压轴：图形动点问题

1、1.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=x+m经过点C，交x轴于点D（1）求m的值；（2）点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 (直接写出自变量t的取值范围)； （3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使BFH=ABO求此时t的值及点H的坐标2如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向

2、点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0t）秒解答如下问题：（1）当t为何值时，PQBO？（2）设AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2x1，y2y1）称为“向量PQ”的坐标当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标3如图，在ABC中，C=90°，BC=5米，AC=12米M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒运动时

3、间为t秒（1）当t为何值时，AMN=ANM？（2）当t为何值时，AMN的面积最大？并求出这个最大值 4如图，在OABC中，点A在x轴上，AOC=60o，OC=4cmOA=8cm动点P从点O出发，以1cms的速度沿线段OAAB运动；动点Q同时从点O出发，以acms的速度沿线段OCCB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动 设运动时间为t秒 (1)填空：点C的坐标是(_，_)，对角线OB的长度是_cm；(2)当a=1时，设OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大? (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为

4、顶点的三角形与OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围5如图，在RtABC中，C =900，AC = 4cm , BC = 5 cm，点D 在BC 上，且CD = 3 cm ，现有两个动点P，Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P以1 厘米秒的速度沿AC 向终点C 运动；点Q 以1 . 25 厘米秒的速度沿BC 向终点C 运动过点P作PE BC 交AD 于点E ，连接EQ。设动点运动时间为t秒（t > 0 )。 （1）连接DP ，经过1 秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ ，在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行。

5、为什么？（3）当t 为何值时，EDQ为直角三角形。6在直角梯形中，高（如图1）。动点同时从点出发，点沿运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是。而当点到达点时，点正好到达点。设同时从点出发，经过的时间为时，的面积为（如图2）。分别以为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点在边上从到运动时，与的函数图象是图3中的线段。（1）分别求出梯形中的长度；（2）写出图3中两点的坐标；（3）分别写出点在边上和边上运动时，与的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中关于的函数关系的大致图象。（图1）（图3）（图1）（图1）（图1）（图1）（图2）7如图，在边长为4的正方形ABCD中，

6、点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q。（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有ADQABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，ADQ恰为等腰三角形。例1【答案】解：（1）如图，过点C作CKx轴于K，y=2x+4交x轴和y轴于A，B，A（2，0）B（0，4）。OA=2，OB=4。四边形ABCO是平行四边形，BC=OA=2 。又四边形BOKC是矩形，OK=BC=2，CK=OB=4。C（2，4）。将C（2，4）代入y=x+m得，4=2+m，解得m=

7、6。（2）如图，延长DC交y轴于N，分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q，则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形。ER=PO=CQ=1。，即，AR=t。y=x+6交x轴和y轴于D，N，OD=ON=6。ODN=45°。，DQ=t。又AD=AO+OD=2+6=8，EG=RQ=8tt=8t。d=t+8（0t4）。（3）如图，四边形ABCO是平行四边形，ABOC。ABO=BOC。BP=4t，。EP=。由（2）d=t+8，PG=dEP=6t。以OG为直径的圆经过点M，OMG=90°，MFG=PFO。BGP=BOC。，解得t=2。BFH=ABO=BOC，OBF=

8、FBH，BHFBFO。，即BF2=BHBO。OP=2，PF=1，BP=2。=BH×4。BH=。HO=4。H（0，）。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形和矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度，过点C作CKx轴于K，从而得到四边形BOKC是矩形，根据矩形的对边相等求出KC的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值。（2）延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂

9、足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，再利用BAO的正切值求出AR的长度，利用ODN的正切值求出DQ的长度，再利用AD的长度减去AR的长度，再减去DQ的长度，计算即可得解。（3）根据平行四边形的对边平行可得ABOC，再根据平行线内错角相等求出ABO=BOC，用t表示出BP，再根据ABO与BOC的正切值相等列式求出EP的长度，再表示出PG的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得OMC=90°，根据直角推出BGP=BOC，再利用BGP与BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出OBF=FBH，再判定BHF和BFO相似，根据相似三角形对应

10、边成比例可得，再根据t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的长度，代入数据进行计算即可求出BH的值，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标。例2【答案】解：（1）A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。如图，当PQBO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=103t。PQBO，即，解得t=。当t=秒时，PQBO。（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如图所示，过点P作PDx轴于点D，则PDBO。APDABO。，即，解得PD=6t。S与t之间的函数关系式为：S=（0t）。当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。如图所示，当S取最大值

