数学详解及分析

1、2011-2012年海淀区九年级第一学期期中练习数学试卷分析一、试卷概述纵观本次海淀区期中统考试卷，试题难度适宜，能重视考查基础知识、基本技能和数学思想方法。本试卷共五道大题，25道小题，满分120分。主要考察二次根式、一元二次方程、旋转与对称及圆等相关知识点。 对二次根式的考查重在基础。试卷第1、9、13、15题对二次根式作了全面考查，约18分，试题难度不大，都是应该熟练掌握的基础内容。 一元二次方程是初中阶段最重要的方程之一，也是解答数学问题的工具和方法，当然也是考查的重点内容。试卷第3、4、6、12、14、17、20、24题覆盖了二次方程的所有知识点，约40分。旋转和对称都是重要的几何变

2、换，试卷中两者均有涉及。试卷第5、10、22都涉及旋转，23题隐含了对称的知识，约19分，这部分题目主要考察学生的思维能力。 圆是初中数学的重点和难点，中考对这部分内容的考查集中在：圆的有关性质、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系、对弧长、扇形面积计算等方面上。试卷第2、7、8、11、18、19、21、25主要考查圆的知识，约40分。二、卷面考点分析大题号小题号分值难度考点考查内容一14易二次根式的概念开方运算24易圆与圆的位置关系已知圆的半径长度，通过圆心距来判断两圆的位置关系34易一元二次方程通过判别式，判断一元二次方程根的情况44易一元二次方程一元二次方程表达式的确定54中图形的旋转图

3、形的旋转过程中，旋转中心和旋转角的确定64易一元二次方程配方法解一元二次方程74中圆的相关知识圆心角与圆周角的大小关系、等腰三角形的性质84中圆的相关知识弦长与弦心距的关系二94易二次根式的概念二次根式成立的条件104 易对称求已知点关于原点对称点的坐标114易圆的切线圆的切线的性质124中一元二次方程、找规律通过观察找出递推规律，然后解一元二次方程三135易二次根式的加减、指数运算二次根式的化简及加减运算145易一元二次方程因式分解法解一元二次方程155易二次根式的乘法二次根式的乘法、合并同类二次根式165中三角形全等通过证三角形全等来证明线段相等175易一元二次方程已知方程根的情况，通过判

4、别式，求得一元二次方程表达式中的未知系数185易圆的相关知识已知圆心距、弦长、半径中的两个量，求第三个量四195中尺规作图用尺规作图法做圆的内接正六边形205中一元二次方程实际问题与一元二次方程、因式分解法解一元二次方程215中圆的相关知识及平行线平行线的性质、弧长相等的条件、切线的证明225中图形的旋转用尺规作图法找出旋转中心五236难角平分线的性质从特殊到一般，探究性题目248难一元二次方程一元二次方程根与系数的关系、考察学生综合分析能力258难圆的相关知识与圆有关的动点问题，考察学生数形结合思想和分类讨论思想三、试题答案及典型题目分析1. B 2. A 3. C 4. C 5. D 6.

5、 A 7. B 8. B 9. a£3 10. (2, -5) 11. 2 12. 17x2 +16x -1=0; (2n+1)x2 + 2nx -1=0; x1=-1,13解： 原式= =. 14解法一：a=1, b=2, c=-15, >0. x1 = 3, x2 = -5. 解法二：( x -3 )( x+5 )0， x1 = 3, x2 = -5. 解法三：x22x15， x22x+115+1. (x1)242. x1±4. x1 = 3, x2 = -5. 15解： 原式= =. 16证明： AE=FC, AE+EF=FC+EF.即AF=CE. 在ABF和C

6、DE中, ABFCDE. BFDE. 17解： 关于x的一元二次方程x22xk30有两个不等的实数根, >0. 即 16-4k>0. 解得 k<4 . k的取值范围为k<4. 18解：过点O作OCAB于C, 连接OA. AC=AB, OC=3. AB= 8, AC=4. 在RtAOC中, 由勾股定理得AO=(cm). O的半径为 5cm. 19. （1）此问共2分, 未保留作图痕迹扣1分.（2）此问共3分，只对一种分割扣1分.参考答案如右图所示. 说明: 其中有一个图保留作图痕迹即可.20. 解：设共有x名同学参加了聚会. 依题意，得 x(x-1)=90. 解得x1=-

7、9, x2=10. x=-9不符合实际意义，舍去. x=10.答: 共有10人参加了聚会. 21. 解：（1）证明：连接OD. ADOC, BOC=OAD, COD =ODA. OA=OD, OAD=ODA. BOC=COD. . （2）由（1）BOC=OAD, OAD=ODA. BOC=ODA. ÐBOC+ÐADF=90° ODA +ÐADF=90°. 即 ODF=90°. OD是O的半径, CD是O的切线. 22此题的第一小问考察的是怎样找旋转中心?做法：先找到原图像和旋转图形的两个对称点。连接对应两点，然后就会出现两条线段，分别

