电路分析_08般二阶电路分析

1、第八章第八章 二阶电路二阶电路 8-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡8-2 RLC电路的零输入响应电路的零输入响应8-3 RLC电路的全响应电路的全响应8-4 GLC并联电路的分析并联电路的分析8-5 一般二阶电路一般二阶电路1.1.二阶电路：二阶电路： 变量用二阶微分方程描述的电路；变量用二阶微分方程描述的电路； 从结构上看，含有两个独立从结构上看，含有两个独立初始状态初始状态动态元件的电路。动态元件的电路。2.2.二阶电路的分析方法：二阶电路的分析方法： 根据两类约束，列写二阶电路微分方程；根据两类约束，列写二阶电路微分方程； 求特征方程的根，即固有频率；求特征方程的根，即固有频率

2、； 根据根的性质确定解答形式（公式）。根据根的性质确定解答形式（公式）。 初始状态求解与一阶电路方法相同。初始状态求解与一阶电路方法相同。引引 言言8-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡一、已知一、已知u uC C(0) = 1V(0) = 1V，i iL L(0) = 0(0) = 0，L = 1HL = 1H，C = 1FC = 1F，求求u uC C，i iL L。C CL Li iL Lu uC C+ +_ _dtdudtduCiidtdidtdiLuuCCCLLLLC022CCudtud得到二阶微分方程：得到二阶微分方程：ttittuLCsin)(cos)(解答形式：解答形式：

3、JCuLitw212121)(22储能：储能：解：解：图图8-1 LC振荡回路振荡回路二、二、LC 振荡电路波形振荡电路波形t1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t124T4T2T2T4T34T3TTuC(t)iL(t)U0U0ooImImttt1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12 图图8-28-2 LC LC 振荡电路波形振荡电路波形三、三、 LC 振荡电路的物理过程振荡电路的物理过程1、0,1/4T : C放电，放电，L充电，电场能向磁场能转化；充电，电场能

4、向磁场能转化；2、1/4T,1/2T：L放电，放电，C反向充电，磁场能向电能转化；反向充电，磁场能向电能转化；3、1/2T,3/4T：C放电，放电，L反向充电，电场能向磁场能转化；反向充电，电场能向磁场能转化；4、3/4T,T ：L放电，放电，C充电，磁场能向电场能转化。充电，磁场能向电场能转化。 纯纯LC电路，储能在电场和磁场之间往返转移，产生振电路，储能在电场和磁场之间往返转移，产生振荡的电压和电流。振荡是等幅的，等副振荡是按正弦方式荡的电压和电流。振荡是等幅的，等副振荡是按正弦方式随时间变化的。随时间变化的。四、结论四、结论想一想：若回路中含有电阻，还是等幅振荡吗？想一想：若回路中含有电

5、阻，还是等幅振荡吗？82 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应一、一、RLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程 图图8-3 RLC串联二阶电路串联二阶电路)()()()(SCLRtutututu 2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi 为了得到图为了得到图8-3所示所示RLC串串联电路的微分方程，先列出联电路的微分方程，先列出KVL方程方程 根据前述方程得到以下微分方程根据前述方程得到以下微分方程 ) 18 ()(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系

6、数非齐次线性二阶微分方程。)28(0ddddCC2C2utuRCtuLC 其特征方程为其特征方程为 ) 38 (012RCsLCs 其特征根为其特征根为 ) 48 (122221LCLRLRs， 零输入响应方程为零输入响应方程为 电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 1. 时，时， 为不相等的实根。过阻尼情况。为不相等的实根。过阻尼情况。 CLR2 21,ss 2. 时，时， 为两个相等的实根。临界阻尼为两个相等的实根。临界阻尼情况。情况。21,ssCL

7、R2 3. 时，时， 为共轭复数根。欠阻尼情况。为共轭复数根。欠阻尼情况。CLR2 21,ss二、过阻尼情况二、过阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2 ) 58 (ee)(2121CtstsKKtu 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uc(0) 确定。确定。 )68()0(21CKKu 对式对式(95)求导，再令求导，再令t=0得到得到 )78()0(d)(dL22110CCisKsKttut 求解以上两个方程，可以得

8、到求解以上两个方程，可以得到 CiusssKCiusssK)0()0(1 )0()0(1LC1212LC2121 由此得到电容电压的零输入响应，再利用由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和方程和电容的电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。可以得到电感电流的零输入响应。 例例8-1 电路如图电路如图8-4所示，已知所示，已知R=3 ,L=0.5H, C=0.25F, uC(0)=2V, iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输，求电容电压和电感电流的零输 入响应。入响应。 42138331222221LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入特征根表达式，计算出固有频率的

