标原点），那么xA'Kb的最小值是.【分析】设直线OF方程为设出点

19、X坐标为（m，利用向量的坐标运算，得到关于m的关系式,M£即可求解最小值.【详解】直线0P方程为y-1%£1-1-1设点X坐标为则罚工XB-（5m.l-115,5,所以XAXBQ+-巾XI-in）-nTTOm+12Tm-4厂8,2244当m4时，RX-疝的最小值为|-8.故答案为.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及向量的运算，其中根据直线QP方程，设出点X的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出关于另的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.|4ABC中的内角A，C的对边分别是乱

20、若四-4c,B2c.（1）求cvsB；（2）若c5,点|D为边Be上一点，且ED=6,求ADC的面积.【答案】（1）（2）|10.【解析】【分析】（1）因为£,所以有！dnBfinK”求得二竺，再利用余弦的倍角公式，即可求解；5_（2）由余弦定理，化简得解得aU,又=工，则外能=上，再三角形的55面积公式，即可求解.【详解】（1）因为B2C,所以有5inB号in2c-anCcosC从而g&C=巴'-2=.2sinC2c5故a（2）由题意得，b4小,由余弦定理得，必即80，。5之-25f,化简|5得J.g-55U,解得a11或L-5（舍去）.从而DC3,又8sL竺，则诩

21、1斗所以J1出5且3工iDCAL沏C=f5乂4舟二二16上ZJ【点睛】本题主要考查了三角恒等变换和正弦、余弦定理解三角形的应用，在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18.某大学城校区与本部校区之间的驾车单程所需时间为|t，"只与道路畅通状况有关，对其容量为500的样本进行统计，结果如下:H（分钟）25303540频数（次）10015020050以这500次驾车单程所需时间的频率代替某人1次驾车单程所需时

22、间的概率.(1)求亍的分布列与R_T，.E(T)；(2)某天有3位教师独自驾车从大学城校区返回本部校区，记X表示这3位教师中驾车所用时间少于ET)的人数，求区的分布列与(3)下周某天张老师将驾车从大学城校区出发，前往本部校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回大学城校区，求张老师从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟的概率.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)0,91【解析】【分析】(1)以频率估计频率，即可取得|T的分布列，求出期望，得到概率即可；(2)判断分布列是二项分布，然后列出分布列，利用公式求解期望；(3)设TpT二分别表示往返所需时间，设事件八表示“从离开大

23、学城校区到返回大学城校区共用事件不超过120分钟”，则P(A)-RCrL-2>)P(T2<25)尺八一独叩卫<40)十支L-%>PCI工均+ITj-40)P(T2三孙，求解概率即可.【详解】(1)以频率估计频率得T的分布列为：T253035400.20.30.40.1耽25乂0.4+40乂(分钟)，IYJECD)32)-02+0.3OS(2)乂出312上(k-0J23)0123183811 3E(X)=32 2(3)设T匚分别表示往返所需时间，设事件八表示“从离开大学城校区到返回大学城校区共用时间不超过120分钟”，则|P(A)-P(Tl-25)PCT3<45)+

24、P(Tl-?O)P(T3<40)+P(Tl-t5>P(T2<35)+P(Tl-4C)P(T3<30)-0.271OJ1/0.4-05-0.91-【点睛】本题主要考查、随机变量的分布列和数学期望，其中认真审题，准确判断，得到得出离散型随机变量的分布列，求得概率和数学期望是解答关键，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.,.I_1.19.如图，在四棱锥PABCD中，PD，底面ABCD,底面ABCD为矩形，且P门AD,自为PC的中点.(1)过点|a作一条射线AG,使得|AG"BD,求证：平面PAG1平面BDE；(2)求二面角DBE-C的余弦值的绝对值.【

