贝塞尔函数3-文档资料

1、1贝塞尔函数贝塞尔函数32贝塞尔函数第二次课内容总结贝塞尔函数第二次课内容总结贝塞尔函数的递推公式函数展成贝塞尔函数的级数贝塞尔函数应用举例贝塞尔函数应用举例3 1(1)nnnndx Jxx Jxdx 1(2)nnnndxJxxJxdx 上面两式左边的导数求出来上面两式左边的导数求出来, , 并经过化简并经过化简 1(3)nnnxJxnJxxJx 1(4)nnnxJxnJxxJx 4两式相加减分别消去两式相加减分别消去 和和 nJx nJx 11(25)nnnnJxJxJxx 112 (6)nnnJxJxJx5 1221221sin1mmmmdxJxxx dxx 1221221cosmmmdx

2、Jxxx dxx 这里微分算子这里微分算子 表示算子表示算子 连续连续作用作用 m 次的缩写次的缩写. . 1mdx dx1 dx dx半奇数级贝塞尔函数的表达式半奇数级贝塞尔函数的表达式可见，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。6方程的通解为方程的通解为 nnP rCJrDYr 令令 ,xxry xP 方程转化为方程转化为 222220d ydyxxxny xdxdx ,nP rCJr 从而从而由于由于 , , 由条件由条件 知知 , |(0)|,P 0D (0)nY 7由由 可得可得: : 0P R 0.nJR 求特征问题求特征问题 2220r Prr PrrnP r 0,0.P RP 因此

3、，必须判明因此，必须判明 的零点的零点是否存在；如果存是否存在；如果存在，则需要研究其分布情形。在，则需要研究其分布情形。 nJx0rR贝塞尔函数的零点贝塞尔函数的零点8关于贝塞尔函数零点的结论：关于贝塞尔函数零点的结论：l 有无穷多个单重实零点有无穷多个单重实零点, , 这些零点在这些零点在 x轴上关于原点对称分布轴上关于原点对称分布, , 因而因而 有无穷多个有无穷多个正的零点；正的零点； ( )nJx( )nJx24681012o1.00.5-0.50( )Jx1( )Jx9l 的零点和的零点和 的零点是彼此相间分的零点是彼此相间分布，布，即即 的任意两个相邻零点之间有且仅有的任意两个相

4、邻零点之间有且仅有一个一个 的零点，反之亦然；的零点，反之亦然； 1( )nJx 24681012o1.00.5-0.5( )nJx( )nJx1( )nJx 0( )Jx1( )Jx1024681012o1.00.5-0.5l以以 表示表示 的非负零点的非负零点, , 则则 ( ) (1,2,)nmm( )( )1lim.nnmmm0( )Jx1( )Jx( )nJx函数以函数以 为周期振荡为周期振荡11与这些特征值相应的与这些特征值相应的特征函数特征函数为为 1,2,nmmnPrJrRm 方程方程 的解为：的解为： 0nJR ,1,2,nmRm 即贝塞尔方程相应定解问题的即贝塞尔方程相应定

5、解问题的特征值特征值为为 )2(,1,2,nnmmmR 12贝塞尔函数的正交性贝塞尔函数的正交性结论：结论：n 阶贝塞尔特征函数系阶贝塞尔特征函数系 ,1,2,nmmnPrJrmR 在区间在区间 (0, R) 上上带权带权 r 正交正交， 2nmnJrR 模值模值的平方的平方 0dnnRmknnJrr JrrRR 2222110,22，nnnmnmmkRRJJmk 即即13结论结论2：在区间在区间0, R上具有一阶连续导数以及上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数分段连续的二阶导数的函数 f (r) 如果在如果在 r=0 处处有界有界, , 在在 r =R 处等于零处等于零, , 则它

6、必可以展开为如则它必可以展开为如下形式的绝对且一致收敛的级数：下形式的绝对且一致收敛的级数： 1nmmnmf rA JrR 其中其中 22112mnnmARJ 0dRnmnrf r JrrR 模的平方模的平方权权函数函数贝塞尔函数贝塞尔函数14例例 设有半径为设有半径为 1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度分布为分布为 其中其中 r 为圆盘内任一点的极半径，为圆盘内任一点的极半径，求圆盘的温度分布规律。求圆盘的温度分布规律。21,r 分析分析: : 由于是在圆域内求解问题由于是在圆域内求解问

7、题, , 故采用极坐故采用极坐标标. . 考虑到定解条件和考虑到定解条件和 无关无关, , 所以温度所以温度 u 只只能是能是 t 和和 r 的函数的函数. . 15解解 根据问题的要求根据问题的要求, , 即可归结为求下列方程即可归结为求下列方程的定解问题：的定解问题：22222211,01uuuuartrrrr 由于由于 u 和和 无关无关, , 可以化简为问题可以化简为问题 0,u 2221, 01,0,uuuarttrrr 201,01,turr 10,0.rut 16此外此外, , 由问题的物理意义由问题的物理意义, , 还有条件还有条件 ,u 且且 时，时， t 0.u 令令 ,u

