力法设计计算

1、 第三部分第三部分 超静定结构的分析超静定结构的分析 第八章第八章 力力 法法 第一节第一节 力法基本概念力法基本概念1 1、力法基本概念、力法基本概念 1 1）. .力法基本未知量力法基本未知量超静定结构是有多余约束的几何不变超静定结构是有多余约束的几何不变体系，具有多余约束是其与静定结构体系，具有多余约束是其与静定结构在几何组成上的区别，也是造成其仅在几何组成上的区别，也是造成其仅用静力平衡条件不能求解的显见原因。用静力平衡条件不能求解的显见原因。 2 2）力法基本体系）力法基本体系 AqB(a)(a)原结构原结构 BAqx1(b)(b)基本体系基本体系 图图8-1-1 8-1-1 返回返

2、回返回返回力法的基本未知量力法的基本未知量是超静定结构多是超静定结构多余约束中的多余力余约束中的多余力如图如图8-1-18-1-1(a)(a)所示为有一个多余约束所示为有一个多余约束的几何不变体系。取的几何不变体系。取B B支座链杆为多余支座链杆为多余约束，去掉后代以多余力约束，去掉后代以多余力x1，见图，见图(b)(b)。 设想设想x1是已知的，图是已知的，图(b)(b)所示体系就是所示体系就是一个在荷载和多余力共同作用下的静定一个在荷载和多余力共同作用下的静定结构的计算问题。换句话说，如果结构的计算问题。换句话说，如果x1等等于原结构于原结构B B支座的反力，则图支座的反力，则图(b)(b

3、)所示体所示体系就能代替原结构进行分析。系就能代替原结构进行分析。 本章中，力法基本体系的结构一定是本章中，力法基本体系的结构一定是静定结构，力法基本体系的结构叫静定结构，力法基本体系的结构叫力力法基本结构。法基本结构。2 2、力法基本未知量的确定、力法基本未知量的确定 确定力法基本未知量，即要求确定确定力法基本未知量，即要求确定多余力的数量，同时也要求确定相多余力的数量，同时也要求确定相应的基本体系。应的基本体系。见图见图8-1-3(a)8-1-3(a)所示连续梁，去掉两个所示连续梁，去掉两个竖向支座链杆后为悬臂梁，见图竖向支座链杆后为悬臂梁，见图(b)(b) BCA(a)(a)原结构原结构

4、 BCAx1x2(b)(b)基本结构基本结构1 1 x2BCAx1x2 (c) (c)基本结构基本结构2 2 图图8-1-38-1-3 力法基本未知量数力法基本未知量数= =结构的多余约结构的多余约束数束数= =结构的超静定次数结构的超静定次数一个超静定结构的多余约束数是一定一个超静定结构的多余约束数是一定的，但是基本体系却不是唯一的。的，但是基本体系却不是唯一的。对于较复杂的超静定结构，可采用 拆除约束法。拆除约束法。即，逐一拆除结构的约束，即，逐一拆除结构的约束，直到其成为静定结构（力法基本结构），直到其成为静定结构（力法基本结构），则拆除的约束就是多余约束，其数量就则拆除的约束就是多余约

5、束，其数量就是力法的基本未知量数。是力法的基本未知量数。 拆除约束法常要用到约束的约束数，现拆除约束法常要用到约束的约束数，现归纳如下：归纳如下： 切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，相当于去掉一个约束；相当于去掉一个约束； （1）切开一个单铰或去掉一个固定铰切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束；支座，相当于去掉两个约束； 切断一根连续杆或去掉一个固定切断一根连续杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个约束；支座，相当于去掉三个约束； 将固定端换成固定铰支座或在一根将固定端换成固定铰支座或在一根连续杆上加一个单铰，相当于去掉连续杆上加一个单铰，相当于

6、去掉一个约束。一个约束。 （2）（3）（4）用拆除约束法判定结构的力法基本未用拆除约束法判定结构的力法基本未知量，应注意：知量，应注意： 结构上的多余约束一定要拆干净，结构上的多余约束一定要拆干净，即最后应是一个无多余约束的几何即最后应是一个无多余约束的几何不变体系；不变体系； 要避免将必要约束拆掉，即最后不应要避免将必要约束拆掉，即最后不应是几何可变体系或几何瞬变体系。是几何可变体系或几何瞬变体系。 （2）（1）例例8-1-2试确定图试确定图(a)、(b)所示结构的基本未所示结构的基本未知量知量。 (a)x3x3x1x1x2x2(a1)x1x2x3(a2)(b)(b1)x3x1x2x2(b2