9、量值代入特征根表达式，计算出固有频率图图84 RLC串联二阶电路串联二阶电路 将固有频率将固有频率s1=-2和和s2=-4代入式（代入式（85）得到）得到 )0(ee)(4221C tKKtutt 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=1A得到以下两个方程：得到以下两个方程： 4)0(42d)(d2)0( L210C21C CiKKttuKKutK1=6K2=-4)0(V)e4e6()(42C ttutt 最后得到电容电压的零输入响应为最后得到电容电压的零输入响应为 利用利用KCL和电容的和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响

10、方程得到电感电流的零输入响应应 )0(A)e4e3(dd)()(42CCL ttuCtititt 从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过程。路各元件的能量交换过程。二、临界情况二、临界情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1, s2为两个相同的实为两个相同的实数数s1=s2=s 。齐次微分方程的解答具有下面的形式。齐次微分方程的解答具有下面的形式 CLR2 ) 88 (ee)(21CststtKKtu 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0) 确定。确定。令式令式(8

11、-5)中的中的t=0得到得到 )98()0(1C Ku 联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 )0()0()0(C1L2C1usCiKuK 将将 K1, K2的计算结果，代入式（的计算结果，代入式（88）得到电容电压）得到电容电压的零输入响应，再利用的零输入响应，再利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电可以得到电感电流的零输入响应。感电流的零输入响应。 对式对式(85)求导，再令得到求导，再令得到 )108()0(d)(dL210CCiKsKttut例例8-2 电路如图电路如图8-5所示。已知已知所示。已知已知R=1 ，L=0.25 H， C=1 F，uC(

12、0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电，求电容电压和电感电 流的零输入响应。流的零输入响应。 22024221222221LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(8-4)计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图85 RLC串联二阶电路串联二阶电路 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程 0)0(2d)(d1)0( L210C1C CiKKttuKut 将两个相等的固有频率将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（代入式（88）得到）得到 )0(ee)(

13、2221c ttKKtutt 得到电感电流的零输入响应得到电感电流的零输入响应 )0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCL ttttuCtititttt 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2，得到电容，得到电容电压的零输入响应电压的零输入响应 )0( V )e2e()(22C tttutt 根据以上两个表达式用计算机程序根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形画出的波形曲线，如图曲线，如图86所示。所示。 (a) 电容电压的波形电容电压的波形 (b) 电感电流的波形电感电流的波形图图86 临界阻尼情况临界阻尼情况 )0( Ae4)()(

14、)0(V )e2e()(2CL22C tttititttuttt三、欠阻尼情况三、欠阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复为为两个共轭复数根，它们可以表示为数根，它们可以表示为 CLR2 d20 jj1222221 LCLRLRs， 其中其中 称称为为衰衰减减谐谐振振角角频频率率称称为为谐谐振振角角频频率率称称为为衰衰减减系系数数2200 1 2 dLCLR 齐次微分方程的解答具有下面的形式齐次微分方程的解答具有下面的形式 )118 ()cos(e)sin()cos(e)(dd2d1CtKtKtKtutt 式中式中 122221arctanKKKKK 由初

15、始条件由初始条件iL(0)和和uC(0)确定常数确定常数K1，K2后，得到电容后，得到电容电压的零输入响应，再利用电压的零输入响应，再利用KCL和和VCR方程得到电感电流方程得到电感电流的零输入响应。的零输入响应。 例例8-3 电路如图电路如图8-7所示。已知所示。已知R=6 , L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的，求电容电压和电感电流的 零输入响应。零输入响应。j4351222221 233LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(8-4)计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图87 RLC串联二阶电路串联

16、二阶电路 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程得到以下两个方程 7)0(43d)(d)0( L210C1C CiKKttuKut 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=4，得到电容电，得到电容电压和电感电流的零输入响应压和电感电流的零输入响应: )0( A)74.73cos(e)sin(24)cos(7e04. 0dd)()0( V )1 .53cos(e5)sin(4cos3e)(cLc tttttuCtitttttutttt4444443333 将两个不相等的固有频率将

17、两个不相等的固有频率 s1=-3+j4 和和 s2=-3-j4 代入式代入式（811）得到）得到 )0( )sin(cose)(21C ttKtKtut443 用计算机程序画出的波形曲线，如图用计算机程序画出的波形曲线，如图88所示所示 (a) 衰减系数为衰减系数为3的电容电压的波形的电容电压的波形 (b) 衰减系数为衰减系数为3的电感电流的波形的电感电流的波形(c) 衰减系数为衰减系数为0.5的电容电压的波形的电容电压的波形 (d) 衰减系数为衰减系数为0.5的电感电流的波形的电感电流的波形 图图88 欠阻尼情况欠阻尼情况 欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形欠阻尼情况的特点是能量

