自动控制原理 梅晓榕

1、第七章 计算机控制系统7.1 计算机控制系统概述v采用计算机的系统。代替模拟控制器，补偿（校正）装置，实现复杂控制。v工业控制机，单片机，PLC，DSP。v模拟信号：1）时间的连续函数；2）数值连续。v数字信号：用数字表示 的信号，有限个数。v离散时间信号：在时间 的离散点上有定义。v模/数（A/D）转换 数模（D/A）转换v离散时间系统：系统中有离散时间信号。v数字控制系统：系统中有数字信号。7.2 A/D转换与采样定理7.2.1 A/D转换vA/D转换：采样，量化，和编码。v采样采样周期和频率TfTfsss221， 0 1)( , )()()(0kTtkTtkTtkTtkTetekv量化：

2、用有限字长的二进制数近似模拟信号。量化单位：机内数最低位代表的数值。N位二进制数， 误差为q/2。字长长，位数多，误差小。v编码：将量化后的数变成二进制数码。如，原码，补码等。Nq217.2.2 采样定理v任一信号可由正弦信号叠加而成，这些正弦信号的幅值与频率的关系就是频谱。v采样（Shannon）定理 连续有限 频谱，由采样信号得到原连续信号 的必要条件：v对于最高频率信号，一周期至少采两次。 maxs2 )(1)()(1)()()()()()(00nsnskknjXTjXjnsXTsXkTtkTxkTttxtxv采样信号的频谱 平移 得到)(1jXT。，幅值为连续的周期为函数，采样信号的频

3、谱是周期。TnjXTss/1)(1 sn得到原连续频谱。，频谱重叠，无法若。滤波器可得原连续频谱频谱不重叠，由理想maxmax2,2ss7.2.3 采样周期的选择v采样周期小，频率高，信息损失小，但计算量大。v采样周期长，频率低，信息损失大，甚至不稳定。v可反复试验。v经验公式sccstTtTTr401 10115107.3 D/A转换v数字信号变成连续模拟信号，包括解码与保持。v解码：数字变成对应值的电压或电流。v保持：求采样时刻之间的值，离散时间信号变成连续信号。v零阶保持器v将采样值保持一个周期。T0 )()(kTxkTxhv零阶保持器单位冲激响应、传函与频率特性TjTjTsTshTTT

4、jjHssssHTtttg2100e22sine1)(e1e1)()( 1)( 1)(7.4 Z变换 7.4.1 Z变换v离散信号的拉氏变换0000)()()()(. )( )()(e e)()()()()(kkkkTskkTskzkTxtxZtxZzXztxzkTxzXzkTxsXkTtkTxtx。变换的设v1.级数求和法v例 7-4-1 求 Z1(t)。v解kkkzkTxzTxzTxxzkTxzX)()2()()0()()(210111)( 1 1, 1, 1,1)( 1 , 2 , 1 , 0, 1)( 1111121zzztZzzzqazzztZkkTk若公比等比级数v例 7-4-2

5、求 v解 )0( )(e。aZataTaTataTkkaTaTaTatkaTaTaTaTakTzzzZzzzzZee11)(e1eeee1 )(e,ee,e,e, 1:e1122132，则等比级数，若v例 7-4-3 求v解。 )()(0kTkTtZtZ111)( 1 z1)(, 1 , 1 , 1: )(11021zzztZzzztZkTTkkTT则若v2.部分分式法vx(t)X(s)部分分式之和查表X(z)v例 7-4-4 v解。求 )(,)()(zXassasXaTaTaTaTaTzzzzzzzzXzzasZzzsZasssXe)e1 ()e1 (e1)(e)1(,1)1( 11)(2查

6、表v3. 留数计算法)(e)(ddlim)!1(1e)(Res )(e)(lime)(Res e)(Res)( )(11ssss1ssiiirisTrrsssTiisTsssTinisTisszzsXsrzzsXsrsszzsXzzsXszzsXzXssXii重极点非重极点。的极点是设v例 7-4-5v解 。求 )( 0 0 0)(zXttttx2220112) 1()0(e1ddlim)!12(1)(2, 00 1)( zTzszzsszXrssssXsTs。是两重极点，v例7-4-6 v解。求 )( ,)2() 1()32()(2zXsssssXTTTsTssTszzzTzszzsssss

