线性代数习题解

1、线性代数第八章习题解习题八1. 验证 1) 全体级的实矩阵的集合关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间. 2) 给定实数轴上一闭区间a,b(a<b), 取Ca,b为a,b上的全体连续函数的集合, 则Ca,b关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.证: 1) 任给三级矩阵, 任给二实数, 因有A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C)O+A=AA+(-A)=Ok(A+B)=kA+kB(k+l)A=kA+lA(kl)A=k(lA)1A=A因此, 关于矩阵的加法和(实)数乘矩阵构成一线性空间.2) 任给三个在闭区间a,b上的连续函数, 任给二实数, 并用O(x)在此闭区间上的函数值

2、总取0值的函数, 即O(x)=0, a£x£b, f(x)的负函数则为-f(x)因有f(x)+g(x)=g(x)+f(x)f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)O(x)+f(x)=f(x)f(x)+-f(x)=O(x)kf(x)+g(x)=kf(x)+kg(x)(k+l)f(x)=kf(x)+lf(x)(kl)f(x)=klf(x)1f(x)=f(x)因此, Ca,b关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间.2. 取上一题中的n×m个元素Eij为(i,j)位元素为1, 其它全为零的矩阵, i=1,2,n; j=1,2,m. 验证这n×

3、m个元素为Mn×m(R)的一个基. 从而Mn×m(R)的维数为n×m.证: 首先验证n×m个元素线性无关, 考察关于kij, i=1,2,n; j=1,2,m的齐次方程, 这n×m个相加的矩阵中的每一个kijEij都是只有一个第i行第j列的元素为kij, 其余元素为0, 这样就有, 只有当kij=0, i=1,2,n; j=1,2,m时才有kijm×n=Om×n, 因此知这n×m个元素Eij线性无关. 此外, 任何, 都有从而这n×m个元素为Mn×m(R)的一个基. 从而Mn×m(R)

4、的维数为n×m.3. 判断下述变换中哪些是线性变换. 1) 线性空间V中, 是一固定向量. 2) 线性空间V中, 是一固定向量。 3) R3中, A(x1,x2,x3)=(2x1+x2, x3-x2, x1). 4) R3中, A(x1,x2,x3)=(x12, x1+x2, x3). 5) 全体实系数多项式构成的线性空间Rx中, A(f(x)=f(x-a), a是一固定的数. 6) 同上, Rx中, A(f(x)=f(x2).解: 1) 如果¹O, 则不是线性变换, 因AO=并没有将零向量映射为零向量.2) 如果¹O, 则不是线性变换, 同样因为AO=.3) 任

5、给,ÎR3, =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3), k为任意实数, 则A(+)=A(a1+b1,a2+b2,a3+b3)=(2(a1+b1)+(a2+b2), (a3+b3)-(a2+b2),(a1+b1)=(2a1+a2, a3-a2, a1)+(2a1+a2, a3-a2, a1)=A()+A()A(k)=A(ka1,ka2,ka3)=(2ka1+ka2, ka3-ka2, ka1)=k(2a1+a2, a3-a2, a1)=kA()因此A为线性变换.4) 不是线性变换, 第一个分量产生平方项x12是非线性的原因. 因此找任何一个第一个分量不为零的向量作反例即可,

6、因此令=(1,0,0), 并给出实数2, 则A=A(1,0,0)=(1, 1, 0), 而A(2)=A(2,0,0)=(4,2,0)¹(2,2,0)=2A.5) 任给实系数多项式f(x),g(x)ÎRx, 任给实数kÎR, A(f(x)=f(x-a), A(g(x)=g(x-a),A(f(x)+g(x)=f(x-a)+g(x-a)=A(f(x)+A(g(x),A(kf(x)=kf(x-a)=kA(f(x),因此A是线性变换.6) 任给实系数多项式f(x),g(x)ÎRx, 任给实数kÎR, A(f(x)=f(x2), A(g(x)=g(x2),