7、)第二节第二节 在荷载作用下的力法方程在荷载作用下的力法方程 1 1 力法基本方程力法基本方程 力法基本方程力法基本方程，是求解结构多余约束，是求解结构多余约束中多余力的位移协调条件方程。中多余力的位移协调条件方程。 变形和位移条件变形和位移条件是结构内部对外力的响是结构内部对外力的响应的外部表现形式，见图应的外部表现形式，见图8-1-2(a)8-1-2(a)、(b)(b)所示。所示。多余力多余力可以由基本结构中的多余力处沿可以由基本结构中的多余力处沿该多余力方向的位移与原结构一致的条该多余力方向的位移与原结构一致的条件确定。件确定。 AqB(a)(a)原结构原结构 x1qBA (b) (b)

8、基本体系基本体系 AqB(a)(a)原结构原结构 x1qBA (b) (b)基本体系基本体系 该条件可表示为：该条件可表示为：01(a)(a) 利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、多余力单独作用的两种情况，分别分析后在多余力单独作用的两种情况，分别分析后在叠加。分解后，见图叠加。分解后，见图(c)(c)、(d)(d)所示所示 BAx1(c)(c) qBA(d)(d) 11P1叠加叠加与与11P101+ + = = 即：即： 得：得： 11P1+ + = = 0 0 (b)(b) 111x11= = 使使 式式(b)(b)改写成：改写成： 111xP1+

9、+ = = 0 0 (c) (c) 一次超静定结构一次超静定结构的力法基本方程的力法基本方程力法基本方程，是基本结构上多余力力法基本方程，是基本结构上多余力处沿多余力方向的位移与原结构一致处沿多余力方向的位移与原结构一致的条件。的条件。即位移协调条件即位移协调条件。2 2、两次超静定结构的力法方程、两次超静定结构的力法方程 AB(a)取原结构的力法基本体系如图取原结构的力法基本体系如图(b)x2x1BA(b)01方向的位移条件方向的位移条件 1x02方向的位移条件方向的位移条件 2x分别考虑基本结构在各个多余力、分别考虑基本结构在各个多余力、荷载单独作用下的位移情况，见图荷载单独作用下的位移情

10、况，见图(c)、(d)、(e)所示。所示。Bx2Ax1BA(c)(d)AB(e)222221111211PP将各因素单独作用基本结构的位移将各因素单独作用基本结构的位移叠加，得：叠加，得： (a)引入位移影响系数引入位移影响系数, ,并代入位移条件，并代入位移条件，式式(a)写成：写成： 01212111pxx02222121pxx(b)式式(b)既是两次超静定结构在荷载既是两次超静定结构在荷载作用下的力法方程。作用下的力法方程。 3 3、n n次超静定结构的力法方程（力法次超静定结构的力法方程（力法典型方程）典型方程） 由两次超静定结构的力法方程推由两次超静定结构的力法方程推广，得：广，得：

11、 0022222221211111212111PnnjjiiPnnjjiixxxxxxxxxx.0022112211jPnjnjjjijijjiPninjijiiiiixxxxxxxxxx.02211nPnnnjnjininnxxxxx(8-2-1)nnnjninnjnjjjijjinijiiiinjinji21212122222211111211njixxxxx11nPjPiPPP210000000+ = (8-2-1a)写成矩阵形式：写成矩阵形式：柔度矩阵的特征：柔度矩阵的特征： 在柔度矩阵的主对角线上（左上角至右在柔度矩阵的主对角线上（左上角至右下角的斜直线）排列的是主系数。主对下角的斜

12、直线）排列的是主系数。主对角线两侧，排列的是副系数。根据位移角线两侧，排列的是副系数。根据位移互等定理，在主对角线两侧对称位置上互等定理，在主对角线两侧对称位置上的副系数互等。所以，力法方程的柔度的副系数互等。所以，力法方程的柔度矩阵是一个对称方阵，其独立的柔度系矩阵是一个对称方阵，其独立的柔度系数为个数为个 2()/ 2nn。力法解题一般步骤：力法解题一般步骤：确定结构的力法基本未知量，并绘出确定结构的力法基本未知量，并绘出相应的力法基本体系；相应的力法基本体系； 1 作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷载作用下的弯矩图；载作用下的弯矩图； 3 求力法方程中的

13、系数和自由项；求力法方程中的系数和自由项； 2 将系数和自由项代入力法方程，求解多将系数和自由项代入力法方程，求解多余未知力；余未知力； 4 叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构的弯矩图；的弯矩图； 5 由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图作结构的轴力图；作结构的轴力图； 6 校核力法计算结果。校核力法计算结果。 7 试用力法计算图试用力法计算图(a)(a)所示超静定所示超静定梁，并作梁的弯矩图。梁，并作梁的弯矩图。 例例8-2-18-2-1AqB(a)(a)原结构原结构 解：解： 1)1)取基本体系如图取基本体系如图(b)(b)

