蔡子星复赛模拟卷一答案及评分标准

1、中学生物理竞赛模考训练05答案及评分标准满分160分 命题人 蔡子星第一题（20分）（1）如图4根轻杆之间铰接，左端铰接在墙上，端挂有重物。求出端和墙之间的作用力。（2）如图将上述结构复制n份，铰接起来，分别挂有重物，。求出当n足够大的时候，墙上两个端点与墙之间的相互作用力。【解】：(1) 因为是轻杆，力必水平。对和点做力矢量和为零得到对墙拉力为，点对象水平压力为，竖直压力为 （6分）(2) 将右方所有支架加重物视为一个整体。以为支点，写力矩平衡方程，令对墙的拉力为有： （乘以2之后错位相减）对整理合外力等于零得到：对墙水平压力位，竖直方向压力为注：用递推做则写出递推式得6分，三个结果分别2，

2、3,3分第二题（20分）空间中有两层很薄的电荷，电荷密度为，间距为，很小，叫做电偶极层。一个电量为，质量为的点电荷，只能和电偶极层间发生静电相互作用（而不会碰撞）。（1）粒子以速度，角度，入射电偶极层，出射方向。求出和之间的关系。（2）将电偶极层弯成离心率为的双曲面形状，左边为正电荷，两个焦点沿着轴方向，要求所有平行于与轴方向入射的粒子都能汇交与焦点，则粒子速度，电偶极层厚度，电荷密度之间应当满足什么关系？【解】：数学附录：双曲线方程，双曲线上一点到焦点的距离与到准线的距离之比为，双曲线的渐近线为。（1）由高斯定理电场，电势差由能量守恒，末态初速度满足：解得：由沿面的切线方向动量守恒： （10

3、分）（2）经过定性分析，只能是经过减速度后汇交于另一支的焦点。由于本题已知双曲线能将粒子汇聚于焦点，则只需要通过特殊值验算参数间关系即可。最简单的验算位置在距离轴很远的地方，即在渐近线上。此时入射角为，出射角为（很远，所以到焦点和原点几乎是一条线）带入第一问方程得到（注意为减速）： （10分） 解毕（以下不是考题：证明第二问的双曲线能将粒子汇聚到焦点）（3）以下不是考题部分：令曲线方程为考虑两个相邻的入射轨迹和，作于；于由双曲线第二定义（准线定义）得：作于，有 （双曲线线上点到两焦点距离之差不变）由双曲线性质与中第三题（20分）空间中有沿着方向的磁场，磁场大小随着时间和空间变化，满足。一个桌面

4、在平面上，平面上有一个沿着x-y方向正放的线框，线框边长为，总电阻为。（1）假设线框相对于桌面静止，线圈的左端位于的位置，求出线框中电动势随着时间的变化关系。（2）若线框质量为，摩擦系数为，线框是否可能相对于桌面沿着x方向做匀速直线运动？如果可能求出参数之间应当满足的条件，如果不可以，写明理由。（以下不是考题：找到三个这样的线框，沿着x轴发成一排，相邻两个之间用长度为的绝缘木棒连接，问这三个线框是否可能一起做匀速直线运动，如果可以求出各参数应当满足条件，如果不可以写明理由。）【解】：（1）变到以速度的参照系中对于线圈回路的总电动势不随参照系变化而变化（虽然动生和感生电动势分别可能发生变化）此系

5、中左杆，右杆左杆向上右杆向上逆时针为正，回路电动势 其中 （7分）在原系中积分计算磁通量再对时间求导数方法也给全分。（2）设直线运动速为同第一问有：又电流安培力显然与无关只有，然后这会导致不可能（13分）（不是考题部分），类似三相交流电。第四题（20分）一个金属球壳，半径为，质量为，带电量为，初始时刻自由的静止在空间中。球壳的一端有一个小洞。球心与小洞的连线方向视为轴线方向。在轴线上很远的地方有一个半径为的金属球，质量为，带电量为，以初速度向着球心飞去。（假设飞行速度很慢，电荷产生电场可以拿静电力公式计算，金属球壳外表面导电性能良好，不考虑电磁辐射）（1）求出当金属球进入球壳后达到球心时，金属

6、球的速度为多少？（2）金属球与球壳发生完全非弹性碰撞后连为一体，求整个过程中的发热。（以下不是试题：求出能够让金属球打入球壳所需的最小速度。仔细想哦。答案得到的同学回去面壁）【解】：（1）初态电势能为末态电势为，电势为末态能量动能减少为设末态速度为，末态速度为由动量守恒，由能量守恒，解得： （8分）（正根、负根舍去一个，或者不舍去均给分）（2）电荷全部到达外表面后：电势能改变：由能量守恒得到：（12分）第五题（20分）如图所示，一个信号源以恒定的速度向x正方向运动。信号在空中传播的速度为u。信号源本身的频率为。在地面上的静止的观察者所接受到的信号频率为。在信号源的飞行轨迹上，点位最靠近P的点。