11、时，t=，PD=6t=3，PD=BO。又PDBO，此时PD为OAB的中位线，则OD=OA=4。P（4，3）。又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）。依题意，“向量PQ”的坐标为（4，03），即（，3）当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，3）。【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。【分析】（1）如图所示，当PQBO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值。（2）求S关系式的要点是求得AQP的高，如图所示，过点P作过点P作PDx轴于点D，构造平行线PDBO，由APDABO得 求得PD，从而S可求出S与t之间的函数关系式是一个关于

12、t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2x1，y2y1），即可求解。例3【答案】解：（1）从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，AM=12t，AN=2t。AMN=ANM，AM=AN，即12t=2t，解得：t=4 秒。当t为4时，AMN=ANM。 （2）如图作NHAC于H，NHA=C=90°。NHBC。ANHABC。，即。NH=

13、。当t=6时，AMN的面积最大，最大值为。【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可。 （2）作NHAC于H，证得ANHABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。例4【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。 （2）当0<t4时， 过点Q作QDx轴于点D(如图1)，则QD=t。 S=OP·QD=t2。 当4<t8时， 作QEx轴于点E(如图2)，则QE=2。 S =DP·QE=t。 当8<t<12时，

14、延长QP交x轴于点F，过点P作PHAF于点H(如图3)。 易证PBQ与PAF均为等边三角形，OF=OA+AP=t，AP=t8。PH=(t8)。=t·2t·(t8) =t2+3t。 综上所述， 。 中S随t的增加而增加，中，S随t的增加而减小，当t=8时，S最大。 （3）当OPMOAB时(如图4)，则PQAB。 CQ=OP。 at4=t，即a=1+。 t的取值范围是0<t8。 当OPMOBA时(如图5)， 则， 即。OM=。 又QBOP，BQMOPM。，即。整理得tat=2，即a=1，t的取值范围是6t8。 综上所述：a=1+ (0<t8)或a=1 (6t8)。

15、【考点】动点问题，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等边三角形的判定和性质，一次函数和二次函数的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）如图，过点C、B分别作x的垂线于点M、N， 则在RtCOM中，由AOC=60o，OC=4，应用锐角三角函数定义，可求得OM=2，CM=2， C(2，2)。由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，ON=10，在RtOBN中，由勾股定理，得OB=4。（2）分0<t4，4<t8和8<t<12分别讨论，得到函数关系式后根据一次函数和二次函数的性质求出S最大时t的值。（3）分OPMOAB和OPM

16、OBA两种情况讨论即可。例5【答案】解：（1）不能。理由如下： 假设经过t秒时四边形EQDP能够成为平行四边形。 点P的速度为1 厘米秒，点Q 的速度为1 . 25 厘米秒， AP=t厘米，BQ=1.25t厘米。 又PEBC，AEPADC。AC=4厘米，BC=5厘米，CD=3厘米，解得，EP=0.75t厘米。又，由EP=QD得，解得。只有时四边形EQDP才能成为平行四边形。经过1 秒后，四边形EQDP不能成为平行四边形。（2）AP=t厘米，BQ=1.25t厘米，AC=4厘米，BC=5厘米， 。 又C=C，PQCABC。PQC=B。PQAB。 在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段A

17、B平行。（3）分两种情况讨论：当EQD=90°时，显然有EQ=PC=4t，DQ=1.25t2又EQAC，EDQADC。，即，解得。当QED=90°时，CDA=EDQ，QED=C=90°，EDQCDA。RtEDQ斜边上的高为4t，RtCDA斜边上的高为2.4，解得t =3.1。综上所述，当t为2.5秒或3.1秒时，EDQ为直角三角形。【考点】动点问题，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，平行的判定，直角三角形的判定。【分析】（1）不能。应用相似三角形的判定和性质，得出只有时四边形EQDP才能成为平行四边形的结果，从而得出经过1 秒后，四边形EQDP不能成为平行四边形的结论。（2）由PQCABC得PQC=B，从而得到在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行的结论。（3）分EQD=90°和QED=90°两种情况讨论即可。例6、（1）设动点出发秒后，点到达点且点正好到达点时，则（秒）则；（2）可得坐标为（3）当点在上时，；当点在上时，例7（1）证明：在正方形中，无论点运动到上何处时，都有= = = 2分(2)解法一：的面积恰好是正方