14、。 (b) (b)基本体系基本体系qBAx1见图见图(c)(c)、(d)(d) PM1M作作图图和和 图图LBAx =11(c)(c) BAq22qL(d)(d) 作弯矩图，见图作弯矩图，见图(e)(e)。 82qL82qLAB(e)(e) 第三节第三节 用力法求解超静定梁和刚架用力法求解超静定梁和刚架 例例8-3-1使用力法计算图使用力法计算图(a)所示超静定梁，并作所示超静定梁，并作弯矩图。弯矩图。 LAB(a) 解：解： 1)判定梁的超静定次数，并确定相应的力判定梁的超静定次数，并确定相应的力法基本体系。见图法基本体系。见图(b)。 x1x2ABx1x2AB(b)基本体系基本体系 2)写

15、力法方程。写力法方程。 01212111pxx02222121pxx(a)3)求力法方程中的系数和自由项。求力法方程中的系数和自由项。 作基本结构分别在各多余力及荷载作用作基本结构分别在各多余力及荷载作用下的弯矩图。见图下的弯矩图。见图(c)、(d)、(e)。 （1）x =11AB(c)ABx =11(d)AB(e)图乘求系数和自由项。图乘求系数和自由项。 (2)EILLEI3) 132121(12211EILLEI6) 131121(12112EIqLLqLEIPP24) 121832(1322111可由可由 1M的面积与该面积形心处的竖的面积与该面积形心处的竖标相乘得出，叫做标相乘得出，叫

16、做自乘自乘。122M可由可由 图的面积与该面积形心对图的面积与该面积形心对对应的图的竖标相乘得出（由位移互对应的图的竖标相乘得出（由位移互等定理，也可交换取面积和竖标），等定理，也可交换取面积和竖标），叫做叫做互乘互乘。由此，将求柔度系数和自由项的过程，演由此，将求柔度系数和自由项的过程，演变成各弯矩图变成各弯矩图自乘自乘或或互乘互乘的过程。的过程。 将所的系数和自由项代入力法方程将所的系数和自由项代入力法方程(a)，并求解多余力。并求解多余力。 (3)0243602463321321EIqLxEILxEILEIqLxEILxEIL简化为：简化为： 08210821221221qLxxqLxx

17、(b)解方程，得：解方程，得： 1221qLx1222qLx (c)作弯矩图。见图作弯矩图。见图(f)。 (4)AB242qL122qL122qL(f)M图图 例例8-3-2计算图计算图(a)所示超静定刚架，并作弯矩图。所示超静定刚架，并作弯矩图。 L/2ACBL/2L(a) 解：解： 1)确定基本未知量，并选择基本体系。确定基本未知量，并选择基本体系。 对图对图(b)、(c)所示的两个基本体系比所示的两个基本体系比较。较。 Ax2BCx1(b)基本体系基本体系1 L/3L/3x2x1x1CBAx2(c)基本体系基本体系1 x =11ABCL(b1)Ax =12LCBL(b2)ABC(b3)x

18、1x =11CBA1/2x2x =12CBA13/2CBAF L/4P(c1)(c2)(c3)2)计算系数和自由项计算系数和自由项 EILLEILLEI125) 132121(21) 13232121213232121(111EILLEI43)23322321(122EILFLLFEIPPP32) 121421(212102P3)将系数和自由项代入力法方程，并求解：将系数和自由项代入力法方程，并求解： 043032125221xLLFxLP解得：解得： 04031xEILFxP4)计算杆端弯矩，并作弯矩图计算杆端弯矩，并作弯矩图 EILFEILFMxxMPPPABAB803)403(21232

19、121（右侧受拉（右侧受拉） EILFxMMPBCBA4031（左、上侧受拉）（左、上侧受拉） ABC(d)M图图 说明：说明： 力法简化计算主要是使力法方程解耦或使力法简化计算主要是使力法方程解耦或使联立数目减少。联立数目减少。 当所有的副系数等于零时，力法方程是完当所有的副系数等于零时，力法方程是完全解耦的。所以，在选择力法基本体系时，全解耦的。所以，在选择力法基本体系时，应是尽可能多的副系数等于零应是尽可能多的副系数等于零 。 在选择力法基本体系上注意比较对照，往在选择力法基本体系上注意比较对照，往往起到使力法方程解耦、或减少计算量的往起到使力法方程解耦、或减少计算量的效果，节省时间并有