8、 r tF r T t 代入到上述方程代入到上述方程, , 有有21,FFTrFa T 由此得由此得20,(1)TaT 220,(2)r FrFr F 解解(1)(1)得：得： 2,atT tCe 时，时，t 0,u 0 17(2) 为零阶非标准的贝塞尔方程为零阶非标准的贝塞尔方程, ,由由 u(r, t) 的有界性的有界性, 可以知道可以知道20.C 再由条件再由条件10,ru 知：知： 00,J 即即 是是 的零点的零点. . 0( )Jx用用 ( (n =1,2) 表示表示 的正零点的正零点, , 综合综合以上结果可得以上结果可得: :n 0( )Jx方程方程 (1) 的解为的解为 22

9、.atT tCe 2, 令令 则则 102 0F rC JrC Yr它的通解为：它的通解为：18220r FrFr F 方程方程 的特征值为：的特征值为： 2:1,2,nn 相应的特征函数为：相应的特征函数为： 0,nnFrJr 这时方程这时方程 的解为：的解为：20TaT 22natnnTtC e 从而从而 220,natnnnur tC eJr 19由叠加原理由叠加原理, , 可得原问题的解为可得原问题的解为 2201,natnnnu r tC eJr 由初始条件得由初始条件得 2011nnnrC Jr 其中其中 12200112nnnrrJrCdrJ 20 1130022001122nn

10、nnnCrJr drr Jr drJJ 因为因为 1nnnnd x Jt xtx Jt x dx 令令 1,n 10nnnrJrdrJr dr 所以所以 1111000d.nnnnnrJrJrJrr 21 11132000nnnrJrr Jr drr d 131121002nnnnr Jrr Jr dr 1212202()nnnnJr Jr 1222()nnnnJJ 1nnnnd x Jt xtx Jt x dx 22从而从而 22214nnnnJCJ 所求定解问题的解为：所求定解问题的解为： 222022114( , )natnnnnnJu r tJr eJ 其中其中 是是 的正零点。的正零

11、点。 n 0( )Jr23例例hbU（圆柱形域内的电势分布）由导体壁构成的空圆柱，其高为，半径为，设上底的电势为，侧面和下底的电势为零，试求圆柱体内部的电势分布。 oxyz xo 24解解由于区域为圆柱形，所以采用柱坐标系。2222211()0, 02, 0uuuRzz 一、建立方程一、建立方程2222222110uuuuz252222010 (0, 02 , 0) (3)0 ,(4)0(5)zz hbuuubzhzuuUu “翻译翻译”边界边界条件条件一、建立方程一、建立方程uz由于边界条件与角度无关，因此所求的电势只是、两个自变量的函数，于是归结为求下列定解问题：U为常数，为上底的电势。2

12、6( , )( ) ( )uzRZ z应用分离变量法，令，代入方程得1RRzRz 由此得0 (6)zz220 (7)RRR222( )( )() ( )0 0r P rrP rrnP rrR( )()()nnP rAJrBYr的通解为一、建立方程一、建立方程我们知道我们知道277方程（ ）为零阶贝塞尔方程，其通解为00( )()()RCJDYu 由问题的物理意义知，由此推出(0)(8)R 一、建立方程一、建立方程5再由边界条件（ ）得( )0 (9)R b 28于是，构成具体问题的新的方程组为220 (7)RRR(0)(8)R ( )0 (9)R b NoImage一、建立方程一、建立方程29

13、7方程（ ）为零阶贝塞尔方程，其通解为00( )()()RCJDY80 .D 由条件（ ）知二、求本征值、本征函数二、求本征值、本征函数3000(0)0()0( )( )mJbbJxJx即，由此可知是的零点。以表示的正零点，有(0)0()0mJ789从而，得到方程（ ）在条件（ ）、（ ）下的本征值以及本征函数(0)()mmb(0)0( )()mmRJb(1,2)m 二、求本征值、本征函数二、求本征值、本征函数9,再由条件（ ）得0( )()0R bCJb31三、由叠加原理三、由叠加原理 写出解。写出解。0 (6)zz6将上述的值代入方程（ ），可得(0)(0)( )mmzzeemmmZzCD

14、从而(0)(0)(0)0( , )()()mmzzmeemmmuzCDJb35由叠加原理，方程（ ）满足（ ）的解为(0)(0)(0)01( , )()() (10)mmzzmeemmmuzCDJb32四、确定常数四、确定常数(0)(0)(0)01( , )()() (10)mmzzmeemmmuzCDJb00 ,(4)zz huuU4由条件( ），得(0)01( ,0)()()0mmmmuCDJb于是得0 (m1,2,) (11)mmCD5再由条件（ ）得(0)(0)(0)01( , )()()mmhhmeemmmuhCDJUb0(5)bu33(0)(0)(0)00(0)(0)(0)10 1()2(12)()()2mmbmhheemmmmmUJdbUCDbJJ四、确定常数四、确定常数依据贝塞尔级数展开系数公式，得)(2)()()(12)(0nknnknRkJRrdrRJrfrA 340 (m1,2,) (11)mmCD5.115.12将（）与先前得到的（）联立，解得(0)(0)(0)1()mmmmUCshhJb(0)(0)(0)1()mmmmUDshhJb 将上述结果代入（10），得到原问题的解(0)(0)(0)01( , )()()m