7、zzssssszXsssX222222132, 1e2)e(e )2(e)2() 1()32( ) 1(e)2() 1()32(dd)!12(1)(2)( 1 )( limlim，二重极点的极点7.4.2 z变换的基本定理v1.线性定理v2.实数位移（平移）定理v3.初值定理)()()()()()(2121zXzXtxtxZzaXtaxZ)()()()()()()(10knknnzkTxzXzTnkxZnTtxZzXzTnkxZnTtxZ)0()(lim )2()()0()()( )(lim)(lim)(lim)0( 21000 xzXzTxzTxxzkTxzXzXkTxtxxzkkzkt证明

8、v4.终值定理v(z-1)X(z)极点全在单位圆内，v5.卷积定理)() 1(lim)(lim)(lim)(1zXzkTxtxxzkt)()()()(02121mmTkTxmTxZzXzX7.4.3 z反变换1.长除法)(),()(:)(1kTxtxzXzXZ)()( )2()2()()()()0()()()2()()0()()()(212211022110kTtkTxTtTxTtTxtxtxzkTxzTxzTxxzazazaazbzbzbbzDzNzXknnmmv例 7-4-7)4(150)3(70)2(30)(10)(150703010 231102310)2)(1(10)( )( )2)

9、(1(10)( 2-4-7 43212112TtTtTtTttxzzzzzzzzzzzzzzXtxzzzzX解。求例v2.部分分式法TtkkniiikniiiniiiniiiaaazzZkTtzzzAZkTtkTxtxzzzAZkTxzzzAzXzzAzzX)()()()()( )()()(101101111)4(15)3(7)2(3)()()2() 1()()2() 1()(21)(2111)2)(1(1)( )( , )2)(1()( 8-4-7 0TtTtTtTtkTttxkTxzzzzzXzzzzzzXtxzzzzXkkkkk解。求例v3.留数计算法vX(z)不相等的极点数为l， 为重

10、极点的重复个数。011111)()()()()(dd)!1(1 )(Res)(klizzkrirrikkTtkTxtxzzXzzzrzzXkTxiiriir0222211221222112)()1 (11) 1()(, 2 , 1 , 0 )1 (11) 1( ) 1)() 1(dd)!12(1 ) 1)()()(2 , 1 , 1 , , 2 )(),( , ) 1)()( 9-4-7 kkkzkazkkTtaakaatxkaakaazzazzzzzzazzazkTxrzrazltxkTxzazzzX解。求例7.5 z传递函数 7.5.1 z传递函数的概念vz传递函数，脉冲传递函数：零初始条

11、件下，输出量的离散信号的z变换与输入量的离散信号的z变换之比。)e)(1()e1 (e1)(1011)10(10)( )()()()()()()()()()(101010TTTzzzzzzzzGsssssGsGZsGZzGtgZtgZzRzCtrZtcZzG例7.5.2 串联环节的z传递函数v1.串联环节间无采样开关)e)(1()e1 (e1 11)()()()()( )( ,1)(,)( 1-5-7 )()( )()()()()()()()(21212121212121aTaTaTnnzzzzzzzassZassaZsGsGZzGGzGzGssGasasGzGzGGsGsGsGZzGzGGs

12、GsGZzG解。求例v2.串联环节间有同步采样开关零点不同，极点相同。，注意解。求例个环节串联 )()()( ) 1)(e( 1e)1()()()()( )( ,1)(,)( 2-5-7 )()()()( , )()()()()()()()()()()()()()(21212212121211221zGzGzGGzzazzzzazsZasaZzGzGzGzGssGasasGzGzGzGzGnzGzGzEzCzGzEzGzGzMzGzCzEzGzMaTaTnv3.环节与零阶保持器串联)()1 ()()()1 ()()()()()()()()()()()()()()()()()1 ()()()(/