20、利于得出正确的结果。效果，节省时间并有利于得出正确的结果。 力法解题的主要步骤为：力法解题的主要步骤为： 判定结构的力法基本未知量，确定基本体判定结构的力法基本未知量，确定基本体系，并写出力法方程系，并写出力法方程 (1)计算基本结构在各印数单独作用下的内力，计算基本结构在各印数单独作用下的内力，然后计算力法方程中的系数和自由项；然后计算力法方程中的系数和自由项； (2)将系数和自由项代入力法方程，并求解出多将系数和自由项代入力法方程，并求解出多余力；余力； (3)计算控制截面内力，做内力图，并进行最后计算控制截面内力，做内力图，并进行最后结果的校核。结果的校核。 (4)第四节第四节 用力法求

21、解超静定桁架、组用力法求解超静定桁架、组合结构和拱合结构和拱 例例8-4-1用力法计算图用力法计算图(a)所示组合结构，求出各所示组合结构，求出各桁架杆的轴力，并作梁式杆的弯桁架杆的轴力，并作梁式杆的弯矩图。已矩图。已知梁式杆的抗弯刚度知梁式杆的抗弯刚度EI=常数，各桁架杆常数，各桁架杆的轴向刚度的轴向刚度EA=常数，且常数，且A=I/16。4m3m4mq=10kN/mDBCA(a) 解：解： 1)确定力法基本体系确定力法基本体系 q=10kN/mx1x1DBCA(b)力法方程为：力法方程为： 01111px2)计算力法方程中的系数和自由项计算力法方程中的系数和自由项 x =11x1DBCA(

22、c)因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架部分因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架部分上无轴力发生，只有梁式杆上有弯矩，见上无轴力发生，只有梁式杆上有弯矩，见图图(d)。 q=10kN/m30kN40kNmDBCA10kN(d)显然，计算系数或自由项均应分别考虑显然，计算系数或自由项均应分别考虑梁式杆和桁架杆各自变形特点的位移计梁式杆和桁架杆各自变形特点的位移计算式。计算如下：算式。计算如下： EIEIEA78.169)2324221(25)65)(65(2)311(111EIEIP67.266)2214841032232440212(121 3)将系数和自由项代入力法方程，并解之：将系数和自由项代

23、入力法方程，并解之： 067.26678.1691EIxEIkNx57. 114)计算内力计算内力 mkNMxMMPCACBCA86.3640)57. 1(221（下侧受拉）（下侧受拉） 桁架杆轴力：桁架杆轴力： kNxFNDC57. 111（压力）（压力） kNxFFNDANDB31. 1651（拉力（拉力） DBCA(e) 桁架：桁架： EALFNiii2LEAFFNPNiiPLEAFFNjNiij组合结构中的梁式杆和桁架杆分别按各组合结构中的梁式杆和桁架杆分别按各自的计算式计算后叠加。自的计算式计算后叠加。 力法方程中的柔度系数和荷载作用时自力法方程中的柔度系数和荷载作用时自由项计算公式

24、：由项计算公式： 梁和刚架：梁和刚架： dxEIMiii2dxEIMMjiijdxEIMMPiiP第五节第五节 力法中的对称性利用力法中的对称性利用 若结构是对称的，荷载是正对称若结构是对称的，荷载是正对称时，结构的弯矩、轴力是正对称时，结构的弯矩、轴力是正对称的，剪力是反对称的；荷载是反的，剪力是反对称的；荷载是反对称时，结构的弯矩、轴力是反对称时，结构的弯矩、轴力是反对称的，剪力是对称的。对称的，剪力是对称的。 内力的对称性内力的对称性若取对称的基本结构，并且多余若取对称的基本结构，并且多余力也具有正或（和）反对称性，力也具有正或（和）反对称性，则，在正对称荷载作用下，结构则，在正对称荷载

25、作用下，结构只有正对称多余力，反对称多余只有正对称多余力，反对称多余力等于零；在反对称荷载作用下，力等于零；在反对称荷载作用下，结构只有反对称多余力，正对称结构只有反对称多余力，正对称多余力等于零多余力等于零。多余力的对称性多余力的对称性例例8-5-1计算并绘制一超静定刚架分别在图计算并绘制一超静定刚架分别在图(a)、(b)所示荷载作用下的弯矩图。所示荷载作用下的弯矩图。 CAABBL/2L/2L/2L/2CAABBL/2L/2L/2L/2(b)(a)返回返回 解：解： 图图(a)，刚架在正对称荷载下的内力计算：，刚架在正对称荷载下的内力计算： x1CAx1ABBCLLx1CAx =11ABB

