平面向量基本定理1

1、 f fGP温故知新温故知新向量的加法向量的加法( (三角形法则三角形法则) )aba+baba+b向量的加法向量的加法( (平行四边形法则平行四边形法则) )向量的减法向量的减法( (三角形法则）三角形法则）aba-ba1.对于aa（ 1）00aaaa（ 2） 当时 ，的 方 向 与 的 方 向 相 同 ；当时 ，的 方 向 与 的 方 向 相 反 。)(2)()(3)()aaaaaabab 设，为 实 数 ， 那 么（ 1） （） =(2.运算律(0)a abba 向量与 共线，当且唯一一实，使个仅当有数向量共线定理2011年11月3日1时43分，神舟八号与天宫一号第一次交会对接圆满成功，

2、中国成为世界第三个独立掌握无人和载人空间对接技术的国家。承担“神舟八号”飞船和“天宫一号”目标飞行器发射任务的是“长征二号长征二号F”运载火箭运载火箭 。 vv1v2v21vvv1课堂目标课堂目标理解平面向量基本定理理解平面向量基本定理会用任意一组基底表示指定的向量会用任意一组基底表示指定的向量理解向量夹角的概念理解向量夹角的概念2重点难点重点难点重点：用一组基底表示指定的向量重点：用一组基底表示指定的向量难点：对平面向量基本定理的理解及应用难点：对平面向量基本定理的理解及应用1e2e OCABMN OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe

3、a 1 12 2思思考考：一一个个平平面面内内的的两两个个的的向向量量e e 、 e e 与与该该平平面面 内内的的任任不不共共一一向向量量 a a之之线线间间的的关关系系. .12,aee 平面内的任意向量 是否都可以用的任两个向量意表示呢？思考思考e1e2ae1e2ae1e2ae1e2a观察下列每组向量，你观察下列每组向量，你发现了什么？发现了什么？思考思考 ：若向量若向量a与与e1 1或或e2 2共线，共线，a还能用还能用1 1e1 12 2e2 2表示吗？表示吗？e1 1ae2 2aa=1 1e1 1+0+0e2 2a=0 0e1 1+ +2 2e2 2e2e1？怎怎样样构构造造平平行

4、行四四边边形形况况时时，的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 aa1e2eAOCBNMO Oa1e2eCABNM1 12212(0,0)aee 1 12212(0,0)aee 1e2eaAOBNMC C1 12212(0,0)aee （）（）平面向量基本定理平面向量基本定理存在性存在性唯一性唯一性存在存在如果如果是同一平面内两个是同一平面内两个不共线不共线向量向量，那么对于这一平面的任意向量那么对于这一平面的任意向量一对实数一对实数，使使,1e,2e,a,2,12211eea有且只有有且只有思考：思考：上述表达式中的上述表达式中的2,1是否唯一是否唯一？（ 2 ）基底：基底：把把不共线

5、不共线的向量的向量叫做这一平面内叫做这一平面内,1e2e所有向量的所有向量的一组一组基底基底一个平面向量用一组基底一个平面向量用一组基底 ( 3 )( 3 )正交分解：正交分解：,1e,2e表示成：表示成：2211eea称它为向量的分解称它为向量的分解当当互相垂直时，称为向量的互相垂直时，称为向量的正交分解正交分解,1e,2e特别的，特别的， 则有且只有则有且只有 ：21= 012,0,eea 若不共线， 可使可使 =11e2e 2+.0 对定理的理解:1)基底基底: 不共线不共线的向量的向量e1 e2。 同一平面可以有不同基底同一平面可以有不同基底2)平面内的平面内的任一向量任一向量都可以沿

6、两个不共线都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式，分解的方向分解成两个向量的和的形式，分解是是唯一唯一的；的；12ee 若 与 是不共线的两个向量，则下列各组向量中能够作为平面基底的是( )2121752eebeea和212110653eebeea和21212332eebeea和D2120eeba和.A.B.C.D小试本领小试本领12,e e 2.观察下图，把下列向量用向量观察下图，把下列向量用向量 表示表示.1e2e ABCDEFHG1232ABee 124CDee 1235EFee 1244GHee 1212,3 .e eee 例1：已知向量（如图），求作向量-2.5作法:1e2

7、eOA2.OACB作 BC1e-2.51.O如图，任取一点23e 1,2.5OAe 作2, 3 .OBe BACDABCDACABADabDBABADab 解：在 中，M 122221 2222ababMAACababMBDB ab2 :,.ABCDMABa ADba bMA MB MCMD 例如图， 的两条对角线相交于点且 ，用 、表示、和().OA OBAPtAB tROA OBOP 思考:如图， 、 不共线，, 用、 表示BOPA: 解APt AB OPOAAPOAt AB ()OAt OBOA (1)OA tOBtOAt OA tOB 是任意两个非零向量和已知ba如图：aOA 作bOB

8、 BA的夹角、为向量我们称baAOB同向、时向量当bao0.反向、时向量当bao180.;90.垂直、时向量当bao不共线、时向量当baoo1800.平面向量的夹角平面向量的夹角Oab1800其中BBB注意：注意：找两个向量的找两个向量的夹角时，这两个向量夹角时，这两个向量的起点必须相同！的起点必须相同！ba记作：的夹角吗？与、与中找到你能在等边ACBCBCABABCABC.,1PQbababDAaBCBDACABCDQP表示向量试用基底不是共线向量，并且的中点，与的对角线分别是四边形、设BQPDCAE2：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的两条对角线的两条对角线AC与与BD相交于点相交于

9、点E，O是任意一点，求证：是任意一点，求证：OEODOCOBOA4EDABCO平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。课堂总结：课堂总结：e1e2aNMe1e2oaCOC=OM+ON= xe1+y e2平行四边形做法唯一，所以实数对平行四边形做法唯一，所以实数对x,yx,y存在唯一存在唯一思考思考:平面内平面内,向量的基底确定了，表示向量的基底确定了，表示 的的实数实数对对x,yx,y 是否唯一？是否唯一？a（1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考：E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E思考： (2)若基底选取不同