8、作这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心。原理：能这样做是因为一个图形在发生旋转时，某一个点到旋转中心的距离是不会变的，而中垂线上的一点到两点距离也相等。（1）参考下图: （2）a ; 23解答此题要充分利用角平分线的性质。第一小问比较容易；第二问让判断两条线段的数量关系并给予证明，有前面第一问的答案，我们可以猜想两条线段相等，要证明两条线段相等，最常用的方法就是分别把它们放到两个三角形中，通过证三角形全等，得到对应边相等；第三问是个探究性题目，由特殊情况推测出一般情况下结论成立的适用条件。详解:（1）结论: CF=CG, OF=OG. （2）法一：过点C作CM OA于M, CN

9、 OB于N. OC平分ÐAOB, CM=CN, ÐCMF=ÐCNG=90°, ÐAOC=ÐBOC. ÐAOB=120°， ÐAOC=ÐBOC=60°, ÐMCN =360°-ÐAOB-ÐCMF-ÐCNO =60°. ÐDCE=ÐAOC =60°. ÐMCN=ÐFCG. ÐMCN -ÐFCN =ÐFCG -ÐFCN.即 Ð1 =&

10、#208;2. 由 得CMFCNG. CF=CG. 法二：在OB上截取一点H, 使得OH=OC. OP平分ÐAOB, ÐAOB=120°， Ð1=Ð2=60°, ÐDCE=Ð1=60°. OH=OC, OCH是等边三角形. CO=CH, Ð2=Ð3 . Ð1=Ð3 . Ð4+Ð5=180°.又 Ð5+Ð6=180°, Ð4=Ð6. 由 得CFOCGH. CF=CG. （3） Ð

11、DCE=180°- a . 24本题是有关一元二次方程的综合题，根据方程根的情况，列出关于判别式的等式或不等式，进而求出方程系数中的未知量取值情况。题目中还涉及了代数式求值问题，代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型，它除了按常规直接代入求值外，还要根据其形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，本题运用的是整体代入的方法。详解：（1）方程有两个相等实数根, 由得k + 2 ¹0, 由得 (k + 2) (k+4) =0. k + 2¹0, k=-4. 当k=-4时, 方程为: . 解得 （2）由方程得 D2= . 法一: D2D1-(k +

12、2) (k+4) =3k26k+5 =3(k+1)22>0. D2>D1. 方程、只有一个有实数根， D 2>0> D 1. 此时方程没有实数根. 由 得 (k + 2) (k+4)<0. . (k + 2) (k+4)<0, . 法二: D 2=>0. 因此无论k为何值时, 方程总有实数根. 方程、只有一个方程有实数根， 此时方程没有实数根. 下同解法一.( 3) 法一: a 是方程和的公共根, ; . , . =2+3=5. 法二: a 是方程和的公共根, ; . （）2得 由得 将、代入原式，得原式=5. 25. 本题是与圆有关的动态型问题，解答

13、此类问题要运用数形结合的思想，通过对直观图形的观察与分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得以解决。还需注意的一点就是：动态型问题往往出现分类讨论的情况，即答案不唯一。详解：（1）由OA OB, OAB=30°, OA=，可得AB=2OB.在RtAOB中, 由勾股定理得OB=12，AB=24. B(0, 12). OA=, A (,0).可得直线AB的解析式为. （2）法一：MGFyOxABECD连接CD, 过F作FMx轴于点M,则CB=CD. OBA=90°-A=60°, CBD是等边三角形. BD=CB=OB=6, BCD=60°, OCD=1

14、20°. OB是直径，OA OB, OA切C于O. DE切C于D, COE=CDE=90°, OEC=DEC. OED=360° -COE-CDE -OCD = 60°. OEC=DEC=30°. CE=2 CO=12. 在RtCOE中, 由勾股定理OE=. BGEC于F, GFE=90°. GBO +BGO=OEC +BGO , GBO=OEC =30°.故可得FC=BC=3, EF=FC+CE=15, FM=EF=, ME=FM= MO= F(,). 法二：连接OD, 过D作DH OB于H. OB是直径， BDO=90&

15、#176;.BOD +DOA=A +DOA, BOD=A =30°. 由（1）OB=12, 在RtDOB中, 由勾股定理得 OD=. 在RtDOH中, 由勾股定理得 HD=, OH=9. D(, 9).可得直线 OD的解析式为 由BG/DO, B(0, 12)， 可得直线BG的解析式为 OB是直径，OA OB, OA切C于O. DE切C于D, EO=ED. DOE=BOA -BOD =60°, ODE是等边三角形. . EA=OA- OE=. OC=CB=6, OE=EA=, C(0, 6), CE/BA. 直线CE的解析式为 由 F(,). （3）设点Q移动的速度为vcm/s . ()当点P运动到AB中点，点Q运动到AO中点时，PQBC，且PQ=BC，此时四边形CBPQ为平行四边形, 点Q与点E重合.（cm/s）. () 当点P运动到BG中点，点Q运动到OG中点时，PQBC，PQ=BC, 此时四边形CBPQ为平行四边形.可得BG= 从而PB=,OQ= （cm/s） 点Q的速度为cm/s或 cm/s. 四、期中考试体现的中考命题趋势在代数方面，注重数与式的变形。北京市的中考试题一般把方程