26、C(a1)(a2)返回返回由图由图(a2)、(a3)图乘求系数和自由项：图乘求系数和自由项： AABBC C(a3)EILLLLEI32)3221(2311EILFLLLFEIPPP245)652221(231代入力法方程，解得：代入力法方程，解得： 1651111PPFx计算杆端弯矩：计算杆端弯矩： 1632)165(LFLFFLMPPPAB（外侧受拉）（外侧受拉） 弯矩图见图弯矩图见图(c)。 CAABB(c)图图(b)，刚架在反对称荷载下的内力计算：，刚架在反对称荷载下的内力计算： 取对称的基本结构，只考虑反对称的多取对称的基本结构，只考虑反对称的多余力，见图余力，见图(b1)、(b2)

27、。 x2CAx2ABBCx2CAx =12ABBC(b1)(b2)CAABBC(b3)由图由图(b2)、(b3)图乘求系数和自由项：图乘求系数和自由项： EILLLLLLLEI127)232222122(2322EILFLLLFEIPPP8)22221(232代入力法方程，解得：代入力法方程，解得： 1432222PPFx计算杆端弯矩：计算杆端弯矩： 28112)143(2PPPABFLFFLM（左侧受拉）（左侧受拉） 283)143(2LFFLMPPBA（右侧受拉）（右侧受拉） 弯矩图见图弯矩图见图(d)。 CAABB11F L/28P3F L/28P(d)力法利用对称性需要且仅需要力法利用

28、对称性需要且仅需要(1)取对称的基本结构；取对称的基本结构；(2)使多余力具有正对称或（和）反对使多余力具有正对称或（和）反对称性。称性。这两条必须同时满足。而不需要考虑荷这两条必须同时满足。而不需要考虑荷载是否具有对称或反对称性。载是否具有对称或反对称性。 更一般情况下的对称性的利用更一般情况下的对称性的利用BqABAC(a)原结构原结构 图图8-3-1(a)所示为一般荷载作用下的对所示为一般荷载作用下的对称结构，力法基本未知量为称结构，力法基本未知量为3,因而力法因而力法方程为：方程为： 000333323213133322221211313212111PPPxxxxxxxxx(a)取对称

29、的基本结构如图取对称的基本结构如图(b)，其上的多余，其上的多余力具有正对称和反对称性。力具有正对称和反对称性。 x1x3x2Bx2x1qABACCx3(b)基本体系基本体系 其上的多余力具有正对称和反对称性。其上的多余力具有正对称和反对称性。基本结构在各多余力单独作用下弯矩图基本结构在各多余力单独作用下弯矩图自然具有相应的对称和反对称性。自然具有相应的对称和反对称性。 qBABACC(c)CCBABA(d)x2x2BACACB(e)x3x3CCBABA(f)032233113代入方程代入方程(a)，得：，得： 000333322221211212111PPPxxxxx(b)副系数为两个单位弯

30、矩图的互乘，由于副系数为两个单位弯矩图的互乘，由于正对称与反对称的弯矩图互乘等于零，正对称与反对称的弯矩图互乘等于零，所以有副系数：所以有副系数： 最一般情况下的对称性的利用最一般情况下的对称性的利用仅仅结构具有对称性，荷载和多余力都仅仅结构具有对称性，荷载和多余力都不具有对称性或（和）反对称性。不具有对称性或（和）反对称性。方法方法1 1：构造对称（反对称）荷载：构造对称（反对称）荷载方法方法2 2：构造对称（反对称）多余力：构造对称（反对称）多余力利用对称性计算图利用对称性计算图(a)所示对称刚架。所示对称刚架。例例8-5-2BCCAq=6kN/m(a)图图(a)所示对称刚架，为两次超静定

31、结构所示对称刚架，为两次超静定结构。 取图取图(c)所示基本结构，但在对称位置上所示基本结构，但在对称位置上的两个多余力在一般荷载作用下不具有的两个多余力在一般荷载作用下不具有对称性，也不具有反对称性。对称性，也不具有反对称性。 BCCx2Ax1q=6kN/m(c)方法一：构造对称和反对称荷载方法一：构造对称和反对称荷载对称荷载对称荷载反对称荷载反对称荷载计算系数和自由项：计算系数和自由项：1121218(3 33)23EIEI 22212190(3 33)(6 4 6)232EIEIEI 1213243(13.5 33)344PEIEI 221311539(13.5 33)( 27 4 6)

32、3424PEIEIEI 代入力法方程，求多余力：代入力法方程，求多余力： 0022221111PPxx123.3754.275xx计算杆端弯矩：计算杆端弯矩： 12002761.35ABBAMMxxkN m （右侧受拉）（右侧受拉） 1213.5313.534.05BCMxxkN m（上侧受拉）（上侧受拉） 1213.5313.532.7BCMxxkN m（上侧受拉）（上侧受拉） 仍然取与图仍然取与图(c)相同的基本结构，所不相同的基本结构，所不同的是将在对称位置上的两个多余力进同的是将在对称位置上的两个多余力进行分组，分成一组正对称的和一组反对行分组，分成一组正对称的和一组反对称的，见图称的

