湖南铁道职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

1、、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.若复数邑的实部与虚部相等，则实数a(2i(A)1(B) 1(C)2(D) 2Word文档一，2f(x).2.已知f(x1)一(L,f1(xN*),猜想f(x)的表达式为(1.2一D. f(x)x 12x 1f(x)2?4.2.A.f(x)-B.f(x)C.f(x)3.等比数列an中，a10,则a%'Ma'3a6”的B(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件4.从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A,B,C,D四项不同的工作，每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的

2、工作分配方案共有B(A)60种(B)72种(C)84种(D)96种5.已知定义在R上的函数f(x)的对称轴为x3,且当x3时，f(x)2x3.若函数f(x)在区间(k1,k)(kZ)上有零点，则k的值为A(A)2或7(B)2或8(C)1或7(D)1或86.已知函数f(x)log2x2log2(xc),其中c0.若对于任意的x(0,f(x)1,则c的取值围是D11,1J(A)(0,44,)。(楣L87.已知函数f(x)ax3bx22(a0)有且仅有两个不同的零点x1A.当a0时，x1x20,x1x20B.当a0时，xx20,x1x208.如图，体ABCDABciD中，P为底面ABCD上的动点，P

3、EAC于E,且PAPE,则点P的轨迹是A(A)线段(B)圆弧(D)抛物线的一部分(C)椭圆的一部分第II卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.设等差数列an的公差不为0，其前n项和是a.若S2s3,80，则k5226310 .(x2一)6的展开式中x的系数是160x11 .设a0.若曲线yJx与直线xa,y0所围成封闭图形的面积为a2,则a.12 .在直角坐标系xOy中，点B与点A(1,0)关于原点。对称.点P(x,y)在抛物线y24x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2,则x。1J213 .数列an的通项公式anncosn1,前n项和为Sn,则S201

4、2214 .记实数x1,x2,L ,x n中的最大数为3018maxx1,x2,L,xn,最小数为minx1,x2,L,xn.设八ABC的三边边长分别为a,b, c ,且a b c ,定义 ABC的倾斜度为abcatmax,一min,bcab(i)若八ABC为等腰三角形，则t1(ii)设a1,则t的取值围是.1,5)2三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题共14分)已知函数f(x)mlnx(m1)x(mR).(I)当m2时，求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(n)讨论f(x)的单调性；(III)若f(x)存在最大值M，且

5、M0,求m的取值围.(18)(共14分)解：(I)当m2时，f(x)2lnxx.x2.f(x)-1xx所以f(1)3.又f(1)1,所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程是y13(x1),即3xy20.(n)函数f(x)的定义域为(0,),m.(m1)xmf(x)一m1xx当m00时，由x0知f(x)mx0恒成立,此时f(x)在区间(0,)上单调递减.当m>1时，由x0知f(x)mx此时f(x)在区间(0,)上单调递增.当0m1时，由f(x)0,得xm-,由f(x)0,得xm-1m1m此时f(x)在区间(0,工一)单调递增，在区间(上一，)单调递减.1m1m(III)由(n)知

6、函数f(x)的定义域为(0,),当m00或m>1时，f(x)在区间(0,)上单调，此时函数f(x)无最大值.当0m1时，f(x)在区间(0,上一)单调递增，在区间(-,)单调递减,1m1m所以当0m1时函数f(x)有最大值.最大值Mf(m)mlnmm.1m1m_.m.e因为M0,所以有mlnm0,解之得m.1m1ee所以m的取值围是(,1).1 e16.(本小题满分13分),一一一*一，一冗已知函数f(x)sinxacosx的一个零点是一.4求g(x)的单调递增区间(I)数a的值；(n)设g(x)f(x)f(x)273sinxcosx,(I)解：依题息，得f(一)0,.1分4即sinac

7、os-0,3分4422解得a1.(n)解：由(I)得f(x)sinxcosx.g(x)f(x)f(x)23sinxcosx(sinxcosx)(sinxcosx)V3sin2x(cos2xsin2x)73sin2x8分cos2xV3sin2x9分2sin(2x-).10?分6,冗冗兀2k冗一2x2k冗一，262，口？冗A冗，r一八得女冗一xku,kZ.12?36兀兀.一所以g(x)的单调递增区间为"冗-,ku-,kZ.3613？分17.(本小题满分13分)已知数列bn是等差数列，bi=1,bi+b2+b1。=145.(1)求数列bn的通项公式bn；(2)设数列an的通项an=loga

8、(1+;)(其中a。且a力)记$是数列an的前比较bn，1Sn与一logabn+1的大小，并证明你的结论.3n项和，试Word 文档bi1(1)解：设数列bn的公差为d,由题意10(101),侍10bd1451-?"bn=3n,F32位=lOg明a(1由1)b+=3ng-,2物+)+-+loga(1+1)43n2=loga(1+1)(1+1)-(1+-A)243n2而一logabn+1=loga3：3n1，于是，比较3S与一1.logabn+13(1+1)(1+1一)(1+41-3n与3.37的大小.Word文档取n=1,有(1+1)=38V4V311-.12 2a取 n=2 ,有(

