简谐振动的旋转矢量图示法

1、3.2 简谐振动的旋转矢量图示法简谐振动的旋转矢量图示法 旋转矢量旋转矢量: :一长度等一长度等于振幅于振幅A 的矢量的矢量 在纸平在纸平面内绕面内绕O点沿逆时针方向点沿逆时针方向旋转，其角速度大小与旋转，其角速度大小与谐振动的角频率相等，谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。这个矢量称为旋转矢量。A M 点在点在 x 轴上投影点轴上投影点( (P点点) )的运动的运动规律规律： 0cos()xAtxOxA 0t 0 t = 0tMP振动相位振动相位t+0逆时针方向逆时针方向的长度的长度A振幅振幅A角频率角频率 旋转的角速度旋转的角速度A与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角A说明：说明：1

2、、旋转旋转矢量矢量的方向的方向: :2、旋转旋转矢量矢量 和谐振动和谐振动 的对应关系的对应关系A0cos()xAt相位之差为相位之差为采用旋转矢量表示为：采用旋转矢量表示为：111cos()xAt222cos()xAt2121()()tt3、两个谐振动的相位差两个谐振动的相位差2A2 1 1AOx 例例1、两个同频率的谐振动，它们都沿、两个同频率的谐振动，它们都沿x轴振动，且轴振动，且振幅相等，当振幅相等，当t =0时质点时质点1在在x=A/2处向左运动处向左运动,另另一质点一质点2在在x=-A/2处向右运动，试用旋转矢量法处向右运动，试用旋转矢量法求两质点的相位差。求两质点的相位差。解：解

3、：1 OxA2A2A 2 21433 13 243 例例2、一物体沿、一物体沿x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期周期T=2s。当。当t=0时时,物体的位移物体的位移x=0.06m,且向且向x轴正向运轴正向运动。求动。求: (1)简谐振动表达式简谐振动表达式; (2) t=T/4时物体的位置、速度和加速度；时物体的位置、速度和加速度；(3)物体从物体从x =-0.06m向向x轴负方向运动，第一次回到轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。平衡位置所需时间。解法一解法一( (解析法）解析法）: : 0cos()xAt由条件由条件 T=2s可得可得 122 s2T (1)取

4、平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点, ,谐振动方程写为：谐振动方程写为：000.12cos0.06 cos0.5 即即 0 33 或或由于由于t=0时质点向时质点向x轴正向运动可知轴正向运动可知00sin0vA 03 0.12cos() m3xt由初始条件由初始条件 t = 0, x=0.06m可得可得 因而因而简谐振动表达式简谐振动表达式在在t =T/4=0.5s时，可得时，可得0.12 sin() m/s3dxvtdt 220.12cos() m/s3dvatdt 0.12cos(0.5)0.104 m3x 0.12sin(0.5)0.18 m/s3v 220.12cos(0.5)1.

5、03 m/s3a (2)由简谐振动的运动方程可得由简谐振动的运动方程可得:(3) 当当x = -0.06m时，该时刻设为时，该时刻设为t1,得得因此从因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间：处第一次回到平衡位置的时间：11cos()32t 124333t或11st 设物体在设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是时刻第一次回到平衡位置，相位是322332t21.83st 210.83sttt 01sin()03vAt 1233t0533 或 解法二解法二( (旋转矢量法）旋转矢量法）: : (1)0.12cos() m3xtx = 0.06mt=0时旋转矢量时旋转矢量0Ox53

6、26 (2)与与解析法同解析法同(3)x = -0.06m时时旋转矢量旋转矢量x = -0.06m第一次回到平衡第一次回到平衡位置时旋转矢量位置时旋转矢量 xO5560.83 s6t 例例3、一弹簧振子、一弹簧振子 (1)将物体从平衡位置向右拉到将物体从平衡位置向右拉到 x=0.05m 处释放处释放,求谐振求谐振动方程动方程.(2)求物体第一次经过求物体第一次经过A/2 处时速度大小。处时速度大小。(3)如果物体在如果物体在x=0.05m处速度大小为处速度大小为 ,且向且向正方向运动正方向运动,求运动方程。求运动方程。0.72N/m,20gkm0.30m/sv 解：解：(1)由旋转矢量可知初相位由旋转矢量可知初相位00谐振动方程为谐振动方程为0.05cos(6.0 ) mxt-10.726.0 s0.02km Ox0.05(2)0.05 6.0sin(6.0 )=0.3sin(6.0 ) m/sdxvtdtt 30.3sin()0.30.26 m/s32v 第一次经过第一次经过A/2时，相位时，相位6.03txO2A(3)000arctanarctan1vx（）=（）由旋转矢量由旋