33、，见图(b)所示。所示。 CCx2Ax1Bx2x1q=6kN/m(b)方法二：构造对称和反对称多余力方法二：构造对称和反对称多余力计算系数和自由项：计算系数和自由项：EIEI18)3323321(21122212190(3 33)(6 4 6)232EIEIEI EIEIP4243)34332731(11EIEIEIP41539)6427(21)34332731(12代入力法方程，求多余力：代入力法方程，求多余力： 0022221111PPxx计算杆端弯矩：计算杆端弯矩： 1227061.35ABBAMMxxkN m （右侧受拉）（右侧受拉） 1227334.05BCMxxkN m（上侧受拉）

34、（上侧受拉） 123.3754.275xx120332.7BCMxxkN m（上侧受拉）（上侧受拉） 第六节第六节 在支座移动、温度改变时的在支座移动、温度改变时的力法方程及示例力法方程及示例 1.支座移动时的内力计算支座移动时的内力计算 与荷载作用下力法思路和建立方与荷载作用下力法思路和建立方程的方法相同，所不同的是：程的方法相同，所不同的是： 基本结构（静定结构）在支座基本结构（静定结构）在支座移动时是刚体位移，并且无内移动时是刚体位移，并且无内力发生力发生 ；12基本结构多余力处沿多余力基本结构多余力处沿多余力方向上与原结构一致的位移方向上与原结构一致的位移条件一般不全等于零。条件一般不

35、全等于零。以图以图8-4-1(a)所示超静定梁所示超静定梁为例，建立超静定结构在支为例，建立超静定结构在支座移动时的力法方程座移动时的力法方程 BAB 图图8-4-1(a)x2x1BBA (b)基本结构基本结构其多余力处沿多余力方向上与其多余力处沿多余力方向上与原结构一致的位移协调原结构一致的位移协调条件：条件： B102取力法基本体系如图取力法基本体系如图(b)叠加基本结构在各因素单独叠加基本结构在各因素单独作用下的位移，得力法方程：作用下的位移，得力法方程：022221211212111xxxxB(a)12式式中中分别表示基本结分别表示基本结构在支座移动时沿多构在支座移动时沿多余力方向上的

36、位移余力方向上的位移 自由项的计算是静定结构在支自由项的计算是静定结构在支座移动时的位移计算，即座移动时的位移计算，即cFRii(8-4-1)上式中：上式中：i表示基本结构由于支表示基本结构由于支座移动引起的在多余力座移动引起的在多余力 方向上的位移方向上的位移 ixRiF多余力多余力 =1单独作用在单独作用在基本结构上时引起的支座反基本结构上时引起的支座反力力 ixc基本结构的支座位移基本结构的支座位移 注注基本结构的支座移动，指基基本结构的支座移动，指基本结构保留的支座上的位移本结构保留的支座上的位移 例例8-4-1图图(a)所示刚架，固定所示刚架，固定支座支座A在三个约束方向上都有在三个

37、约束方向上都有位移发生，即水平位移发生，即水平位移位移a，竖向，竖向位移位移a/2，转角位移，转角位移a/L。各杆。各杆EI相等，并为常数。只用力法相等，并为常数。只用力法计算该刚架，并作弯矩图。计算该刚架，并作弯矩图。LLa/2aAACAa/La/LBBa/2x2x1ACBaBa/LA解解取基本体系如图取基本体系如图(b)所示。所示。力法方程：力法方程： Laxxxx/022221211212111(a)作各单位多余力单独作用下的作各单位多余力单独作用下的弯矩图，并求出相应的支座反弯矩图，并求出相应的支座反力见图力见图(d)、(e)Lx1=1CABL0 x2=1CAB11(d)(e)计算柔度

38、系数方法同前，即：计算柔度系数方法同前，即：EILLLLEI32)3221(2311EILLLEI34) 11132121(122EILLLLLEI65)21132121(122112本例自由项计算如下：本例自由项计算如下：2)211 (1aaaLaaLa2)210(2求解多余力：求解多余力： aLEIx31769aLEIx22751计算杆端弯矩EILaxxMAB22175110EILaxxLMMBCBA2217181右侧受拉 左侧、上侧受拉 弯矩图见图弯矩图见图(c)CBAEILa2751EILa2718(c)结构在支座移动下结构在支座移动下的最后弯矩叠加公的最后弯矩叠加公式仅含各多余力的式

