考研网校线代强化讲义12章

1、第一章 行列式线性代数的特点是这些内容联系非常紧密。不但后面的知识用到前面的知识，而且有时前面的知识也用到后面的一些结论。因此，把它们串在一起学习，同学们会发现线性代数是1条主线，2种运算，3个工具。 即：一条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初等行（列）变换；三个工具是行列式，矩阵，向量（组）。行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。【大纲要求】

2、了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：1.判定方阵是否可逆以及应用公式求逆矩阵；2.判定n个n维向量的线性相关性；3.计算矩阵的秩；4.讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；5.求方阵的特征值；6.判定二次型及实对称矩阵的正定性。同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。相应知识点精讲一、行列式的定义1.行列式

3、的形式：个数排列成n行、n列，组装成一个正方形，两边画两根竖线，即形如：，称为一个n阶行列式。其中数称为行列式的元素，横排的一行元素称为行列式的第i行，自上而下计序，共有n行。竖排的一列元素称为行列式的第j列，自左向右计序，共有n列。自左上角到右下角倾斜的一列元素称为行列式的主对角线，自右上角到左下角倾斜的一列元素称为行列式的次对角线或副对角线。行列式的值：（1）一阶行列式的值规定即为其元素本身，即。（2）二阶行列式，即二阶行列式的值等于其主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积。我们常常称之为二阶行列式的对角线法则。【例1】计算下列行列式的值：。答疑编号：21201101针对该题提问【解】。

4、行列式的定义：即：个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。一共有项，一半带负号，一半带正号。其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。我们知道n级排列一共有种。五个特殊行列式的值（1）如果一个行列式中有一行或一列的元素全为0，则此行列式的值为0。（2）如果一个行列式中有两行（两列）所有对应元素都成比例，则该行列式等于0.特别地，如果一个行列式中有两行（两列）相同，则该行列式等于0。（3）形如的行列式称为上三角形行列式，其特点是主对角线下面的元素全为0。上三角形行列式的值等于其主对角线上所有元素的乘积，即： （4）形如的行列式称为下三角形行列式，其特点是主对角线上面的元

5、素全为0。下三角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即：（5）形如的行列式称为对角形行列式，其特点是主对角线上面和下面的元素全为0。对角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即：【例2】计算下列行列式的值：（1）答疑编号：21201102针对该题提问（2）答疑编号：21201103针对该题提问（3）答疑编号：21201104针对该题提问解：（1）=0（2）=40（3）=0二、行列式的性质转置性质：例如：设行列式，则其转置行列式，显然。性质2.互换性质：例如：已知，显然，数乘性质性质4.倍加性质：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新

6、的行列式的值等于原行列式的值。【例3】计算下列行列式的值：。答疑编号：21201105针对该题提问解：本题可分成三步进行计算。第一步：利用性质4可知，将原行列式的第2列的所有元素的-1倍，加到第四列的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即。第二步：再将新行列式的第2行的所有元素的-1倍，加到第四行的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即。第三步：将新行列式的第1行的所有元素的-1倍，加到第四行的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即（因为，如果一个行列式中有一行或一列的元素全为0，则此行列式的值为0）综上所述，原行列式。加法性质抽象的性质，如：设

7、【例4】计算下列行列式的值：。答疑编号：21201106针对该题提问【解】分析发现，第二列元素均为三位数，但均接近于百位整数。所以利用性质5计算比较方便。典型例题剖析行列式按行、按列展开公式为【例5】n阶行列式。答疑编号：21201107针对该题提问解：按第一列展开可得【考点二】范德蒙行列式答疑编号：21201108针对该题提问解：根据范德蒙行列式得：【例7】计算四阶行列式（其中均不为0）答疑编号：21201109针对该题提问解：把第一列提出，第二列提出，第三列提出，第四列提出，D=【三对角形【例8】五阶行列式的值为。答疑编号：21201110针对该题提问递推公式，移项得可得：=箭形可用主对角

8、线上的元素化其为上（下）三角形行列式进行计算答疑编号：21201201针对该题提问解：第二列乘以加到第一列上得第三列乘以加到第一列上得：最后一列乘以加到第一列上得简化行列式运算的两个重要公式（2）。【例10】四阶行列式的值等于（）（A）（B）（C）（D）答疑编号：21201202针对该题提问解：=正确答案：D【考点六】若行列式中含有变量x，则该行列式展开后成为关于x的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题。【例11】设多项式 则p(x)的次数至多是（）。（A）1（B）2 （C）3（D）4答疑编号：21201203针对该题提问解：正确答案：A【考点七】计算代数余子式线性组合的值：行列式元素的余

9、子式和代数余子式。行列式元素的代数余子式的性质和特点：（1）和的大小无关；（2）（称为行列式按第i行展开）。（称为行列式按第j列展开）代数余子式的这个性质称为行列式的按行按列展开定理或行列式的按行按列展开公式.显然，行列式可按任何一行展开，也可按任何一列展开。 （3）。这表示行列式一行的元素分别与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为0。 （4）利用行列式按行按列展开公式计算代数余子式的代数和的方法：替换法。所谓替换法实质上就是将行列式按行按列展开公式反过来使用，我们去掉代数余子式所在的第i行的所有元素，换成代数余子式前面的系数，其余元素不变，按其原来的位置关系组装成一个新的n阶行列式，即。【