18、在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。减越慢。 当例当例83中电阻由中电阻由R=6减小到减小到R=1，衰减系数由，衰减系数由3变变为为0.5时，可以看出曲线衰减明显变慢。时，可以看出曲线衰减明显变慢。 假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。感电流将形成无衰减的等幅振荡。 例例8-4 电路如图电路如图8-9所示。已知所示。已知R=0, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V, iL(0)=0.28A，求电容电压和

19、电感电流的零，求电容电压和电感电流的零 输入响应。输入响应。j551222221 LCLRLRs，解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（84）计算出固有频率的）计算出固有频率的 数值数值 图图89 RLC串联二阶电路串联二阶电路 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率s1=j5和和s2=-j5代入式（代入式（8-11）得到得到 )0()sin()cos()(21c ttKtKtu55 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下两个方程得到以下两个方程 7)0(5d)(d3)0( L20C1C C

20、iKttuKut 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=1.4，得到电容，得到电容电压和电感电流的零输入响应电压和电感电流的零输入响应: )0(A)65cos(66. 0)cos(7)sin(1504. 0dd)()0(V)25cos(31. 3)sin(4 . 1)cos(3)(CLC tttttuCtitttttu555555 用计算机程序画出的电容电压和电感电流的波形曲线，用计算机程序画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图如图810所示。所示。 图图810 无阻尼情况无阻尼情况 从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由从电容电压和电感电流的表达式和波形

21、曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为差为90 ，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。电场中。 从以上分析计算的结果可以看出，从以上分析计算的结果可以看出，RLC二

22、阶电路的零二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图种情况画在图811上。上。图图8-11 由图由图811可见：可见： 1. 在过阻尼情况，在过阻尼情况，s1和和s2是不相等的负实数，固有频率是不相等的负实数，固有频率出现在出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 2.在临界阻尼情况，在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率是相等的负实数，固有频率出现在出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 3.在欠阻尼情况，在欠阻尼情况

23、，s1和和s2是共轭复数，固有频率出现在是共轭复数，固有频率出现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越越大，衰减越快。衰减振荡的角频率快。衰减振荡的角频率 d 越大，振荡周期越小，振荡越快。越大，振荡周期越小，振荡越快。 图中按图中按Ke- t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。变化范围。 4.在无阻尼情况，在无阻尼情况，s1和和s2是共轭虚数，固有频率出现在是共轭虚数，固有频率出现在s平面上的

24、虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为频率为 0的等幅振荡。的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于固有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 83 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 对于图示直流激励的对于图示直流激励的RLC串联电路，当串联电路，当uS(t)=US时，可时，可以得到以下非齐次微分方程以得到

25、以下非齐次微分方程 )0(ddddSCC2C2 tUutuRCtuLC 电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成的特解之和组成 )()()(CpChCtututu 微分方程的特解为：微分方程的特解为： Scp)(Utu 微分方程的通解微分方程的通解 )(chtu与固有频率有关，有四种解答与固有频率有关，有四种解答1. 1. 过阻尼过阻尼SttCUeKeKtu2121)(2. 2. 临界阻尼临界阻尼3. 3. 欠阻尼欠阻尼4. 4. 无阻尼无阻尼StCUetKKtu)()(21SddtCUtKtKetu)sincos()(21SC

26、UtKtKtu0201sincos)(CidtduLtC)0(0)0(CuK1、K2由初始条件确定由初始条件确定四种解答形式的全响应：四种解答形式的全响应：例例8-5 电路如图所示。已知电路如图所示。已知 R=4 ，L=1H， C=1/3F， uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求。求t0时，电容电时，电容电 压和电感电流的响应。压和电感电流的响应。 3112342122221，LCLRLRs解：先计算固有频率解：先计算固有频率 这是两个不相等的负实根，其通解为这是两个不相等的负实根，其通解为 ttKKtu321chee)( 特解为特解为 V2)(cp tu 全响应为全响应为

27、 V2ee)()()(321CpChC ttKKtututu 利用初始条件得到利用初始条件得到 12)0(3d)(d6V2)0(L210C21C CiKKttuKKut 联立求解以上两个方程得到联立求解以上两个方程得到 V8,V1221 KK 最后得到电容电压和电感电流的全响应最后得到电容电压和电感电流的全响应 )0( A)e8e4(dd)()()0( V )2e8e12()(3CCL3C ttuCtitittutttt二阶电路一般分析步骤：二阶电路一般分析步骤：1.1.列电路方程：列电路方程：根据两个约束，确定未知量。根据两个约束，确定未知量。2.2.由特征方程求特征根由特征方程求特征根;