13、 )()(),1 ()()()()()1 ( )(1)()()(012121222022221122221021210000ssGZzzGzGzzGzzGTtgtgZtgZZGsGTtgtgsGesGLsGLtgsGesGsGesGsGsGssGsGesGsGsGssGesGsesGsHsGTsTsTsTsTsTs数为串联时总的脉冲传递函零阶保持器与环节)e)(1()ee1 ()e1( )(111()1 ( )()1 ()()1 ()( )( )(s) 3-5-7 22222010aTaTaTaTzzaaTzaTkasasaaskZzasskZzssGZzzGzGasskG解。，求例7.5.3

14、 线性离散系统的z传递函数v图示开环z传递函数0)(1 )(1)()()( )(1)()()()()()(11)()( )()()()()()()()()()()()()()( )()()()()()( )()()()()()()( )()()( , )()()()()( )()()(212121212121212121212121212121zHGGzHGGzGGzRzCzHGGzRzGGzEzGGzCzHGGzRzEzEzHGGzRzEzEzHGGsEsHsGsGZsEsHsGsGZsEsHsGsGsRsEsEsHsGsGsCsHsYsYsRsEsEsGsGsCzHGGzEzYzG闭环特征

15、方程可证明求闭环传递函数e)ee1 ()e1 ()e1()ee1 ()e1()(1)()()(e)ee1 ()e1 ()e1()e)(1()(11)()()e)(1()ee1 ()e1( )()1 ()( 3-5-7 )()( ,)()( 4-5-7 22222222222aTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaaTkzaaTkzaaTzaTkzGzGzRzCaaTkzaaTkzazzazGzRzEzzaaTzaTkasskZzzGzRzCzRzE由例解。求例aTe入到连续环节。输入信号未经采样就输求不出闭环传递函数。变换得取解。求例) z ()(1) z (

16、)()()( ) z ()()() z ()z ()(1 )(/ ) z () z () z ()()()()()()( ) z () z () z ()( )()()( )()()( z )()()()()()()()()()()()()()()()()()()( )( 5-5-7 31213213231233113223311233111123HGGzGRGzGzGzCRGzGzGCHGGzGzGCHGGRGzGzGzMzGzGzCNHGGRGzMzMzGzNzNzGzCsNsGsHsGsRsGsCsHsRsGsEsGsMsMsGsNsNsGsCzC)(1)()()(1)()()()( )

17、()( )(1)()( )()( )()()()( z )()( , )()()()()()(0)()()(1)()( )()()( )()()( )()()( )()()()(0)( )( )()( 6-5-7 212212121221221221212121zGGzFGzRzGGzGGzCzCzCsCsRzGGzFGzCzCzEzEzGGzFGzCsCsEsEsGsGsFsGsCsRzRzGGzGGzCzCzRzEzEzGGzCsCsRsEsEsGsGsCsFzCsCsRFRFFFFFRRRRR同时作用，输出为和变换得取，输出为设，输出为设解。求同时作用，和例v求z传递函数和z变换时的几个

18、结论。1）由于采样开关位置不同，闭环和开环的z传递函数之间没有固定关系。具体问题具体分析。2）输出信号是连续信号时，可加虚拟开关。3）离散拉氏变换可提到z变换符号外。4）输入信号未经采样就输入到连续环节，则求不出闭环z传递函数，只能求出输出的z变换式。)()()()()()()()(212121zXzGGsXsGsGZsXsGsGZ7.6 线性离散系统的稳定性7.6.1 s平面到z平面的映射关系v设T为采样周期。 2 2 12,e eeee,e)(zzzsfTzzzzjszsssTTjTjTTjTs平面单位圆上。，平面虚轴vS平面左半部:vS平面右半部:vS平面稳定区，左半平面。vz平面稳定区

19、，单位圆内。单位圆外。, 10z单位圆内。, 10z7.6.2 线性离散系统稳定的充要条件v全部特征根在单位圆内。v有根在单位圆外，不稳定。1iz系统稳定。特征根特征方程解，判定稳定性。闭环传函例1795. 0618. 05 . 0618. 0j5 . 02632. 0411 0264. 0 264. 0264. 0368. 0)()( 1-6-722212, 122zzzzzzzzzRzC7.6.3 劳思稳定判据v采用w变换，z平面单位圆映射为w平面左半部，再用劳思判据。0, 1 0, 1j, 0, 1) 1(2j) 1(1)(11jj,j 1111222222222222uyxzuyxzv