9、1+1)(1+ - )3/8八/ 7 3/3 2 14推测：(1+1)(1+ 1)-(1+AA)>V 3nn (*)4 3n 2* _.假设门=女也)时()式成立，即(1+1)(1+ - ) - (1+,11则当 n = k+1 时，(1 1)(1 -) (1 )(13k4 3k 21_3k_2)><13k 1 313(k 1) 23k 1)3k(3k23 3k 1) 3 ( 3 3k 4) 33k 1_ 3_2(3k 2) 3 (3k 4)(3k 1)29k 4 c(3k 1)(3k 1) 23k1.,(3k 2) 1 3 3k 4从而(1 1)(1 -)(1 一-4 3k

10、2 3k 1由知，()式对任意正整数33 3(k 1) 11)(1 -)A3(k 1) 1 ,n都成立.*.I即当n=k+1时，()式成立1 .于 ze,当 a>1 时，Sn> logabn+13，当 0 v a v 1 时，Sv logbeax 3x ,其中 a R .18.13已知函数f(x)axInx,g(x)(I)求f(x)的极值;(n)若存在区间M，使f(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值围.18.(本小题满分13分)(I)解：f(x)的定义域为(0,),e,1ax1c八且f(x)a-.2分xx当a0时，f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递减.从而f

11、(x)没有极大值，也没有极小值.，人，、1当a0时，令f(x)0,得xaf(x)和f(x)的情况如下:X1(。曰13(Laf(X)0|f(x：/1(1f'x；.!S：.(a).1从而f(x)的极小值为f(一)1lna;没有极大值.5分a(n)解：g(x)的定义域为R,且g(x)aeax3.6分当a0时，显然g(x)0,从而g(x)在R上单调递增.一.1由(I)得，此时f(x)在(一，)上单调递增，符合题意.8分a当a0时，g(x)在R上单调递增，f(x)在(0,)上单调递减，不合题.9分-13当a0时，令g(x)0,得xo-ln(-).aag(x)和g(x)的情况如下表x(,x。)Xo

12、(%,g(x)0g(x*当3a0时，x00，此时g(x)在(x0,)上单调递增，由于f(x)在(0,)上单调递减，不合题意.11?分当a3时，xo0，此时g(x)在(，xo)上单调递减，由于f(x)在(0,)上单调递减，符合题意13?分综上，a的取值围是(，3)U(0,).19.(本小题满分14分)22如图，椭圆与与1(ab0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,Bab两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60.(I)求该椭圆的离心率(II)设线段AB的中点为G,AB的中垂线与GFD的面积为S,OED(。为原点)的面积为x轴和-y轴分引度于E两点.记(I)解：依题意，当直线AB经

13、过椭圆的顶点(0,b)19.(本小题满分14分)斜角为时,其倾Sz,求§的取(出国,y601分设F(c,0),b则-tan60点.c将b73c代入a2b2c2解得a2c.c1所以椭圆的离心率为e-.a2(n)解：由(i),椭圆的方程可设为设A(x1,y1)，B(x2,y2).22与匕1.4c3c其代入依题意，直线AB不能与x,y轴垂直，故设直线AB的方程为yk(xc),3x24y212c2,整理得(4k23)x8ckx4kc12c20.nrt则xx24ck2G(F3ck).4k3_,28ck”,4k3yiy2k(xiX22c)6ck4k23因为GDAB,3ck所以因为Sfk4ck22

14、-XDJ4kGFDAAOED,ck24k2所以SS2(4ck24k23所以|GD|2|OD|2,2、ck)24k23(Akl)24k23(3ck)24k211.分_22(3ck2)(ck2)_2(3ck)29c2k49c2k2c2k413色的取值围是(9,S214分(20)(本小题共13分)设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：(i1,2,L,n)称为数组A的“元”j称为d的下标.如果数组AAaL,a,L,aS中的每个“元”n).其中都是来自B (bib,L ,b n)数组A中不同下标的“元”，则称S为A的子数组.定义两个数组A(ai,a2,L冏),的关系数为C(A,B)诩。a2b2Lanbn.11(I)若A(1,),B(1,1,2,3),设S是B的含有两个兀的子数组，求22C(A,S)的最大值；,B(0,a,b,c),且a2b2c21,S为B的含有个“元”的子数组，求C(A,S)的最大值.(20)(共13分)解：(I)依据题意，当S(1,3)时，C(A,S)取得最大值为2.(II)当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，及B中a,b,c三个“元”的对、30-称性，可以只计算C(A,S)(ab)的最大值，其中abc1.3由(ab)2a2b22ab2