转化与化归思想的应用

1、转化与化归思想的应用 题型一特殊与一般的转化例1已知函数f(x)(a>0且a1)，则fff的值为_答案解析思维升华一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果(1)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则_.(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f_.答案(1)(2)0 题型二，常量与变量的转化 例2， 对任意的|m|2，函数f(x)mx22x1m恒为负，则x的取值范围为_.变式练习：设f(x)是定

2、义在R上的单调增函数，若f(1axx2)f(2a)对任意a1,1恒成立，则x的取值范围为_(，10，)探究提高在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. 题型三函数、方程、不等式之间的转化例3若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x3)f(x)3和f(x2)f(x)2，且f(1)1，则f(2 014)_.答案2 014解析(2)f(x1)f(x3)2f(x)32f(x)1，f(x1)f(x4)3f(x2)23f(x)43f(x)1，f(x)1f(x1)f(x)1.f(x1)f(x)1.数列

3、f(n)为等差数列f(2 014)f(1)2 013×12 014. (1)若关于x的方程9x(4a)·3x40有解，则实数a的取值范围是_答案(1)(，82关于的方程，给出下列四个命题： ( A )存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是A0 B1 C2 D3题型四 数与形的转化例4(2014·天津)已知函数f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_答案(0,1)(9，)解析设y

4、1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐标系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的图象如图所示由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同解消去y得x2(3a)xa0有两个不等实根，所以(3a)24a>0，即a210a9>0，解得a<1或a>9.又由图象得a>0，所以0<a<1或a>9.例5. 分析：转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步

5、换元。 解： 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图） 相切于第一象限时，u取最大值 题型五正难则反的转化例3已知三条抛物线：yx24ax4a3，yx2(a1)xa2，yx22ax2a中至少有一条与x轴相交，求实数a的取值范围解令y0，由解得<a<1，三条抛物线都不与x轴相交时a的取值范围是<a<1.故满足题意的a的取值范围是a或a1.思维升华否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中若二次函数f(x

6、)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少存在一个值c，使得f(c)>0，求实数p的取值范围解如果在1,1内没有值满足f(c)>0，则p3或p，取补集为3<p<，即为满足条件的p的取值范围故实数p的取值范围为(3，)、押题精练1已知a，b是单位向量，a·b0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1 B1，2C1，1 D1，2答案A解析由题意，不妨令a(0,1)，b(1,0)，c(x，y)，由|cab|1得(x1)2(y1)21，|c|可看做(x，y)到原点的距离，而点(x，y)在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上如图所示，当点(x，

7、y)在位置P时到原点的距离最近，在位置P时最远，而PO1，PO1，故选A.2过双曲线1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R、Q两点，则·的值为()Aa2 Bb2 C2ab Da2b2答案A解析当直线RQ与x轴重合时，|a，故选A.3已知数列an的前n项和为Sn，且anSn·Sn1 (n2)，a1，则a10等于()A. B. C. D.答案C解析由anSn·Sn1 (n2)，得1，(n1)×(1)，Sn，a10S10S9.4设函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数为_答案2解析令tf(x)，则该函数的零点即f(t)10的解先解方程f(t)

8、1.当t0时，方程为2t1，解得t0；当t>0时，方程为log2t1，解得t2；所以方程f(t)1的解为0或2.再解方程f(x)0和f(x)2.当x0时，因为2x>0，故由2x2，得x1；当x>0时，由log2x0，得x1；由log2x2，得x4；故函数yf(f(x)1的零点为1,4，共2个5已知奇函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)在0，)上是增函数，当0时，是否存在实数m，使f(cos 23)f(4m2mcos )>f(0)对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由解f(x)在R上为奇函数，又在0，)上是增函数，f(x)在R上为增函数，且f(0)0.由题设条件可得，f(cos 23)f(4m2mcos )>0.又由f(x)为奇函数，可得f(cos 23)>f(2mcos 4m)f(x)在R上为增函数，cos 23>2mcos 4m，即cos2mcos 2m2>0.令cos t，0，0t1.于是问题转化为对一切0t1，不等式t2mt2m2>0恒成立t