20、wuyxzyxyyxyxzzvuwvuwyxzzzwwwz设证明：可见系统稳定。劳思表如下：代入得将特征方程解，判定稳定性。闭环传函例632. 2 736. 0 632. 2 632. 0 0632. 2736. 0632. 0 0632. 0)11()11( 11 0632. 0 632. 0264. 0368. 0)()( 2-6-70122222wwwwwwwwwwwzzzzzzzRzCv例 7-6-3 T=0.5s,T=1s,v求k的临界值。kwkkwkkwkwkkwwDkzkzzDTTkzTkzTzTkzRzCTTTTTTTT017. 0214. 3 73 . 40 18. 0786

21、. 0 017. 0214. 3 197. 0 0)017. 0214. 3()18. 0786. 0(197. 0)(0)607. 009. 0()607. 1107. 0()(s5 . 0) 1e)ee1 ()e1 ()e1()ee1 ()e1()()( 4-5-7 012222，稳定。劳思表时，特征方程为由例解采样周期影响稳定性。，稳定。劳思表时，特征方程为 39. 20104. 02.736 528. 0264. 1 104. 02.736 632. 0 0)104. 0763. 2()528. 0264. 1 (632. 0)(0)368. 0264. 0()368. 1368. 0

22、()(s1)201222kkwkwkkwkwkkwwDkzkzzDT7.7 线性离散系统的稳定分析7.7.1 极点在z平面上的分布与瞬态响应v闭环极点决定瞬态响应各分量的类型。nikiinikiipziizniiiniimiiniimiipBpBAkTczzDpzzMBzDzMApzzBzAzzCzzpzzzkzCzzzRtrmnzDzMpzzzkzRzCzi11111111 )() 1)()(,)()(,1)(1)()()(1)(1)( )()()()()()()(瞬态分量无重根时，设。振荡序列，角频率为正负交替的发散。振荡序列，角频率为正负交替的等幅一半，见图）。（采样频率的列，角频率为正

23、负交替的衰减振荡序），单调发散序列。），不变号的等幅序列。）单调衰减序列。实数极点TpTpTpppppBkTciiiiiikiii, 1)6, 1)5, 0141312, 10) 1)( . 1TTzTzzpppabpbakAkTcbapiiiiiTTTsTiiiiiiiiiiikiiiii ,eeee , 1) 3, 1)2, 1) 1 arctan, )cos()(j. 2j)j(221.振荡角频率振荡角频率振荡发散。等幅振荡。振荡收敛。共轭复数极点，7.7.2 线性离散系统的时间响应v采样时刻的值。)6(895. 0)5(147. 1)4(4 . 1)3(4 . 1)2()(368. 0

24、)(,895. 0)6(,147. 1)5(4 . 1)4(, 4 . 1)3(, 1)2(,368. 0)(, 0)0(895. 0147. 14 . 14 . 1368. 0632. 0632. 121264. 0368. 0)(1632. 0264. 0368. 0)()()(1)( )(),(s 1),( 1)(,632. 0264. 0368. 0)()()( 1-7-7 6543213212122TtTtTtTtTtTttcTcTcTcTcTcTcczzzzzzzzzzzzCzzzzzzRzzCzzzRtckTcTttrzzzzRzCz解。求例)(),()(kTctczC7.7.3

25、 线性离散系统的稳态误差v1.稳态误差与稳态误差终值v误差：v稳态误差:误差信号的稳态分量,)(tess)() 1(lim)(lim)(lim)()(lim)(zEzteteeteettsstsssstss稳定的系统：稳态误差的终值：)(tev2.稳态误差系数v开环z传递函数中z=1的开环极点个数是系统的型别数v。10 e)()(1) 1(lim)() 1(lim)(lim)()()()()()( )(11)()()()(1)()()()(11zszzRzGzzEzteezRzzCzRzEzGzRzEzzGzGzRzCzTszztssee稳定的系统：v1) 单位阶跃响应的稳态误差终值v单位阶跃

