概率论独立性

1、概率论概率论 第六节 独立性主要内容：主要内容： 1 1）两个事件的独立性）两个事件的独立性 2 2）多个事件的独立性）多个事件的独立性 3 3）独立性的概念在计算概率中的应用）独立性的概念在计算概率中的应用重点：重点： 1 1）两个、多个事件独立性的定义）两个、多个事件独立性的定义 2 2）利用独立性的概念接概率题目）利用独立性的概念接概率题目概率论概率论 显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概发生的概率率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第

2、一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 概率论概率论 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受 P(B)0 或或 P(A)0 的制约的制约. P ABP A B P B 概率论概率论 若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称则称A、B相互独立相互独立，简称，简称A、B独立独立.两事件独

3、立的定义两事件独立的定义independence 1 定定理理 独立的充要条件为独立的充要条件为、事件事件BA 0,|0, | APBPABPBPAPBAP 或或概率论概率论 证证 . 先先证证必必要要性性 , 由由独独立立定定义义知知独独立立、设设事事件件BA BPAPABP | , 0 , BPABPBAPBP 时时当当所所以以 BPBPAP AP | , 0 , APABPABPAP 时时当当或或者者 APBPAP BP : 再再证证充充分分性性 , | 则则有有成成立立设设APBAP BPBAPABP| BPAP . , 相相互互独独立立、事事件件由由定定义义可可知知BA概率论概率论

4、例例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 故故 事件事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,概率论概率论 前面我们是根据两事件独立的定义作出结论前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记记 A=抽到抽到K

5、, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的, 在实际应用中在实际应用中, 往往往往根据问题的实际意义去根据问题的实际意义去判断两事件是否独立判断两事件是否独立. 可见可见 P(A)= P(A|B), 即事件即事件A、B独立独立.则则P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13概率论概率论 在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立断两事件是否独立. 由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率，的概率，故认为故认为A、B独立独立 .甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目标射击,记记 A=甲命中甲命中, B=乙命中

6、乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率） 概率论概率论 一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到第一次因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.概率论概率论 例 一批产品共有10件

7、，其中8件正品，2件次品，设1）有放回抽样1288(),(),1010P AP A而12128 8()() ().10 10P A AP A P A所以在又放回抽样下，第i次和第j次抽到正品是独立的。 =第i次取到正品，则iA2）无放回抽样18(),10P A212121212()()()()P AP A AA AP A AP A A概率论概率论 211211(|) ()(|) ()P AA P AP AA P A87284.1091095而128 728().10 945P A A因为1212()() ()P A AP A P A所以在有放回抽样 下，第i次取到正品和第j次取到正品不是独立的

8、.概率论概率论 请问：如图的两个事件是独立的吗？请问：如图的两个事件是独立的吗？ AB即即 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,则则A与与B不独立不独立.反之，若反之，若A与与B独立，且独立，且P(A)0,P(B)0,则则A 、B不互不互斥斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不独立不独立我们来计算：我们来计算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即概率论概率论 设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四个结论中，正确的是：个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系，前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1. P(B

9、|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四个结论中，正确的是：个结论中，正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习再请你做个小练习.概率论概率论 =P(A)1- P(B)= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B独立独立概率的性质概率的性质= P(A)- P(A) P(B)仅证仅证A与与 独立独立B定理定理 2 若两事件若两事件A、B独立独立, 则则

10、BABABA与与与,也相互独立也相互独立.证明证明B= P(A) P( )故故 A与与 独立独立B概率论概率论 n概念辨析概念辨析事件与事件独立事件与事件独立事件与事件互不相容事件与事件互不相容()( )( )P ABP AP BAB ()0P AB 事件与事件为对立事件事件与事件为对立事件AB AB ( )( )1P AP B概率论概率论 定义定义 , 如如果果满满足足等等式式为为三三事事件件、设设CBA CPBPBCPCPAPACPBPAPABP . 为两两独立的事件为两两独立的事件、则称三事件则称三事件CBA , 等式等式两两独立时两两独立时、当事件当事件CBA CPBPAPABCP .

11、 不不一一定定成成立立二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性概率论概率论 例例设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每一个四面体标有号码一个四面体标有号码1 1，2 2，3 3，4 4。令。令A=A=第一个四面体的触地面为偶数第一个四面体的触地面为偶数 B=B=第二个四面体第二个四面体的触地面为的触地面为奇数奇数 C=C=两个四面体两个四面体的触地面的触地面同时同时为为奇数，或者同奇数，或者同时为偶数时为偶数 试讨论试讨论A A、B B、C C的相互独立性。的相互独立性。概率论概率论 A=第一个第一个为偶数为偶数；B=第二个第二个为奇数为奇数C=两个两个同时为

12、奇数，或者同时为偶数同时为奇数，或者同时为偶数(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4) 1( )( )( )2P AP BP C1()()()4P ABP ACP BC()0P ABC 解解 试验的样本空间为试验的样本空间为 所以，所以，A、B、C两两独立，但总两两独立，但总起来讲不独立。起来讲不独立。概率论概率论 对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A

13、)P(B)P(C) 四个等式同时成立四个等式同时成立,则称则称事件事件A、B、C相互独立相互独立. : 有有限限多多个个事事件件的的情情形形此此定定义义可可以以推推广广到到任任意意概率论概率论 定义定义 , , , 21如如果果对对于于任任意意个个事事件件为为设设nAAAn 1 , 1 21有有等等式式和和任任意意的的的的niiinkkk kkiiiiiiAPAPAPAAAP 2121 . , , 21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称nAAA请注意请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对 n (n 2)个事件