28、;3.3.根据根的性质确定解答形式：根据根的性质确定解答形式：有四种有四种4.4.由由初始条件初始条件确定确定 K K1 1、K K2 2 ：CidtduLtC)0(0, )0(Cu若若u uC C(0)(0)和和i iL L(0)(0)未知，与一阶电路求法相同：未知，与一阶电路求法相同： 画画t = 0t = 0- - ，0 0+ +时的等效电路，求时的等效电路，求u uC C(0(0+ +) ) 和和 i iL L(0(0+ +) ) 5.5.全响应：全响应：CpChCuuuSLpSCpIiUu特解与一阶电路求法相同：特解与一阶电路求法相同：直流：直流：阶跃：阶跃：84 RLC并联电路的响

29、应并联电路的响应 RLC RLC并联电路如上图所示，为了得到电路的二阶微分方并联电路如上图所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出程，列出KCLKCL方程方程 )()()()(SCLRtitititi 代入电容，电阻和电感的代入电容，电阻和电感的VCRVCR方程方程 2L2CLRLCLdddd)( dd)()(dd)()()(tiLCtuCtitiGLtGutitiLtututu 得到微分方程得到微分方程 )(ddddSLL2L2tiitiGLtiLC 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 其特征方程为其特征方程为 012 GLsLCs由此求解得到特征根由

30、此求解得到特征根 LCCGCGs12222 , 1 当电路元件参数当电路元件参数G G, ,L L, ,C C的量值不同时，特征根可能的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：出现以下三种情况： 1. 1. 时，时，s s1 1, ,s s2 2为两个不相等的实根。为两个不相等的实根。 LCG2 2. 2. 时，时，s s1 1, ,s s2 2为两个相等的实根。为两个相等的实根。 LCG2 3. 3. 时，时，s s1 1, ,s s2 2为共轭复数根。为共轭复数根。 LCG2 当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为

31、相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。GLC并联电路的分析方法完全同并联电路的分析方法完全同RLC串联电路。串联电路。根据对偶性质根据对偶性质RLC： uC L C R US RLC二阶方程解答二阶方程解答GLC： iL C L G IS GLC二阶方程解答二阶方程解答例例8-7 8-7 电路如图所示，已知电路如图所示，已知G G=3S,=3S,L L=0.25H,=0.25H, C C=0.5F,=0.5F, i iS S( (t t)=)= ( (t

32、t)A)A。求。求t t00时电感电流和电容电压的零时电感电流和电容电压的零状态响应。状态响应。 4213833122322 , 1LCCGCGs解：根据解：根据G G, ,L L, ,C C 的量值，计算出固有频率的量值，计算出固有频率 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值u uC C(0)=0(0)=0和电感电流的初始和电感电流的初始i iL L(0)=0(0)=0， 得到以下两个方程得到以下两个方程 0)0(42d)(d0A1)0( C210L21L LuKKttiKKit 求得常数求得常数K K1 1=-2,=-2,K K2 2=1=1。最后得到电感电流和电容电压。最后得到电感电流

33、和电容电压 )0(V)ee (dd)()()0(A) 1ee2()(42LCL42L ttiLtututtitttt这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为 )0(A1ee)(4221L tKKtitt85 一般二阶电路一般二阶电路 除了除了RLC串联和并联二阶电路以外，还有很串联和并联二阶电路以外，还有很多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路。多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路。本节讨论这些电路的分析方法，关键的问题是如本节讨论这些电路的分析方法，关键的问题是如何建立电路的二阶微分方程以及确定相应的初始何建立电路的二阶微分方程以及确定相应的

34、初始条件。条件。例例8-9 如下图所示电路在开关转换前已经达到稳态，已如下图所示电路在开关转换前已经达到稳态，已 知知uS(t)=6e-3tV，t=0闭合开关。试求闭合开关。试求t 0时电容电压时电容电压 uC(t)的全响应。的全响应。 解：先求出电容电压和电感电流的初始值为解：先求出电容电压和电感电流的初始值为 A1)64(V10)0()0(V6V10646)0()0(LLCC iiuu 由此得到由此得到t0的电路如图的电路如图(b)所示。所示。 以电容电压以电容电压uC(t)和电感电流和电感电流iL(t)为变量，列出两个网为变量，列出两个网孔的孔的KVL方程方程 0dd16 )dd41(4LLCSCLCtiiuuuitu 从这两个微分方程中消去电感电流从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以，可以得到以电容电压电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是引用微分算子引用微分算子 将以上微分方程变换成代数方程将以上微分方程变换成代数方程 tsdd 0)6( 4)1(LCSLCisuuius 用克莱姆法则求得用克莱姆法则求得 107)6(4)6)(1()6(2SSC ssusssusu 将上式改