26、响应的稳态误差终值，0型系统是有限数值，1型及以上系统是0。ppzppzzzssKvKvzGKKzGzGzzzzGzezzzR00)(lim 11)(lim11)(1lim1)(11) 1(lim)(,1)(1111是有限值，稳态位置误差系数v2)单位斜坡响应的稳态误差终值v单位斜坡响应的稳态误差终值，0型系统为无穷大,1型系统是有限数值，2型及以上系统是0。vvvzvzzzssKvKvKvzGzKKTzGzTzGzTzzTzzGzezTzzR21, 00)() 1(lim )() 1(lim)(1)1(lim) 1()(11) 1(lim)(,) 1()(1v11212是有限值，稳态速度误差

27、系数v3)单位加速度响应的稳态误差终值v单位加速度响应的稳态误差终值，0型和1型系统为无穷大，2型系统是有限数值。是有限值。稳态加速度误差系数aazaazzzssKvKvzGzKKTzGzTzGzzzzTzzzTzGzezzzTzRttr2, 01)() 1(lim )() 1(lim)() 1() 1(2) 1(lim) 1(2) 1()(11) 1(lim)() 1(2) 1()(21)(2122122221321322v3.动态误差系数v求误差的时间函数。)(!1)(! 21)()()( !1 , 2 , 1 , 0 , d)(d!1! 21)()()(21002210ekTrcmkTr

28、ckTrckTrckTecmmsscscmscscczsmmssmsmemmmmzeesT取拉氏反变换得动态误差系数。只需求）解。）。）。求，传函单位负反馈系统的开环例 , , 0)(, 1)(,)(,21)(632. 0368. 0368. 111)( )21)( 0)() 1(lim368. 0368. 1264. 0368. 0)e)(1()e21 (e)(1 )20( 2 )( 1 21)(, s 1)e)(1()e21 (e)( 2-7-7 210222*2121*2ccctrtrttrttrzzzzGzKezGzKzzzzzzzGeettrTzzzzGeasszaTTTTssssT

29、TT5 .205 . 020)20(5 . 0)(! 21)()()(1)(dd1)(dd, 0)0(632. 0ee368. 0e368. 1e)()(210022201022essssseseesssszeeekTkTckTckTrckTesscsscczsrrTs7.8 数字控制器的模拟化设计v步骤 1）对于连续系统，设计补偿环节D(s)。零阶保持器可以加到对象中。 2）对连续补偿环节离散化，D(s)D(z)。 3）校核性能指标。 4）将D(z)变成差分方程。7.8.1 模拟补偿装置的离散化 方法v1.带有虚拟零阶保持器的z变换vD(z)与D(s)的阶跃响应相同，又称阶跃响应不变法。11

30、e1)e1 (ee1e1)()()()( )(e1)(zzzasasZzDasasEsUsDsDsZzDaTaTaTaTTsTs例如v2. 差分法1111111)(D(s) )()( 11 )(1 ) 1()( )( dd 11zaTaTasazDasasDzDTzsTzzETzTkekesssEteTzsTzs例如离散连续v3.根匹配法 1) s平面的零极点与z平面对应。 2) 放大系数由其它特性（如终值相等）确定。个零点平面有的零点。相应的个平面有，0e)(z)() 3 Tzmnmnsmn)ecose21 ()j()e()e1 ()(ee2211zbTzbaszzaszasaTaTaTaTaTTs1110015. 010015. 0486. 0194. 017 .1886. 094. 07 .18)(7 .1843. 0886. 0194. 01886. 094. 0lim11 . 0125. 08lim86. 094. 0ee)(104410811 . 0125. 08)(015. 0zzzzzDKKzzKssKzzKzzKzDsssssDTzzzzszzz。按增益相等的条件确定，例如v4.双线性变换法v几何意义，用梯形面积代替 积分。v常用的方法。)2()2() 1()(,)()()(112112112ln)11