引理15.5[G；]为交换群,aG是其中阶最大元,设其阶为n_第1页
引理15.5[G；]为交换群,aG是其中阶最大元,设其阶为n_第2页
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1、 引理引理15.5：G;* *为交换群为交换群,a G是其中阶最大是其中阶最大元元,设其阶为设其阶为n。则任一则任一x G的阶可整除的阶可整除n。 定理定理15.16:GF(pm)中非零元全体关于乘法构中非零元全体关于乘法构成循环群。成循环群。 关键证明存在元素，其阶为关键证明存在元素，其阶为pm1。 找元素，阶最大的。找元素，阶最大的。 定义定义15.10:循环群循环群GF(pm)*;* *之生成元称之生成元称为有限域为有限域GF(pm)的的本原元本原元。 GF(pm)是本原元是本原元, 则则GF(pm)中元素中元素可表示为可表示为:GF(pm)=0, 0=1, , 2, pm- -2 例例

2、:找出找出GF(32)的所有本原元。的所有本原元。 不可约多项式不可约多项式x2+1 +1, +2, 2 +1, 2 +2都是本原元都是本原元 +1是本原元是本原元,则其他元素则其他元素2, , +2,2 , 2 +1,2 +2怎样表示成怎样表示成 +1的幂次的幂次? 二、本原多项式二、本原多项式 定义定义15.11:设设g(x) Zpx是是m次不可约多次不可约多项式项式,当当k=pm- -1时时g(x)|(xk- -1),当当k2)是有理数域上的不可约是有理数域上的不可约多项式。多项式。 p=3 基本概念要清楚基本概念要清楚 熟知的数集上性质熟知的数集上性质 注意按照定义和规则，不能想当然注

3、意按照定义和规则，不能想当然 要有一定的灵活，善于思考要有一定的灵活，善于思考 考题类型：考题类型： 判断说明理由；判断说明理由； 证明，说明，计算证明，说明，计算 考试时间：考试时间：5月月8日日9:5011:35 地点：地点：Z2108 占总分占总分40% 作业作业: P208 26 1.已知已知x4+x+1是是Z2上的本原多项式上的本原多项式,设设 是是x4+x+1的根的根, (1)求出求出GF(16)上的所有本原元，并用上的所有本原元，并用 的的幂次形式表示幂次形式表示.(2)求出求出Z2上的所有四次本原多项上的所有四次本原多项式。式。 2.已知已知x4+x+1是是Z2上的本原多项式上的本原多项式,设设 是是x4+x+1的根的根, (1)求出求出GF(16)上的所有本原元，并用上的所有本原元，并用 的的幂次形式表示幂次形式表示.(2)求出求出Z2上的所有四次本原多项上的所有四次本原多项式。式。 3.证明证明2xn+9x2+6(n2)是有理数域上的不可约多是有理数域

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