《现代数学基础》课程教学大纲

1、现代数学基础课程教学大纲课程名称现代数学基础/The basis of modern mathematics课程编码10011501410课程类型专业选修课课程性质专业主干课适用范围数学与应用数学（教师教育）专业学分数3先修课程高等代数、数学分析等学时数54 实验/实践学时无课外学时无考核方式考查 制订单位数学与信息科学学院制订日期2008年9月 一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务现代数学基础是综合性大学数学类各专业高年级一门重要的专业选修课程，重点介绍与科学技术密切相关的一些重要的现代基础数学与应用数学分支的基本概念和方法，为进一步深入学习和运用现代数学知识打下基础。本课程是

2、一门内容丰富、思想深刻、方法基本的课程，一方面分别从代数、几何和分析的角度介绍了现代数学的基本内容，另一方面介绍了与现代科技密切相关的一些现代应用数学内容。通过学习，可以使学生系统地掌握现代数学基础知识，既可以作为工具性目的的需要也可以作为逻辑思维方法的训练。（二）教学目的和要求本课程教学目的是通过系统的学习，使学生全面掌握一些重要的现代基础数学与应用数学分支的基本概念和方法，如实变函数、一般拓扑学、泛函分析、抽象代数、人工神经网络、小波变换、分形理论及其应用等。使学生能系统地掌握现代数学基础知识，并作为工具运用在科学研究中，培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力。在教学基本要求上分为三个档

3、次，即了解、理解和掌握。1、掌握测度、可测集、Lebesgue积分；完备性定义，压缩映射的不动点定理，拓扑空间的概念；有界线性算子，Hahn-Banach定理；群、子群、环、子环、分式域、素域等概念；人工神经网络基本知识；Fourier变换、小波变换的概念；分形的概念，分形的分维。2、理解Rn中可测集上的可测函数，多元函数的Lebesgue积分；列紧集与紧集，连续映射和同胚；投影定理，Hilbert共轭算子；商群、商环、单扩张等概念，群同构基本定理、环同构基本定理；人工神经网络基本算法；小波变换在图像压缩方面的应用；二维空间分形的生成。3、了解两种可测集定义的等价性,空间的定义；距离空间上完备

4、性，拓扑空间的构造，拓扑的基和子基；算子空间，Hahn-Banach定理几何形式；分式域存在定理；人工神经网络设计与应用；小波变换在信号分析方面的应用；高维空间分形的生成，分形在图像压缩等方面的应用。（三）课程教学方法与手段本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学。基本内容、一些重要方法由老师讲授，通过习题课巩固，一些其它知识的补充则通过老师辅导，学生自学来实现。教学过程可恰当地使用现代教育技术手段，把传统的板书与现代化手段相结合，重要的定理、图表、图像制成多媒体，利用黑板进行问题分析与推理。（四）课程与其它课程的联系现代数学基础是综合性大学数学类各专业高年级一门重要的专业选修课程。要学

5、习本课程，需先修高等代数、数学分析、空间解析几何、常微分方程、复变函数、数学模型等相关课程。（五）教材与教学参考书教材：魏贵民，现代数学基础，高等教育出版社，2007年教学参考书：许志才、殷志祥 许峰，现代数学基础，科学出版社，2005年二、课程的教学内容、重点和难点第一篇 实变函数教学内容：集合的势，Lebesgue测度，可测函数，Lebesgue积分。重点：集合的势，测度、可测集、可测函数定义及性质，Lebesgue积分的定义、性质。难点：可测集结构，积分的极限定理。第二篇 一般拓扑学教学内容：度量空间，拓扑空间。重点：完备性定义，列紧集与紧集，压缩映射的不动点定理，拓扑空间的概念，连续映

6、射和同胚。 难点：距离空间上完备性，紧集，拓扑空间的构造，拓扑的基和子基。第三篇 泛函分析教学内容：Banach空间及其上的算子，Hilbert空间。重点：有界线性算子，Hahn-Banach定理，投影定理，Hilbert共轭算子。难点：算子空间，Hahn-Banach定理及其几何形式，投影定理，Hilbert共轭算子。第四篇 抽象代数 教学内容：群，环和域。重点：群、子群、商群、环、子环、商环、分式域、素域、单扩张等概念。难点：群同构基本定理、环同构基本定理、分式域存在定理等。第五篇 人工神经网络教学内容：人工神经网络基本及算法，人工神经网络设计与应用。重点：前馈型人工神经网络；自组织神经网络；反馈型人工神经网络等。难点：BP算法，自组织特征映射（SOM）神经网络，离散型Hopfield神经网络（DHNN）。第六篇 小波变换教学内容：Fourier变换，小波变换，小波变换应用实例。重点：Fourier变换、小波变换的概念，小波变换在图像压缩、信号分析等方面的应用。难点：小波变换的应用。第七篇 分形理论及其应用教学内容：分形的例子，分形的分维，分形的生成，分形的应用。重点：分形的概念，分形的分维，二维空间分形的生成。难点：高维空间分形的生成，分形在图像压缩等方面的应用。三、建议学时分配教学内容各教学环节学时分配采用何种多媒体教学手段章节主要