等差数列的前n项和教学案例

1、课题：等差数列的前n项和微山三中 郑勇学习目标：1、掌握等差数列的前n项和公式及其获取思路2、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的有关问题学习重点：等差数列的前n项和公式理解推导及应用学习难点：灵活运用 等差数列的前n项和公式解决一些简单的有关问题课型：新授教法：讲练结合课时：1课时教具：多媒体教学内容分析：本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式并能利用它求和，解决数列和的最值问题。等差数列求和的推导采用了倒序相加法，思路的获得得益于第k项与倒数第k项的和这一性质的认识和发现，通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握倒序相加法的数学方法。复习引入：1：判断

2、下列各数是否构成等差数列0 、 1 、 2 、 3 、 4 是cos0 、 cos1 、 cos2 、 cos3 、 cos4 否本题考查等差数列的定义：an-an-1=d2：若 an 是等差数列a15=8 a60=20求a75的值 解法1： an 是等差数列，设公差为d,由a15=8 a60=20得a114d=8 a159d=20 a1=64/15 d=4/15 a75 =a174d=64/15+74×4/15=24解法2： a60= a15+45d d=4/15 a75 = a60+15d=24解法3： an 为等差数列a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列设其公差为

3、d, 则a15为首项a60为第4项 a60= a15+3d d=4 a75 = a60+d=24注：本题考察了等差数列的概念、通项公式及性质。解法1运用了等差数列的定义，解法2运用了性质：an=am+(n-m)d，解法3运用了性质等差数列中，项数成等差数列的项也是等差数列3、等差数列 an 满足 a1+a2+a3+ +a100=0 则有 A 、 a1+a1000 B 、 a2+a99 0 C 、 a3+a98=0 D 、 a5151 注：本题考查了等差数列的性质：在等差数列 an 中，若m+n=p+q则am+an=ap+aq, an 是等差数列 a1+a100 =a2+a99 =a3+a98=

4、 a1a2a100 = 50(a1+a100)=0，知a1+a100 =0 a3+a98= 0 选C二、新授内容：等差数列的前n项和Sn=a1 a2 an-1an 思考：怎样使公式更简便些？1+2+3+4+100=？上面的方法用到等差数列的性质:数列an是等差数列，若m+n=p+q，则am+a n=ap+aq.计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9思考：请同学们，一共有多少个第K项加倒K数项 ，怎样与等差数列的项数的奇偶无关？.答：有关 问：怎样避免呢？答：由加法交换律就回避了项的奇偶个数问题根据加法交换律 S=1+2+3+4+5+6+7+8+9， S=9+8+7+6+5+4+3+2+1 两

5、式左右分别相加，得2S=10+10+10=9×10=90这就是倒序相加法.问题：利用倒序相加法求一下等差数列的前n项和Sn=a1a2 an-1anSn=a1a2 an-1anSn=an+ an-1 +. a2 +a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+.(an+a1) =n(a1+an) 提问：此公式Sn要用 首项a1和公差d表示呢？注：若等差数列为常数列则Sn= n a13，等差数列前n项和公式的运用公式1含有四个量公式2含有四个量Sn， n ，a1 ， d Sn， n ，a1 ， an 这两个公式中都含有四个量，运用方程的思想，求量，关键是求a1和d练习:根据下

6、列条件,相应的等差数列 an 的前项n和sn（1） a1= 2, a8= 8, n=8解（1）由题意知a1= 2 , a8= 8, n=8将它们代入公式 s8=40（2）a1= 3 ,d=2, n=10（2）由题意知a1= 3 , d=2, n=10将它们代入公式 s10=120例1.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和1220, 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？分析：本题是方程思想(关于a1 ，n, d或者an ,a1 d的方程）和前n项和相结合，解决等差数列前n项和的问题解法1：由题意知s10=310, s20=1220 10a1+45d=310, 20a1+

7、190d=1220 a1=4,d=6 sn=3n2+n解法2：由题意知 s10=10(a1+a10)/2 a1+a10=62 S20=20(a1+a20)/2 a1+a20=122 -得 10d=60 d=6 a1=4 sn=3n2+n例2：2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中

8、的总投入是多少？分析：该题是个实际应用题，解题关键是建立数学模型 ，由题 意可知是个等差数列问题，找出首项和公差。 解：根据题意，从20012010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年的投入的资金，其中， a1 =500，d=50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为Sn =10 × 500+10×（10-1）/2 ×50=7250（万元）答：从2001 2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。例3：已知数列 an 的前n项和为sn=n2+0.5n，求这个数列的通

9、项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？Sn=a1 a2 an-1anSn-1=a1 a2 an-1 an =Sn - Sn-1解：由数列 an 通项公式当n=1， a1 =s1 ;当n>1, an =sn-sn-1当n>1时an =sn-sn-1 =2n-0.5 当n=1时， a1 =s1 = 1.5 也满足式数列 an 通项公式为an =2n- 0.5数列 an 是一个首项为 1.5 ，公差为2的等差数列。小结：回顾本堂课要点1，等差数列前n项和公式(关于n的二次函数)2 公式1的推导用的是倒序相加法3，等差数列前n项和公式的运用 在两个求和公式中,各有四个元素,只要知道其中三个元素,就可求出另个素。即：知三求一；两个公式在一起研究则含有五个元素Sn， n ，a1 ， d ， an只要知道其中三个元素，就可求出另两个元素。知三求二.作业布置作 业：课本46页，A组、；课下探究： 1： 一般地，如果一个数列 an 的前n项和为sn=pn2+qn+r，其中p，q，r为常数，且p0， 那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？2: 等差数列 an 中首项a1公差d, 前n项和sn，那么sn, s2n-