对数与对数运算

1、对数与对数运算对数与对数运算问题问题1：假设假设1995年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a亿亿元，如果每年平均增长元，如果每年平均增长8%，那么，经过多，那么，经过多少年国民生产总值是少年国民生产总值是1995年时的年时的2倍？倍？a(1+8%)x1.081.08x x=2=2 怎样求出这个x x?析：析：-a-a(1+8%)-a(1+8%)(1+8%)=a(1+8%)2-a(1+8%)2(1+8%)=a(1+8%)31995年生产总值1996年生产总值1997年生产总值1998年生产总值 ？ - =2aX年ab=N解出b解出N指数底数幂对数底数真数a0且a1N0bRbRa0且a1b=

2、 logaNN0?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N一般地，如果 1, 0aaa的b次幂等于N, 就是 Nab，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作 bNaloga叫做对数的底数，N叫做真数。定义：复习上节内容 练习：练习： 1.将下列指数式写成对数式将下列指数式写成对数式 (1)54=625 (2)2-6= (3)3a =27 (4)( )m =5.73641314=log5625-6=log2(1/64)a =log327m=log(1/3) 5.732.将下列对数式写成指数式(1)log 16=4(2)log2128=7(3)log100.01= -2(4

3、)loge10=2.3032116= 4)21(128=270.01=10-210=e 2.30310_3log. 13_1log. 25练习练习1：计算下列各式的值：计算下列各式的值思考思考:?1loga?logaa?logNaa有关性质： 负数与零没有对数（在指数式中 N 0 ） , 01loga1logaa对数恒等式NaNalog复习上节内容16log, 1log, 0log),1(log)2(132有意义吗？下面介绍两种特殊对数：下面介绍两种特殊对数：常用对数常用对数：我们将以：我们将以10为底的对数叫为底的对数叫做常用对数，并记做做常用对数，并记做N10logNlg自然对数自然对数：

4、无理数：无理数e=2.71828,以以e为底的对为底的对数称为自然对数，并记做数称为自然对数，并记做Nelog.ln N常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 N10log简记作lgN。 自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 为了简便，N的自然对数 Nelog简记作lnN。 （6）底数a的取值范围： ), 1 () 1 , 0(真数N的取值范围 :), 0( 复习上节内容 例例2 求下列各式中求下列各式中x的值：的值：xxx2x64lne-(4) 100lg)3(68(2)log 32log) 1

5、 (2)223(log)5(x0)(loglog)6(25x例例3 计算下列各式计算下列各式:(1)25log5(2)161log2(3)15log15(1) 解:225log25552(2) 解:4161log161224(3) 解:115log15 对于幂的运算我们有三条运算法则对于幂的运算我们有三条运算法则.现在我们学习现在我们学习了对数了对数,那么对于对数之间的运算那么对于对数之间的运算,又会有什么样的运又会有什么样的运算性质呢算性质呢?幂的运算的三条法则幂的运算的三条法则:), 0, 0()() 3(), 0()()2(), 0() 1 (RrbabaabRsraaaRsraaaar

6、rrrssrsrsr如果如果那么，且, 0, 01, 0NMaaMnMNMNMNMNManaaaaaaaloglog)3(logloglog)2(loglog)(log) 1 (证明：设 ,logpMa,logqNa由对数的定义可以得： ,paM qaN MN= paqaqpaqpMNa log即证得 ?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N)(1NlogMlog(MN)logaaa证明：设 ,logpMa,logqNa由对数的定义可以得： ,paM qaN qpaaqpaqpNMa log即证得 ?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=NNM

7、)(2NlogMlogNMlogaaa证明：设 ,logpMa由对数的定义可以得： ,paM npnaMnpMna log即证得 ?底数?对数?真数?幂?指数?底数?log?a?Nb?a?b?=N)(3R)M(nnlogMloganaMnMNMNMNMNManaaaaaaaloglog)3(logloglog)2(loglog)(log) 1 (如果如果那么，且, 0, 01, 0NMaa对数运算的三条运算法则：对数运算的三条运算法则：对于上面的每一条运算法则，都要注意只有当式子对于上面的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立中所有的对数符号都有意义时，等式才

8、成立对吗？请问：)5(log)3(log)5()3(log222其他重要公式1:NmnNanamloglog证明：设 ,logpNnam由对数的定义可以得： ,)(pmnaN 即证得 NmnNanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN 其他重要公式2:aNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca证明：设 由对数的定义可以得： ,paN 即证得 pNalog,loglogpccaN ,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog这个公式叫做换底公式其他重要公式3:abbalog1log), 1 () 1 , 0(,ba证

9、明:由换底公式 取以b为底的对数得： 还可以变形,得 , 1logbbaNNccalogloglogabbbbalogloglogabbalog1log1loglogabba4log2) 2(4log) 1.(32log4log) 2(24log) 1.(29log3log) 2() 93 (log) 1.(1222222333例用表示下列各式：zyxaaalog,log,log32log)2(log) 1 (zyxzxyaa例例计算下列各式：5572100lg)2();24(log) 1 (练习、求下列各式的值：练习、求下列各式的值：探究探究换底公式换底公式：) 0; 1, 0; 1, 0(

10、logloglogbccaababacc且且如何推导？18lg7lg37lg214lg(1)(2)2lg20lg5lg8lg325lg22(3)7 . 0lg20lg)21lg(7lg(4)7 . 0lg20lg)21(7)0; 1, 0; 1, 0(logloglogbccaababacc且且证明：.logloglog,loglog,loglog,loglog,logabbabpbapbacbabpccacccccpcpa即所以则有为底的对数两边取以，则令例7 利用换底公式可得:2log12log3log3log3332请利用同样的方法证明:abbalog1log例8 证明 .NNamaml

11、oglog 例9 计算8log7log3log732bye!(请记住请记住)(请记住请记住)计算计算:16log2例10 27log9例1132log9log278x01. 113x01. 11318例例1 1999底我国人口为底我国人口为13亿亿,人口增长的年平均增长率为人口增长的年平均增长率为1%,则则x年后，我国的人口数为；若问多少年后年后，我国的人口数为；若问多少年后我国的人口达到我国的人口达到18亿，即解方程，则亿，即解方程，则1318log01. 1x而如果计算器只能求而如果计算器只能求10,e为底的对数，那该怎么办？为底的对数，那该怎么办？方法：进行换底，把底换成以进行换底，把底换成以10，或者换成以，或者换成以e为底为底01. 1lg13118lg01. 1lg1318lg1318log01. 1gx01. 1ln13ln18ln01. 1ln1318ln1318log01. 1x或者或者2lg5lg)7(15log5log) 6(000001. 0lg) 5(3log6log) 4(31log3log) 3(100lg) 2()927(log) 1 (332255223小