点到直线的距离公式推导

1、十二种点到直线距离公式证明方法用高中数学知识推导点到直线的距离公式的方法。已知点P（Xo,Yo）直线l:Ax+By+C=0（A、B均不为0）,求点P到直线I的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）1.用定义法推导点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线l的垂线为垂足为Q由l垂直l'可知l'的斜率为B/AX/ZI界二r的方程：¥-¥语日仪-xj与t法立fTi方程组解得交点。（用过年小.AVq-ABBCjA-+B3|PQ/=<旦嗡日次冬一.iA%-ABx；-BC_j?IAB2YMABy07ACpu-ABx(r*BCpA?+

2、B?A7+B2_A快玄+HmC尸+b>(ab如C尸(A-B平_(Axo+Byn+C?，ipqi=P&+Bydg72.用设而不求法推导点到直线LAx+By4C=0上 任意一点期距离的最小值就是点P到直 线f的施陶，在/上取任意点M(x,v),用 两点的距离公式有|PMF=(x-xjq(v-V 为了利用条件Ax+Bv+C，O,将上式变形 一下，配座,系数处理得工W+BHx-xJ+iy-yJI二人小_ B y - y g A，f v _y(J 7 B ” -淄 -Atx-xJ+Biy-yJlMAiy-yBlx-xJF lA(x-xJ+B(y-y0H;-iAXfl+By04-Cl?(Ax

3、o+By0+C«O)/A?+B2当巨仗:“1 Ay-yjB (xxj0时取等 号斯以最小值就是d jq纹叱q3.用目标函数法推导过已知点p (总V。作已知直线上 AhHy+C=O的垂线，设垂足力口仪巾, 则|V0mTz3冷B乜窗得Ax+By+COAN-yJ-Bbc-端二口A(x-Xo) + B(y*yc)- (AxD+ByD+ C) 由上式得；(ABltxXrJty-yjn-(Ax+Bvo+C,gVix二+1¥)'=伊十VA74B?4.用柯西不等式推导“求证：(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,当且仅当ad=bc,即a/c=b/d时等号成立。”实为

4、柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地推出点到直线的距离公式。设点M(x,y)为直线上Ax+Bv*C=。上任意一点.任意点PC%mQ到直线/的距周为比则：“PMF=(Ax-Ax7,(By-BycJ5A工B-(By-ByB?1三(Ax-Axo+By-Ax-BybCF.M|PM|g=叱电就CL,当且仅当VA+B，A-=B-附等号成立.x-xov-y05.用解直角三角形法推导I，荒"似再,IPGI-Ime。虫目山士C4易得上GPH=。或乙GPH=1800-a,g两抻情况下都有喑"GPH=tg匕唱./, COSZGPH =一，一M _|B|一VASd=|PH|=|PG|cos L

5、 GPH|=| 包噂也七十DsAxo+Byb+CLV型忑VA叮B"设直线l的倾斜角为过点P作PM/ y轴交l于G(xi , X=x。,所以¥产_,6.6.用三角形面积公式推导yi),显然两点同匹阿宏式的推导过程中.使用降维思想构通百龟三角形.受此JB示,当A巴旁口时.过点户的两条直线，分别作平行于x谕.¥轴的两条直线，分别交直改九Ax+Dv+C=O于点MJ空笑£-,¥9、M(xo,-L则|MP|=|:+日甘匚|,C51-r-K|NP|=|v。+2；MPxNP,o/.在中，田直角三用的ea面枳公式得-|MP|NP|-VJMNpd.二d=|PQ|=

6、-lEMlJPNLx/fp阿研p网F=JAxfl+Byfi±CLVA+B3«7.用向量法推导由盲线，的75程不能图时为。1可得首线1的法向量为A没过点P%,VJ作良线，的垂线,垂足为H仪.，L则向量由=、3,即仅11jXoZ,TA入(A,B).所以MuyXA.v'-v=xa目|附7仅v母=同97方，又因为点H(x;外在巨成t上.所以就有;Ak1By,+C=01即A,»+B(V0*AB)+C=0,/,X(Axo+Sya+Ch又因为区上不同时为0,a|m|=V(x-xbiV'-vS5二同VA7+可4笔盘Ml|VA耳B即d=|团W|=-.3mC内1炉8.

7、用向量射影公式推导设R是直线上的任意一点.设RM¥),直线的万向向呈为京T-B,A),则直线的法向量为PQ*=(AjB)，尔=(x-Xo,y-yJ.d.和：，仃1一I息仪一知)1+小¥-¥楙"g"+位二山附日¥国V*国点评:向量是一抑很好的工具.用向量处理，既避开了分类讨论，又体现了平百向蜜的工具装,会有事干功但的效果,«9.利用两条平行直线间的距离处处相等推导如果过点P%Vo）作/：Ax+By+C=O的平行线:Ax+By-Ax0Byo=O,那么宜线F上任意一点到I的距离都等于点P到直线/的距图，既然可以任意取点，我们应设法

8、使这个点到直线/的距离容易求得,选取直线r与其轴的交点G（小噂血，0）.过G作/的垂线,垂足为H,设/与X轴相交于点F（容易求得FG=也噜旦，角a与直线的便斜角B相等或互补,tBm=土tang±等.容inct|=±含|=-1-从而d=|GH|=|FG|sina|=|匹噜&|.型二厂二A1VAB5AXfiiByo+Cf储后0r«10.从最简单最特殊的引理出发推导引理：坐标原点到直线1:Ax+Bv+C=O的距离h=VA+B2周证:先从原点到直线的距寓这一特殊情形入手,设直线/与x轴、V轴分别交于点E、F,则点E、F的坐标分别是-会，0）、。目）由三角形面积恒等

9、：1-EF*h=DZJOE-OF得h二由平行直线系求出过点P（%,¥J且与/平行的直线的方程:Ax+Bv-AXo-B¥o=O,设直线/和/,分别与x轴交于点E、G,则点E(-,Q)、G(fAx嘿丫九0),由1/C得ffiid_EGK"OE'1C|.|C|JAxq+Bh+CIA|VSWWfBS11通过平移坐标系推导是坐在原点就好了，,为此，我扪以点p区，.yd为原点建n官角卜(VP)£坐标系x,qv,并使r坐标汩凡力利与'!'坐标轴X,Y明亍,设直线i在新坐标系中记内心没任意点G在新旧坐标系中的域标分别8&Wi#M白则由QC?=0(/,十(7冲,得kM=k4J+*，vL；.x=Koxy=Yotv.*Ei线/在新坐标种的方程是:AXfJ+B(v+yd+c=g,白0ax.+By：axq；Byg+Cus点O*到直线F的距离就是点pgyJ到直线工的距离I由引理的得F三lAxBvo+CI12.由直线与圆的位置关系推导当以点P8.VJ为国心的圆后直线hAx+Bv+CkO相U时.圆的半径就是点Pk,vJ到直线1小+8¥£=0的函离，于是，问题归化为