14、个事件?概率论概率论 , 2都都每每一一门门击击中中飞飞机机的的概概率率设设有有两两门门高高射射炮炮例例 : , 0.6 求下列事件的概率求下列事件的概率是是 ? 1中飞机的概率是多少中飞机的概率是多少同时发射一发炮弹而击同时发射一发炮弹而击 99% , 2以以上上的的概概率率欲欲以以若若有有一一架架敌敌机机入入侵侵领领空空 ? , 炮炮问至少需要多少门高射问至少需要多少门高射击中它击中它 解解 , 而而击击中中飞飞机机门门高高射射炮炮发发射射一一发发炮炮弹弹第第设设kAk , 6 . 0 , , 2 , 1 于是于是且且之间相互独立之间相互独立则则 kkAPAk 21 1AAP 211AAP

15、 211AAP 三、独立性的概念在计算概率中的应用三、独立性的概念在计算概率中的应用概率论概率论 211APAP 24 . 01 . 0.84 , 2由由题题知知门门高高射射炮炮设设至至少少需需要要n 21nAAAP 121nAAAP 121nAAAP nAPAPAP 211n4 . 01 0.99 , 01. 00.4 n , 解之得解之得 . 026. 54 . 0ln01. 0ln n即即概率论概率论 ?. 4 100 . 0.01 ; 0.95 . , 3 , ) 3 ( 3 : . 100 3 概概率率是是多多少少试试问问这这批批乐乐器器被被接接收收的的音音色色不不纯纯的的件件是是件

16、件乐乐器器中中恰恰有有如如果果已已知知这这的的概概率率为为测测试试被被误误认认为为不不纯纯而而一一件件音音色色纯纯的的乐乐器器经经为为出出其其为为音音色色不不纯纯的的概概率率试试查查件件音音色色不不纯纯的的乐乐器器经经测测设设一一收收则则这这批批乐乐器器就就被被拒拒绝绝接接被被认认为为音音色色不不纯纯中中件件中中至至少少有有一一件件在在测测试试如如果果是是相相互互独独立立的的件件乐乐器器的的测测试试设设件件测测试试该该批批乐乐器器中中随随机机地地取取自自验验收收方方案案如如下下乐乐器器件件要要验验收收一一批批例例概率论概率论 解解 , , 3 件件音音色色不不纯纯恰恰有有件件随随机机地地取取出

17、出设设iHi . 3210,i . 这批乐器被接收这批乐器被接收 A 则则 AP 11HPH|APHPH|AP 00 3322HPH|APHPH|AP 其中其中 0HP , 3100396CC 1HP , 142310096CCC 2HP , 241310096CCC 3HP , 343100CC 概率论概率论 0H|AP , 0.993 1H|AP , 0.050.992 2H|AP , 0.050.992 3H|AP . 0.053 : 概率为概率为所以这批乐器被接收的所以这批乐器被接收的 AP 11HPH|APHPH|AP 00 3322HPH|APHPH|AP 30.99 310039

18、6CC 0.050.992142 310096CCC 22410.050.99 310096CCC 0.053343100CC . 0.8629 概率论概率论 例例4 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？能将密码译出的概率是多少？ 解解 将三人编号为将三人编号为1，2，3，所求为所求为 记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1 , 2 , 3 123P AAA 已知已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A

19、3)=1/4 1231231P AAAP AAA 概率论概率论 12)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 05343325413 1231231P AAAP AAA 概率论概率论 例例5 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件都是电路中的元件. 它们下它们下方的数是它们各自正常工作的概率方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工求电路正常工作的概率作的概率.ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0

20、概率论概率论 解解 将电路正常工作记为将电路正常工作记为W，由于各元件独立工，由于各元件独立工作，有作，有其中其中P(W) 0.782代入得代入得ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0 P WP A P B P CDE P FG P H 1P CDEP C P D P E 0.973 1P FGP F P G 0.9735 概率论概率论 将试验将试验E E重复进行重复进行n n次次, ,若各次试验的结若各次试验的结果互不影响果互不影响, ,则称这则称这n n次试验是相互独立次试验是相互独立的的. 设随机试验设随机试验E E只有两种可能的

21、结果只有两种可能的结果:A:A及及 , ,且且P(A)=p,P(A)=p,在相同的条件下将在相同的条件下将E E重复进行重复进行n n次独立次独立试验试验, ,则称这一串试验为则称这一串试验为n n重贝努利试验重贝努利试验. .贝努利试验贝努利试验Bernoulli trialsBernoulli trialsn 相互独立的试验相互独立的试验n 贝努利试验贝努利试验A概率论概率论 例例 一批产品的次品率为一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，检验后放回，再取一个， 连取连取 4 次求次求 4 次中恰有次中恰有 2 次取到次品的概率次取到次品的概率

22、设设 恰好有恰好有 2 2 次取到次品次取到次品, , 取到次品，取到次品， 则则 取到正品取到正品 A( )5%pP A( )1( )195%qP AP Ap 1234()()()()5%P AP AP AP A1234()()()()95%P AP AP AP A分析分析n = 4 n = 4 的的 Bernoulli Bernoulli 试验试验i i=第第i i次抽样抽到次品次抽样抽到次品 概率论概率论 因为因为1 1，2 2，3 3，4 4 相互独立，所以相互独立，所以 12341234()() () () ()P A A A AP A P A P A P A2422295. 005. 0qp123412341234( )()P BP A A A AA A A AA A A A22424C p q2295. 005. 060135. 0123412341234 , , , A A A AA A A AA A A A123412341234 , ,A A A AA A A AA A A A四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有 624C概率论概率论 贝努利定理