39、仅含各多余力的影响。即：影响。即： 1212ijijNijijnMMxMxMx(8-4-2)注注意意超静定结构在支座移动的影超静定结构在支座移动的影响下，会产生内力，并且内响下，会产生内力，并且内力与结构的刚度的绝对值有力与结构的刚度的绝对值有关；关；1 1由于超静定结构的基本结构是由于超静定结构的基本结构是静定结构，在支座移动的影响静定结构，在支座移动的影响下不产生内力，因此超静定结下不产生内力，因此超静定结构在支座移动的影响，其内力构在支座移动的影响，其内力是多余力作用在基本结构上的是多余力作用在基本结构上的内力的体现。内力的体现。或者更简单得说，其内力是由或者更简单得说，其内力是由多余力

40、引起的。多余力引起的。2 22.温度改变时的内力计算温度改变时的内力计算 t2Bt1A (a)原结构原结构x2x1t2Bt1A (b)基本结构基本结构x1ABB(c)图图8-4-2x2BBAtt2Bt1ABt(d)(e)图图8-4-2图图8-4-2(a)所示两次超静定梁，所示两次超静定梁，温度改变影响下的力法方程温度改变影响下的力法方程：0022221211212111ttxxxx(b)式式中中自由项自由项t 1t2分别表示基本结构在分别表示基本结构在温度改变时沿多余力温度改变时沿多余力 和和 方向上的位移。方向上的位移。1x2x自由项的计算式可写成一自由项的计算式可写成一般形式：般形式：0(

41、 )( )NiitFMittSSh (8-4-3)式中式中NiFSMiS分别表示基本结构在多分别表示基本结构在多余力余力 =1单独作用下，结单独作用下，结构的杆件中产生的轴力图和构的杆件中产生的轴力图和弯矩图的面积。弯矩图的面积。ix例例8-4-2图图(a)所示结构，除承受所示结构，除承受图示的荷载外，内外侧的温度图示的荷载外，内外侧的温度也发生了改变，其也发生了改变，其内侧升高了内侧升高了5，外侧升高了外侧升高了25。杆件截面为矩。杆件截面为矩形，尺寸见图示。已知：材料形，尺寸见图示。已知：材料在温度下的线膨胀系数为在温度下的线膨胀系数为0.00001。用力法计算并作弯矩。用力法计算并作弯矩

42、图和轴力图。图和轴力图。60cm40cmq=20kN/mt1CDAt2Bx1q=20kN/mt1CDAt2B (a)原结构原结构 (b)基本结构基本结构解解该刚架为一次超静定结构，基该刚架为一次超静定结构，基本体系如图本体系如图(b)，力法方程：，力法方程：011111tPx(a)120kNmq=20kN/mCDABt1CDAt2BDB(c)(d)1/6CA1x =11DB11/6(1/6)(0)(e)计算系数和自由项：计算系数和自由项：由图由图(e)弯矩图自乘，弯矩图自乘，得：得：EIEI8) 1611326121(111由图由图(e)和图和图(c)两弯矩图两弯矩图互乘，得互乘，得EIEIP

43、60) 1216862032131612021(121由式由式(8-4-3)计算：计算：(b)0( )( )NiitFMittSSh 由题给条件知：由题给条件知：Cttt1525252210Cttt2052512温度升高温度升高外侧温度高外侧温度高3211085. 2)616121(10602000001. 06611500001. 0t则则251044. 1mkNEI将以上所得值代入力法方将以上所得值代入力法方程程(a)式中，解得：式中，解得：矩形截面的抗弯刚度：矩形截面的抗弯刚度：mkNxPt8 .4311111计算杆端弯矩：计算杆端弯矩：mkNxMAB8 .4311右侧右侧受拉受拉BCD

44、A(f)注注意意超静定结构在温度的改变的超静定结构在温度的改变的影响下，会产生内力，并且影响下，会产生内力，并且内力与结构的刚度的绝对值内力与结构的刚度的绝对值有关；有关；1 1由于基本结构是静定结构，温由于基本结构是静定结构，温度改变不产生内力。超静定结度改变不产生内力。超静定结构由于温度的改变所产生的内构由于温度的改变所产生的内力是由多余力作用在基本结构力是由多余力作用在基本结构上的内力体现的。上的内力体现的。或者更简单得说，其内力是由或者更简单得说，其内力是由多余力引起的。多余力引起的。2 2 第七节第七节超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算及力法结果的校核及力法结果的校核 原结构和

