开普勒三大定律

1、随着人类航天技术的飞速发展和 我国嫦娥绕月卫星的发射成功， 以天体运动为载体的问 题一各成为 今后考查热点。在现行的高中物 理教材中主要引用 了 开普勒三大 定律来描述了 天体的 运动的规 律，这三条定律的主要内容如 下：创作：欧阳学时间:2021.03. 03(1) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。(2) 对任怠一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。(3) 所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值T2oJc至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及T2中的常量 C与那些量相关并无说明。为了更深入的理解天体和人 造卫星的运行规律，本文

2、将以椭圆的性质为基础从理论上 推导开普勒定律。一、开普勒笫一定律1. 地球运行的特点(1) 由于T电球始纟冬绕太阳运动，则太阳对:ht球的万 有弓I力的力矩始终为零，所以地球在运动过程中玮动量守恒。(2) 若把太阳与地球当作一个系统，由于万有弓I力 为保守力且无夕卜力作用在这个系统上，所以系统机械矣巨守恒。2. 地球运行轨迹分析地 球在有丿力场 中作平面运动且万有引 力的作 用线始 纟冬通过太阳，所以建立如图所示的极坐标系，则P点坐标 为(r, e )o若太阳质量为 M, 地球质量为 m, 极径为I时地球运 行的运行速度为vo当地球的运行*速度与极径1垂直时，贝片也球运彳亍过程 中的甬动-g-

3、 Z = mvr( 1 )若取无穷远处为引力势能的零参考点，则引力势能GMm3也球在运行过程中的机械芳WGMm(2)(1)式代入(2)式得：2购八r(3)1 _ gW L 2 廝由式(3)得：r吐-彳十&*淤彳(4)由式(4)可知，当地球的运行速度与极径r垂直时,地球运行的极径r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂直，所以r为地球处在近日点牙口远日点品巨太阳的品巨离。考虑到:ht球的这两个位宣在极坐标系中分别相当于COS0M-1弄口cos&=+1, 可扌巴式 (4) 中的土号改写为更普遍的形式极坐标方程。则地球的运行轨迹方程为1 &佑1十J1十害L V G2Jl/

4、WI?(5)=(l + ecos<z?)I?(5)式与圆锥曲线的极坐标方程厂P吻合，其中P GMm1 (p为决定圆锥曲线的开口)，?- V + G2M2rn5 (e为偏心率，决定运行轨迹的形状)，所以3也球的5亍轨迹为圆锥曲线。由于Nt球绕太阳运动时E<0, 则圆锥曲线的偏心率0<e <1, 所以地球绕太阳运行的 轨迹为椭圆。3. 人造星体的变轨由于运载火箭发射能力的局限，人造星体往往不能直 接由火箭送入最终运行的空间轨道，若要使人造星体到达 预定的轨道，要在地面崖艮踪测控网的跟踪测控下，选择合 适时机向卫星上的发动机发出点火指令使人造星体的速度 士曾加 （机械能增加）

5、，进而达到改变卫星运行轨道的目 的。如图所示最初人造星体直接由火箭送入近地轨道1, 此时一 21?, 偏心率e=0, 人造星体运行的轨迹为圆；当到达A点时，人造星体发动机点火，此时2亡 <E<0,偏心率0<e< 1,运行的轨迹为椭圆轨道2;当到达B点时，人造星体发动机再次点火，当电=孕加§-21? 时，偏心率e=0, 人造星体将在圆轨道3上运行；当到达B点时人造星发动机再次点火，人造星体将在 开口更大的椭圆轨道4上运动，人造星体将离地球越来越 远，当地球对它的弓I力小于其它星体对它的引力时，人造 星体将脱离地球的束缚奔向其它星体（如嫦娥一号卫 星）。二、开普勒

6、笫二定律行星绕太阳的轨道为椭圆，若在时刻t行星位于 A点，经dt时间后行星位于点B, 在此时间内行星的极径r转过的甬度为de ,则 AOB所田的面积dS = -r2d&2 (1)as i 2 舶 1 2二一f 二一r (D(1)式除以dt有必 2 dt2(2)由于甬动量Z =解=加尸皿(3)的12Z=mr (3)式代入(2)式得必2加2m由于L是恒量，所以单位时间内极径所扫过的面积適也是恒量。所以地球在近日点运行的快，在远地点运行 的慢。如图人造星体从轨道1变化到轨道3的过程中，若 点火前后A、B两点的速度分别为Vi. V2. V3. V4,则点火 前后速度Vi<V2, V3VV

7、4;在椭圆轨道3上A、B两点分别为近地点和远地点，则速度 V2>V3；由于人造星体在轨道1。轨道3上做匀速圆周运动，以Vi>V4;故V2>Vi>V4>V3o三、开普勒笫三定律行星绕太阳运动椭圆轨道的面积，根据椭圆的性质则 椭圆的面积S = mb (a为长轴，b为短轴)由于单位时间内极径所扫过的面积不S2m7Jbtb邑=三=Ldt 2m根据椭圆的性质利开普勒第一定律，半长轴° =如+心=”工2） （2）式得严二创偽2吩_訂）（2）式代入（1）式严 _ 47?临%2护得 -?一 G滋/2（1旳（3）根据椭圆的性质，椭圆的半短轴色=。/匚则於=即（1_旳式（4）代入（3）式得庐一而一匚由此式可知绕同一 中丿天体运行的 人造星体轨道半长轴 的 三次方崖艮它们 的公转周期的二次方的比值由中丿天体的质量所决定。例 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T,如图所示如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A 将速度降低到适当的数值，从而丁吏飞船沿着地为焦点的椭圆轨道运行