7、A(f(x)+g(x)=f(x2)+g(x2)=A(f(x)+A(g(x),A(kf(x)=kf(x2)=kA(f(x),因此A是线性变换.4. 在Rx中, , 验证A,B均是线性变换, 且AB-BA=E. 其中, E是指恒等变换.证: 因此有即AB-BA=E.5. 设矩阵定义R3上的一个线性变换A使得A在基1=(-1,1,0)T,2=(2,1,1)T,3=(0,2,-1)T下的矩阵为A.解: 设R3中的任意一向量在1,2,3,下的坐标向量为(b1,b2,b3)T, 即, 则有现求(1,2,3)-1如下: 即有最后得6. 设A,B为R3中如下定义的线性变换:A(x1,x2,x3)=(2x1-x

8、2, x1+x2+x3, -x2+x3)B(x1,x2,x3)=(x2+x3,x1+x3,x1+x2)分别求A,B和AB在基1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T, 3=(0,0,1)T下的矩阵.解: 其中就是A在基1, 2, 3下的矩阵,其中就是B在基1, 2, 3下的矩阵,因此,就是AB在基1, 2, 3下的矩阵.7. 设R3中一线性变换A在基1=(1,-2,1)T,2=(0,2,-1)T, 3=(-1,0,3)T下的矩阵为求A在基1=(1,1,1)T, 2=(1,1,0)T, 3=(1,0,0)T下的矩阵.解: 设由基1, 2, 3 到基1,2,3下的过渡矩阵为T, 则(1, 2,

9、 3)T=(1,2,3)因此, 对分块矩阵(1, 2, 3|1,2,3)作行初等变换使左边一半变换为单位矩阵时, 右边的一半的内容即为T, 因此再求过渡矩阵的逆T-1, 因为(1,2,3)T-1=(1, 2, 3), 因此对分块矩阵(1,2,3|1, 2, 3)作行初等变换使左边成为单位矩阵, 则右边即为T-1,因此任给ÎR3, 设其在基1, 2, 3下的坐标向量为(x1,x2,x3)T, 即=(1, 2, 3)(x1,x2,x3)T=(1,2,3)T-1(x1,x2,x3)T=(1,2,3)(c1,c2,c3)T,其中(c1,c2,c3)T为在基1,2,3下的坐标向量, 满足(c1

10、,c2,c3)T=T-1(x1,x2,x3)T, 或(x1,x2,x3)T=T(c1,c2,c3)T有A()=(1, 2, 3)A(x1,x2,x3)T=(1,2,3)T-1AT(c1,c2,c3)T,其中即A在基1,2,3下的矩阵为8. 设A为7题中的线性变换, 并设向量=(2,-3,1)T, 求和A()在基1,2,3下的坐标.解: 设在在基1,2,3下的坐标为(x1,x2,x3), 则解非齐次方程x11+x22+x33=, 写成齐次方程组的标准形式:由下面的方程往上面的方程依次解可得x1=1,x2=-3-1=-4, x3=2-1+4=5, 即在基1,2,3下的坐标为(1,-4,5), =1

11、-42+53,而上题已经求得A()在基1,2,3下的矩阵B为因此A()在基1,2,3下的坐标为9. 求6题中线性变换B的逆变换。解: 6题已经解出B的在基1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T, 3=(0,0,1)T下的矩阵B为因此, B的逆变换在同样基下的矩阵为B-1, 下面求B-1, 对分块矩阵(B|I)作行初等变换:因此因即10. 设R4中线性变换A在一基1, 2, 3, 4下的矩阵为1) 分别求A的值域和核的一个基.2) A可逆吗?解: 任给R4中的一向量, 设其在基1, 2, 3, 4下的坐标向量为X=(x1,x2,x3,x4)T, 则A在同样基下的坐标向量为Y=AX, 为研究

12、A的值域, 可先上式中Y的值域. 将E1=(1,0,0,0)T, E2=(0,1,0,0)T,E3=(0,0,1,0)T,E4=(0,0,0,1)T, 这四个线性无关的向量代入上式, 得到的四个向量1,2,3,4正好是A的各个列向量, 即1=AE1,2=AE2,3=AE3,1=AE3, A=(1,2,3,4), 下面对A做行初等变换来研究它的各个列向量间的线性关系.可见向量组1,2,3为A的各个列向量的极大无关组, 而因此, 矩阵相乘Y=AX中当X取R4中的一切值时, Y的值域为span(1,2,3), 相对应地, A的值域就是span(1, 2, 3, 4)1,(1, 2, 3, 4)2,(