45、基本结构的变形比较原结构和基本结构的变形比较超静定结构的基本结构不仅在多超静定结构的基本结构不仅在多余力方向与原结构的位移一致余力方向与原结构的位移一致（力法方程条件），并且满足基（力法方程条件），并且满足基本结构在任一截面上的位移都一本结构在任一截面上的位移都一定与原结构一致。定与原结构一致。1.超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算就是其任意一就是其任意一个基本结构（静定结构）在广义荷载个基本结构（静定结构）在广义荷载（狭义荷载、支座移动、温度）和多（狭义荷载、支座移动、温度）和多余力的共同作用下的位移计算（因超余力的共同作用下的位移计算（因超静定

46、结构的基本结构不是唯一的）。静定结构的基本结构不是唯一的）。计算超静定结构的位移计算超静定结构的位移时的虚单位力时的虚单位力可加在其原结构的任意一个基本结构可加在其原结构的任意一个基本结构上。上。 00( )( )NQNQNFMRF FF FMMdskdsdsEAGAEIttSShFc 广义荷载广义荷载作用下的位移计算公式作用下的位移计算公式1 1）荷载作用下的位移计算）荷载作用下的位移计算dsEIMMdsGAFFkdsEAFFQQNN0(7-5-1)超静定结构在荷载作用超静定结构在荷载作用下的位移计算步骤：下的位移计算步骤：1 1计算超静定结构（原结构）计算超静定结构（原结构）在荷载作用下的

47、内力（实际在荷载作用下的内力（实际状态）；状态）；2 2在原结构的任意一个基本结在原结构的任意一个基本结构上沿拟求位移方向施加虚构上沿拟求位移方向施加虚单位力，并计算由此单位力，并计算由此产生的产生的内力；内力；3 3将以上所得两种状态内力代将以上所得两种状态内力代入位移计算公式（入位移计算公式（7-5-1）计）计算算。例例8-5-1求图求图8-5-1(a)所示刚架所示刚架在荷载作用下在荷载作用下C端截面的转端截面的转角位移角位移q qC。L/2ACBL/2LAx2BCx1 (a)原结构原结构 (b)基本结构基本结构ABC1ABC1ABC(d)M图图(e)(f)图图8-5-1解刚架在荷载作用下

48、的最后弯矩刚架在荷载作用下的最后弯矩图已在例图已在例8-2-2中得出，见图中得出，见图(d)。图图(e)、(f)示出了原结构的两个示出了原结构的两个基本结构的虚单位力作用下弯基本结构的虚单位力作用下弯矩图，比较后，显然后者与最矩图，比较后，显然后者与最后弯矩图互乘较简单，因此取后弯矩图互乘较简单，因此取图图(f)为原结构的虚力系。为原结构的虚力系。将图将图(d)、(f)互乘，得互乘，得EILFLLFLLFEIPPPC40) 12142113140321(212q（）一般选择虚单位弯矩图在结一般选择虚单位弯矩图在结构上分布尽可能简单构上分布尽可能简单的基本的基本结构作为虚力系。结构作为虚力系。注

49、意注意2)支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算一般形式一般形式cFdsEIMMdsGAFFkdsEAFFRQQNN0(7-5-1)例例8-5-2求图求图(a)所示超静定梁由所示超静定梁由于于B支座位移引起的梁中点的竖支座位移引起的梁中点的竖向位移。向位移。LABCbBx1AbBBC (a)原结构原结构 (b)基本结构基本结构解解1)用力法计算原结构，作梁在支用力法计算原结构，作梁在支座移动时的最后弯矩图（实际状座移动时的最后弯矩图（实际状态）。态）。取图取图(b)所示简支梁为力法基本所示简支梁为力法基本结构，力法方程为：结构，力法方程为：01111x(1)方程中的系数和自由项：基方程中的系

50、数和自由项：基本结构在单位多余力作用下的本结构在单位多余力作用下的弯矩图和支座移动单独作用下弯矩图和支座移动单独作用下的刚体位移见图的刚体位移见图(d)、(f)。bABCB1/Lx =11AB1(c)(d)将系数和自由项代入力法将系数和自由项代入力法方程，求解多余力：方程，求解多余力：211113LEIbxEILLEI3) 132121(111LbbLcFR)1(11ABC23LEIbABCx =-123LEIb(e)M图图(f)M图图杆端弯矩：杆端弯矩：作最后弯矩图：作最后弯矩图：2113LEIbMxMAB上侧受拉上侧受拉梁的最后弯矩图见图梁的最后弯矩图见图(e)所示。所示。2)虚设单位力见图虚设单位力见图(g)，作，作虚单位弯矩图并求支座反虚单位弯矩图并求支座反力（虚力状态）。力（虚力状态）。F =1PABCbABCB(g)虚单位弯矩图虚单位弯矩图(h)3)利用位移计算公式利用位移计算公式(7-3-3)求位移求位移CV