2集合的基本关系及运算参考模板

1、集合的基本关系及运算 【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的含义2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：要点诠释：（1）“是的子集

2、”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作要点二、集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AB读作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn图表示：要点诠释：（1）“x

3、A，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集1 / 9一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AB，读作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于AB”（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成

4、的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合

5、（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）4.集合基本运算的一些结论若AB=A，则，反之也成立若AB=B，则，反之也成立若x(AB)，则xA且xB若x(AB)，则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一、集合间的关系例1. 集合，集合，那么间的关系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不对 【答案】B【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元

6、素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.举一反三：【变式1】若集合，则（ ）.A. B. C. = D. 【答案】C例2. 写出集合a，b，c的所有不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有a，b，a，c，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.举一反三：【变式1】已知，则这样的集合有 个

7、.【答案】7个【变式2】同时满足：；，则的非空集合有（ ）A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个【答案】C 例3集合A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，C=(x,y)|y=x2+1，D=y=x2+1是否表示同一集合？【答案】以上四个集合都不相同【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件举一反三：【变式1】 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【变式2】 设集合，则与的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【变式3】 设M=x

8、|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，则M与N满足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=【答案】B例4已知若M=N，则= A200 B200 C100 D0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性【答案】D【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点举一反三：【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )【答案】2类型二、集合的运算例5. 设集合，求.【答案】,【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构

9、成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.举一反三：【变式1】已知集合M=y|y=x2-4x+3，xR，N=y|y=-x2-2x+8，xR，则MN等于( )A. B. R C. -1，9 D. -1，9【答案】D例6. 设集合M=3，a，N=x|x2-2x<0，xZ，MN=1，则MN为( )A. 1，3，a B. 1，2，3，a C. 1，2，3 D. 1，3【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题【答案】D举一反三

10、：【变式1】（1）已知：M=x|x2，P=x|x2-x-2=0，求MP和MP；（2）已知：A=y|y=3x2， B=y|y=-x2+4， 求：AB，AB；（3）已知集合A=-3， a2 ，1+a， B=a-3， a2+1， 2a-1， 其中aR，若AB=-3，求AB.【答案】（1）x|x2或x=-1，2；（2）y|0y4，R；（3）-4，-3，0，1，2.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设

11、条件.【变式2】设集合A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若AB=2，3，求AB.【答案】2，3，6，18例7.已知全集，求CuA.【思路点拨】CuA隐含了，对于，注意不要忘记的情形.【答案】 当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.【总结升华】求集合的补集，只需在全集中剔除集合的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合的元素不确定，因此必须分类讨论才行.举一反三：【变式1】 设全集U=xN+|x8，若A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)(CuB)=4，7，求集合A，B.【答案】1，3，5，8，2，3，5，6.【解析】全集U=1，2，3，4，5，6，7，8

12、由A(CuB)=1，8知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)B=2，6，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)(CuB)=4，7，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在AB中.由集合的图示可得A=1，3，5，8，B=2，3，5，6.类型三、集合运算综合应用例8已知全集A=x|-2x4， B=x|x>a.（1）若AB，求实数 a的取值范围；（2）若ABA，求实数a的取值范围；（3）若AB且ABA，求实数a的取值范围【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.【答案】（1）a<4；（2）a-2；（3）-2a<4【总结升华】此问题从题面上看是集

13、合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.举一反三：【变式1】已知集合P=xx21,M=a.若PM=P,则a的取值范围是（ ）A(-, -1 B1, +） C-1，1 D（-，-1 1，+） 【答案】C 例9. 设集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【思路点拨】明确、的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.【答案】（1）或；（1）2【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.举一反三：【变式1】已知集合，若,求实数的

14、取值范围.【答案】或【变式2】设全集，集合，若CuA，求实数的取值范围.【答案】【巩固练习】11. 设A=(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0，B=-1, 2，则必有（ ）A、 B、 C、A=B D、AB=2. 集合M=y| y=x2-1, xR， N=x| y=，则MN等于（ ） A、(-, 1), (, 1) B、 C、 D、3已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ） 4已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）A AB B BA C D 5若集合，且，则的值为( )A1 B-1 C1或-1 D1或-1或06设集合，则( )A B C D7设，则.8某班有学

15、生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.9若且，则 .10若，则= .11设全集，集合，那么等于_.12设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（），都有（表示两个数中的较小者）则的最大值是 .13设，其中，如果，求实数的取值范围.14设，集合，；若，求的值.15设，集合.满足以下两个条件：（1）（2）集合中的所有元素的和为124，其中.求的值.【答案与解析】1.【答案】D【解析】.学生易错选C。错因是未正确理解集合概念，误以为A=-1，2，其实(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0=(-1,

16、2)，A是点集而B是数集，故正确答案应选D。2.【答案】C【解析】 集合M中的元素是y，它表示函数y=x2-1的值域，集合N中的元素是x，它表示函数y=的定义域。 由M=y| y-1，N=x| -x，知MN=t| -1t，因此选C。3【答案】B【解析】由，得，则,选B4【答案】C【解析】5.【答案】D【解析】当时，满足，即；当时，而，；.6.【答案】 B【解析】 ；，整数的范围大于奇数的范围.7.【答案】 【解析】.8.【答案】26 【解析】全班分类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为人；仅爱好体育的人数为()人；仅爱好音乐的人数为()人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为人 .，.9.【答案】 【解析】由，则，且.10.【答案】 【解析】，.11.【答案】 【解析】，代