苏教版高中数学选修2132空间向量的应用教案2篇

1、数量积公式巧证垂直问题对于空间两个非零向量a，b来说，如果它们的夹角，那么我们定义它们的数量积为特别地，当两向量垂直时，利用该结论，可以很好地解决立体几何中线线垂直或线面垂直的问题1证明直线与直线垂直，可以转化为证明这两条直线上的非零向量的数量积为零反之亦成立例1如图1，已知空间四边形ABCD中，ABCD，且ADBC，求证：ACBD证明：设以空间一点O为起点，A、B、C、D为终点的向量分别记为a、b、c、d，由已知，ABCD，且ADBC，所以，即因此，ACBD评述：本题的结论是说，三棱锥中若两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直它的传统证法是过A点作平面BCD的垂线，通过三垂线定理及其逆定理

2、来证明以上用空间向量数量积作为工具，将几何问题代数化、程序化地解决2证明直线与平面垂直，可以转化为证明这条直线上的非零向量与平面内两相交直线上的非零向量的数量积都为零例2直线l与平面相交于点O，求证：若直线l与平面内的过O点的三条射线所成的角相等，则直线l平面证明：如图2，在直线l上任取一点P（点不与点重合），在平面内过O点的三条射线上分别取点A、B、C，使OA=OB=OC，设POA=POB=POC=，则易得，所以，所以，由于BA、BC是平面内的两条相交直线，因此，直线l平面3证明两个平面垂直，可以转化为证明这两个平面的法向量的数量积为零例3如图3，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，求证：

3、平面AED平面证明：设，且则设是平面AED的一个法向量，则，即，即因此，可以取于是，同理，设是平面的一个法向量，则，即，所以，不防取，从而，所以平面AED平面应用求线段长度由空间向量的数量积公式容易得到公式：，应用这个公式可以解决空间问题中两点之间的距离，即空间的距离问题可以转化为求向量的数量积加以解决事实上公式在计算空间线段长度方面的应用非常广泛，下面举例加以说明例1如图1，三棱锥中，PA=PB，CB面PAB，M、N分别在PC、AB上，且PM=MC，AN=3NB，（1）求证：MNAB；（2）当APB=90，BC=2，AB=4时，求MN的长简解：（1）设，则，且，ABMN；（2）APB=90，

4、BC=2，AB=4，则且，即MN的长为例2如图2，有一长方形的纸片ABCD，长AB4cm，宽AD3cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成120的二面角，求折叠后BD的长简解：作DEAC，BFAC，点E、F为垂足，则5cm， cm，cm， cm折叠后，DE、EF、FB的长度保持不变，且cm运用向量法求解立体几何探索性问题立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型向量作为一种工具，在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性运用向量法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了下面举例说明向量法在求解两类立体几何探索性问题中的运用一、条件探索型所谓“条件探索型”是指给出

5、了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题，这类问题的常用解法是逆推法，利用结论探求条件例1如图1，棱长为的正方体，E是BC的中点，F是棱CD上的动点（非C、D两点），设二面角的大小为试确定F点的位置，使得解析：以A为坐标原点，建立如图1所示的直角坐标系，则设，易知设是平面的一个法向量，则令，则又是平面的一个法向量，结合条件知可取，故，解得或（舍）故当是CD的中点时，二、存在型所谓“存在型”是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无

6、矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在例2已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点在直线上是否存在一点，使得？若存在，请你求出它的位置；若不存在，请说明理由解：假设在直线上存在一点，使得如图2，建立空间直角坐标系，有，解得，即时，用法向量求距离一、求异面直线间的距离如图1，若是异面直线的公垂线段，分别为上的任决两点令向量，则分析：，两异面直线间的距离为（其中与垂直，分别为两异面直线上的任意两点）例1 如图2，在正方体中，为的中点且正方体棱长为2求异面直线和间的距离解析：以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则设和公垂线段上的向量为，则即又，所以异面直线和间的距离为二、求点到平面的距离如图3，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量求证：点到平面的距离分析：，例2 如图4，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点求点到平面的距离解析：为正方形，易得平面平面，面，是平面的一个法向量设点到平面的距离为，则三、求直线到平面的距离例3 如图5，已知边长为的正三角形中，分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行求与平面间的距离解析：设的单位向量分别为，选取作为空间向量的一个基底易知，来设是平面的一个