25、答案】(1)见解析；(2).5【解析】试题分析：(1)连线AC和UH交于点。，连接。E,则是AC的中点，由中位线定理得OE/PA,由线面平行的判定定理得以PA.平面I3DE;同理得|aG，J平面BDE,进而由面面平行得判定定理可得结论；(2)分别以DA|,DC,DF所在的直线为k轴，b轴，？轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面|bde的一个法向量和平面Bec的一个法向量，进而用空间向量夹角余弦公式求解.试题解析：(1)证明：在矩形ABCD中，连线AC和B交于点。，连接OE,则。是AC|的中点，由于民是政：的中点，所以OE是PAC的中位线，则OE.PA,又OE匚平面BDE,PAG平面帆儿

26、，所以PAf平面BDE,又同理得AG：平面RDE,因为PAnAG-A，所以平面pA6平面BDE(2)解：分别以di因，DF所在的直线为工轴，|y轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD耨，则PD-h,AB-觊，故见心石0),C2a，E(0a，所以近三2&0)，I定GU$，cixgoa，惶-(Om-，设平面BDU的一个法向量为M”,叫ax + 2ay - 0?aay + -z = 0;7上L故一(22)同理，可得平面的一个法向量所以向,刃:二立即二面角Dbe-c的余弦值的绝对值为斗-gn55考点：1、线面、面面平行得判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.20.已知椭圆|：P-+=1(&g

27、t;，b,。)的右焦点为住也川,且椭圆上一点|M到其两焦点%,心|b2的距离之和为tW.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线1：yf4nl(mwR)与椭圆交于不同两点|a|，B，且|AB-3。，若点耳.)满足|PA|-|PB,求y的值22【答案】(1)二匕7；(2)卜3或124【解析】【分析】(1)由已知求得温2小，又由<工小,由此能求出椭圆的方程；,y*x+m(2)由k-一得心，6mx+3mL120,由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的j=I(124性质，结合已知，即可求出、的值.【详解】(1)由已知方7叵得;I2罔，又c亦，毛工工回7,椭圆寸的方程为土124(2)由忙工.得志46n

28、M3,12fl|A、恸，直线1与椭圆交于不同两点3m2-1246L，一口又由|AB|二3日得一:?7"%解得m土2.据题意知，点p为线段AB的中垂线与直线,匚的交点，设AB的中点为用“yj,则q=1上=:广鹏+k目当m己时,胃I此时，线段|AB的中垂线方程为¥，<"),即y ' x - I 令 1 7 ,得7441111出.-3.当m.二时，EW-*，此时，线段.位中垂线方程为54-.(”3眼-.x41|.令山上工上1 .综上所述，、的值为-3或.1.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题解答此类题目，通常利

29、用的关系，确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础，通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力如已知函数Rx)-2ex-ax-2(xERaER).(I)当n1时，求曲线卜乂|在x处的切线方程；(n)当*时，若不等式Rx)1O恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(I)&(加lx；(II)(F,斗【解析】分析：(1)先求切线的斜率和切点的坐标，再求切线的方程.(2)分类讨论求田幻11111

30、n,再解RxH口血0,求出实数a的取值范围.详解：(I)当1时，2es-ax-二，F(_x)入"-1,)2c-1,即曲线卜f(xi在I处的切线的斜率为k=R-，又或D-?，所以所求切线方程为(n)当时，若不等式的“恒成立易知r(x)-2/-8,若3三o,则r(x)4恒成立，|f在m上单调递增；又0,所以当kw0,+时，符合题意.若由P（x）-R，解得xTnJ.则当*E（时，'0，Rx）单调递减；当kE（In：+妁时，?Q,f（x）单调递增.1F所以Ing时，函数Rk）取得最小值.si则当ln-W0,即0亡a三工时，则当kW0.+枕j时，"X）三出。）。符合题意.当ln->0,即a.-二时，2g则当xE&Jn-）时，氐乂单调递增，f（x”.f（O）-。，不符合题意.£综上，实数卜的取值范围是（“R.点睛：（1）本题主要考查导数的几何题意和切线方程的求法，考查利用导数求函数的最小值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.（2）解答第2问由两次分类讨论，第一次是分类的起因是解不等式不>-时，右边要化成ln-,由于对数函数定义域的限制所以要分类讨论，第二次分类的起因是kT吗是否在函数的定义域仅I*三0）内，