第05讲 应力张量

1、金属塑性成型原理金属塑性成型原理机电工程学院机电工程学院 王忠雷王忠雷第三章第三章 金属塑性变形的力学基础金属塑性变形的力学基础第一节第一节 应力分析应力分析第二讲第二讲 应力张量应力张量张量的概念张量的概念主应力主应力应力椭球体应力椭球体主应力简图主应力简图应力分解应力分解张量的概念张量的概念1 1、物理量的表示、物理量的表示3阶张量33三个方向面都有张量2阶张量32三个方向面都有矢量张量张量1阶张量31大小、方向矢量矢量0阶张量30大小没方向标量标量分量分量性质性质名称名称张量的概念张量的概念2 2、张量的概念、张量的概念标量：一个数，当坐标变换时，标量：一个数，当坐标变换时， (xi)=

2、 (xi)，即即 不不依赖依赖于坐标，则于坐标，则 定义为标量定义为标量零阶张量。零阶张量。矢量：三个数的集合，当坐标变换时，根据式矢量：三个数的集合，当坐标变换时，根据式ai=Miiai,由由a1,a2,a3变为变为a1,a2,a3，则此三个分量则此三个分量定义为矢量定义为矢量一阶一阶张量。张量。张量：张量：32个数的集合，当坐标变换时，根据式个数的集合，当坐标变换时，根据式Tij=Mii MjjTij,由由Tij变为变为Tij，则此九个分量则此九个分量定义为二阶张量定义为二阶张量简简称为张量。称为张量。张量的概念张量的概念3 3、张量的性质、张量的性质（1 1）张量的分量一定可以组成某些函

3、数）张量的分量一定可以组成某些函数f f( (TijTij), ),这些函数的值这些函数的值不随坐标而变。即不随坐标而变。即（2 2）同阶张量各对应分量之和或差为另一同阶张量。）同阶张量各对应分量之和或差为另一同阶张量。（3 3）二阶张量）二阶张量T T，若，若T TT T=T=T，则称为对称张量，若，则称为对称张量，若T TT T= =- -T T，则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和一个反对称张量之和。一个反对称张量之和。)(21)(21)(21jiijjiijjijiijijpppppppp（4 4）2 2阶对称张量存在三个

4、主轴和三个主值；张量角标不阶对称张量存在三个主轴和三个主值；张量角标不同的分量都为零时的坐标轴方向为主轴，三个角标相同的分同的分量都为零时的坐标轴方向为主轴，三个角标相同的分量为值。量为值。)()(klijTfTf张量的概念张量的概念4 4、应力张量、应力张量应力张量：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一定的规律变化，其变换关系符合张量之定义，因此，表示点的应力状态的9个分量构成一个二阶张量，称为应力张量。 一点的应力状态可以借用矩阵以张量ij表示：zyzyxzxyxzzyzxyzyyxxzxyxij二阶对称二阶对称张量张量主应力主应力1 1、主应力的概念、主应力的概念 表示

5、同一点表示同一点Q Q的应力状态可以任选坐标轴，但其的应力状态可以任选坐标轴，但其9 9个分量相应改变，若选一特殊方向，使坐标面个分量相应改变，若选一特殊方向，使坐标面 =0=0。此平面一定存在，这是应力张量的特性。此平面一定存在，这是应力张量的特性。主平面主平面切应力为零的微分面切应力为零的微分面主应力主应力主平面上的正应力主平面上的正应力主方向主方向主平面的法线方向（主应力方向）主平面的法线方向（主应力方向）主应力主应力1 1、主应力的求解、主应力的求解nSmSlSzyx旋转坐标轴，使Q点的斜面ABC正好是主平面(=0),则斜面上全应力S就是正应力(=S)。S在三轴上的投影nmlSnmlS

6、nmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx以以l,m,n为未知数的齐次线性为未知数的齐次线性方程组。其解有二。方程组。其解有二。主应力主应力0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx0zyzxzzyyxyzxyxxa)l=m=n=0, 不满足l2+m2+n2=1的条件，此平面不存在。b)齐次线性方程级有非零解的充要条件是：系数行列式=0,即32222222()()2()0 xyzxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzyzxzxy 主应力主应力0)(2)()(22222223xyzzxyyzxz

7、xyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyx032213JJJ)(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxJJJ应力状态应力状态特征方程特征方程解得三个根即主应力解得三个根即主应力1，2和和310)(0)(0)(222nmlnmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx解得三个根即主方向解得三个根即主方向l、m、n。主应力主应力513162324ij0546015230)66)(9(233 33 9321155641zyxJ60914)203024()(2222zxyzxyxzzyyxJ54420661205131623243J主应力主应力

8、(49)2302(69)03(59)0lmnlmnlmn33 33 9321-52302 -303-40lmnlmnlmn513162324ij0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx2221lmn主应力主应力3 3、应力不变量、应力不变量 对于一个确定的应力状态对于一个确定的应力状态,只有一组只有一组(三个三个)主应力数值主应力数值,即即J1,J2,J3是不变量是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。所以不随着坐标轴的变换而发生变化。所以J1,J2,J3分分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。032213JJJ主应力主

9、应力4 4、主轴坐标系统、主轴坐标系统以主方向为坐标轴的坐标系统：以主方向为坐标轴的坐标系统：232221222)(2nmlnlmnlmnmlzxyzxyzyx22322212232222212232221222)(nmlnmlSSSS321000000ij2322212332211)()()(,mnlSmSnSlS应力椭球体应力椭球体1 1、应力椭球体、应力椭球体332211,SnSmSl1 222nml又1232322222121SSS112233,Sl Sm Sn椭球面方程，其主半轴的长度分别为1，2，3。称应力椭球 面。它是任意斜面全应力矢量S端点的轨迹。应力椭球体应力椭球体2 2、应

10、力状态的分类应力状态的分类a）若）若1230三向应力状态。三向应力状态。b）若）若120,3=0二向应力状态。二向应力状态。d）若若12=3圆柱应力状态（包括单向应力状态）。圆柱应力状态（包括单向应力状态）。 1 的的方向均为主方向。方向均为主方向。e）若若1=2=3球应力（静水应力）状态。球应力（静水应力）状态。0,各方向均各方向均为主方向。为主方向。c）若若10;2=3=0单向应力状态。单向应力状态。主应力简图主应力简图 受力物体内一点的应力状态，可用作用在应力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负号，

11、并不表明所作用应力的大小。应力张量的分解应力张量的分解平均应力平均应力:3)(31)(311321Jzyxmm 为为不变量不变量,与坐标无关。三个正应力分量可写成：与坐标无关。三个正应力分量可写成：mzmmzzmymmyymxmmxx)()()(mijijmmmmzzyzxyzmyyxxzxymxzzyzxyzyyxxzxyxij000000mij应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向。各方向都是主方向。ij应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应力分量、主切应力、最大正应力及主轴同原力分量、主切应力、最大正应力及主轴同原ij，二阶对称二阶对称张量，同样存在三个不变量张量，同样存在三个不变量J1 ,J2 ,J3 应力张量的分解应力张量的