7、以原点建立坐标系。（改编自台湾物理竞赛试题）（1）证明在信号源距离观察者足够远的时候，有人类的第一颗人造卫星绕地飞行的时候，地面上的观察者测量卫星发出的光信号频率。纵轴为信号频率，单位为赫兹；横轴为测量时间，单位为分钟。光速为。（2）请由此图估算卫星相对于观察者的速度。（3）请由此图估算卫星距离观察者的最近距离。【解】：（1） 如图，初态距离为，发出信号，到达点过后，距离为，信号到达时刻为接收时间间隔所以频率为（2）初态很远到末态很远处频率差为做小量近似有，则有（3）读出图中中间段的的斜率 当卫星飞过头顶时，经过后，角度变化为，为高度频率变化解得：正负均视为正确，用曲线回归或者取多个点求平均的

8、方法均视为正确。第六题（18分）一个质量为的星体和质量为的星体，绕着它们的质心分别做圆周运动。在质心系中观察发现体系总角动量为（1）求体系的总能量（2）发生爆炸成为两个质量为的星体，爆炸瞬间体系总机械能增加了，之后经历复杂的三体运动（以下省略刘慈欣写的三体）最后和相互环绕着飞行，与二者远离。已知这时候以为参照系的角动量为以和的质心为参照系，和构成的系统的能量最小值为多少？这会对有什么限制？【解】：（1） 考虑两体问题折合质量做法，与的折合质量为相对速度为，相对距离为，两体问题角动量等于原体系质心系角动量由牛顿第二定律解得两体问题能量等于 由于两体问题动能等于原题体系质心动能，两体问题势能等于原

9、体系势能所以 （10分）（2） 对于和构成体系，当相对质心动能为，相对质心角动量为，这也等于两体问题的动能和角动量。可以证明当角动量一定时，圆轨道能量最低。（4分）利用第一问结论注意应当带入的是质心角动量，而不是相对角动量，差两倍！，能量其他方法均给分（4分）由此可得（2分）第七题（20分）如图是两冲程柴油机的工作原理图。为了计算方便我们把工作流程化简如下：假设气缸绝热光滑，活塞自身质量可以忽略。第一阶段，气缸体积达到最大为，将空气鼓入气缸，把部分废气赶出气缸，同时将雾化的燃料（视为）喷入气缸中，此时缸内气压为，温度为，新注入的空气占体积比为80%。第二阶段，气缸进行绝热压缩至最小体积，此时混

10、合气体发生爆炸，恰好完全反应，已知这个温度和压强下，燃烧的焓变为，即在这个温度和压强下，如果保持温度和压强不变，则单位质量燃料燃烧放热为。假设燃烧速度很快，燃烧结束的时候气缸体积几乎没有改变。第三阶段，气缸绝热膨胀对外做功到最大体积，回到第一阶段。为了简化计算，空气的成分视为79%的，21%的（体积分数），各种气体的参数如下:摩尔质量 (g/mol)28321844定容摩尔热容量 (R)2.52.53.02.5假设满足理想气体状态方程，气体做绝热变化的时候满足，其中，是定容摩耳热容量。（1）为了使得恰好完全反应，每次应当喷入多少质量的燃料？（2）求出压缩到最小体积，点燃前的温度，以及排出废气的

11、温度。（以下不是考题：计算这个内燃机的最大工作效率）【解】：（1） 长时间运行到达稳定，新入空气摩尔数摩尔数反应方程式燃料：，（6分）（2） 废气中摩尔比例由此算得压缩前等效的燃烧后等效的，等效的（4分）压缩至后，（4分）燃烧后若等压燃烧每mol放热按热力学第一定律：燃烧后（二氧化碳+水）的内能-原料（燃料+氧气）（4分）变成定题绝热燃烧后，由于吸热、做功等于0，由此得到，膨胀带入绝热方程得答案（2分）（3） 不是考题部分第八题（22分）在SLAC中，一种产生高能射线（高能光子）的方式是拿高能电子与可见光（低能光子）对撞。高能电子的总能量为，可见光的波长为， 可见光与电子动量方向相反。电子的静质量为。电子与光子发生弹性碰撞，出射粒子仍然是一个电子一个光子。普朗克常数，电子电量，光速（1） 若光子在沿着原电子方向出射，则出射光子波长为多少？碰撞后电子能量变为多少？（2） 若出射的光子方向与原电子方向有小角度偏差，则出射光子的频率和第一问中频率的比值为多少？【解】：（1）， （10分）（2）（10分）过程：解法一：（1） 令入射电子能量为，电子静能量为，入射光子能量为，出射光子能量为由能量守恒和