13、1, 2, 3, 4)3)=span(-1+22-34, 2-3+4, 21-2+33+34)现在求A的核, 则考察齐次方程AX=O, 按上面的变换有一个自由变元x4=t为任意常数时,x1=0, x2=-t/2, x3=-t/2, 写成向量形式有这是A的核的所有向量的坐标向量的形式, 因此A的核为.2) 因为A在基1, 2, 3, 4下矩阵A不可逆, 所以A也不可逆.11. 证明: 非零向量是一线性变换A的核中元素当且仅当它是A的属于零特征值的特征向量.证: 假设向量ÎKer(A), 即有A=O=0, 即为A的关于特征值0的特征向量, 此外, 假设为A的关于特征值0的特征向量, 即A

14、=0=O, 则ÎKer(A), 证毕.12. 证明: 如果向量1,2,r是n维线性空间V上的线性变换A的属于特征值0的线性无关的特征向量, r+1,n是A的非零特征值的线性无关的特征向量, (即A可对角化), 则Ker(A)=Span(1,2,r)A(V)=Span(r+1,r+1,n)证: 因为A的不同特征值间的特征向量间线性无关, 因此有1,2,n是n维线性空间V上的n个线性无关的向量, 自然可以做V上的一个基, 则任给ÎV, 其在这组基上的坐标为x1, x2, , xn, 即=x11+x22+xnn, 则A()=A(x11+x22+xnn)=x1A1+x2A2+xrA

15、r+xr+1Ar+1+xnAn= =O+xr+1r+1r+1+xnnnÎSpan(r+1,r+1,n)(1)其中r+1,n为对应特征向量r+1,r+1,n的特征值, 根据假设它们都不为零.反过来, 任给ÎSpan(r+1,r+1,n), 即=yr+1r+1+ynn, 则有这就证明了A(V)=Span(r+1,r+1,n)现证明Ker(A)=Span(1,2,r)假设=x11+x22+xnnÎKer(A), 即A()=O, 按(1)式有xr+1r+1r+1+xnnn=O, 因r+1,r+1,n线性无关, 且r+1,n都不为0, 则必有xr+1=xr+2=xn=0,

16、则=x11+x22+xrrÎSpan(1,2,r), 反过来, 假设有ÎSpan(1,2,r), 即=y11+y22+yrr, 必有A()=A(y11+y22+ynn)=y1A1+y2A2+yrAr=O, 即ÎKer(A).因此有Ker(A)=Span(1,2,r)证毕.13. 求R3上的线性变换A的特征值和特征向量. 这里, A在基1, 2, 3下矩阵为1) 2) 解: 1) 先求A的特征值和特征向量. A的特征多项式为因此A有两个特征值1=-2, 2=3=1, 对于1=-2, 解齐次方程(A+2I)X=O, 对系数矩阵A+2I作行初等变换,有一个自由变元x3=

17、t为任意常数, x1=x2=0, 写成向量形式因此对应于1=2的特征向量为t(0,0,1)T.对于2=3=1, 解齐次方程(A-I)X=O, 对系数矩阵A-I作行初等变换方程有一个自由变元x3=t为任意常数, x1=(3/20)t, x2=-(3/10)t, 写成向量形式, 因此2=3=1的特征向量为t(3/20,-3/10,1)T, 综上所述, A的特征值为1=-2, 2=3=1, 其中1=-2对应的特征值向量为t3,2=3=1对应的特征向量为2) A的特征多项式为A的特征值为1=0, 2=3=1, 对于1=0, 解齐次方程AX=O, 对A作行初等变换方程有一个自由变元x3=t为任意常数, 则x1=x2=t, 可知t(1,1,1)T为1=0对应的特征向量.对于2=3=1, 解齐次方程(A-I)X=O, 对A-I作行初等变换方程有两个自由变元x2=s, x3=t,