10、例12】计算行列式中第一行各元素的余子式和代数余子式。答疑编号：21201204针对该题提问，【例13】设4阶行列式，求。答疑编号：21201205针对该题提问=0【例14】已知5阶行列式，求：。答疑编号：21201206针对该题提问解：把第四行展开得：由此可得方程：和组成方程组根据消元方可算出：第个方程左右两端乘以2倍然后得【例15】设A是三阶可逆矩阵，的特征值为1，2，3，求的代数余子式之和：答疑编号：21201207针对该题提问解：A为可逆矩阵本题用到定理：设A有特征值，则特征值为1，2，3，的行列式1×2×36设伴随矩阵设特征值为矩阵行列式的性质（1）（2）（3）（

11、4）设A为n阶可逆矩阵，则（5）利用行列式加法运算的性质：设为n维列向量，为n维行向量，则，【例16】设A为3×3矩阵，把A按列分块为，其中是A的第j列，则。答疑编号：21201208针对该题提问解：根据考点八第五条性质得【例17】设n阶矩阵，其中为n维列向量。已知行列式，求行列式的值。答疑编号：21201209针对该题提问解：根据行列式加法的性质得：【例18】若A是n阶方阵，且，证明。答疑编号：21201210针对该题提问解：【例19】设A、B均为n阶矩阵，则=。答疑编号：21201211针对该题提问第二章矩阵矩阵主要是研究解矩阵方程，如矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用

12、。学习线性代数的目标之一，就是要学会利用矩阵这一工具去刻画你所面对的问题，并能利用矩阵的运算和性质去解决问题。 矩阵考试的重点是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵，矩阵的秩。以计算题为主，技巧性强。【大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的幂；方阵乘积的行列式；矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵及其运算；掌握矩阵的秩。【大纲要求】掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘法、矩阵的转置、逆矩阵、方阵的行列式等。要掌握它们的运算规律、逆矩阵的性质

13、及矩阵可逆的充分必要条件，会用各种方法求出矩阵的逆矩阵，矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各种问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题。掌握矩阵的秩。相应知识点精讲一、矩阵的定义1.矩阵的概念：矩阵就是一张长方形的数表。和行列式类似地把数表中横的称为行、竖的称为列. 我们把m×n个数排列成m行、n列，组装成一个长方形，两边画两根弧线，即形如我们称是一个m行、n列的矩阵.其中数称为矩阵的元素，横排的一行元素称为矩阵的第i行，自上而下计序，共有m行。竖排的一列元素称为矩阵的第j列，自左向右计序，共有n列。同型矩阵如果其相同位置上的元素均相等，即（i

14、=1，2，m，j=1，2，n）则称矩阵A=B。常见的特殊矩阵：（2）仅有一行的矩阵称为一个行矩阵或n维行向量。仅有一列的矩阵称为一个列矩阵或n维列向量，也常写成的形式。（3）行数和列数均相等的n行、n列的正方形矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。方阵A中的元素叫做该方阵的主对角线元素，所在的位置叫做方阵A的主对角线，只有n阶方阵才有主对角线，一般的行数和列数不相等的m行、n列的矩阵没有主对角线的说法，当然也没有上（下）三角形矩阵的说法。（4）规定只有一行一列的一阶方阵，只有一阶方阵才能等同于一个数。（5）形如的方阵称为上三角形矩阵，其特点是主对角线下面的元素全为0。 形如的方阵称为下三角形矩阵，其特点

15、是主对角线上面的元素全为0。形如的方阵称为对角形矩阵，其特点是主对角线上面和下面的元素全为0。单位矩阵：主对角线上元素全是1，其余元素均为0的n阶方阵，叫做n阶单位矩阵，记为E（若需强调其阶数时，记为En），即（7）对称矩阵：满足AT=A的n阶方阵A，称为n阶对称矩阵。n阶方阵A为对称矩阵。4.若A为n阶方阵，则有意义,则将n阶方阵A的元素按原有位置不变所构成的行列式称为方阵A的行列式。矩阵与行列式的区别（3）两个矩阵相等与两个行列式相等的含义也不一样.前者需要两个矩阵有相同的行数和列数，且对应位置上的元素要求分别相等，而两个行列式相等就是其值相等。二、矩阵的运算 对于矩阵每一种运算一定要搞清

16、三点：什么条件下可以运算；运算的结果是什么；如何运算？设=矩阵的加法运算注1：A，B可以作加法的条件是A，B为同型的 注2：=称为B的负矩阵，定义：ABA+（B）矩阵的数乘运算矩阵的乘法运算：其中：；即：等于第1个矩阵的第i行和第2个矩阵的第j列的对应元素乘积之和。注1：A，B可以作乘法的条件是第1个矩阵列数=第2个矩阵行数（称为相配的）注2：矩阵的乘法运算和数的乘法运算不同，一定不能和数字运算搞混：（3）矩阵乘法运算性质：矩阵乘法没有交换律所以。矩阵乘法不满足消去律例如：因为所以，且，但是.若AB=0，不能推出A=0或B=0。矩阵的转置方阵的行列式但是：，方阵的幂和矩阵多项式设A为方阵，若P

17、（x）是x的n次多项式，则称为A的矩阵多项式.这里要特别注意常数项，一定要在P（A）中变为乘单位矩阵E。注意：一般只有A，B可交换时，才有但当时不能推出A，B可交换.典型例题剖析【考点九】计算n阶矩阵的高次幂是一种重要题型，包括：（1）计算一般矩阵的高次幂；（2）计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次幂；（3）计算分块对角矩阵的高次幂：设，则（4）计算能相似对角化的矩阵的高次幂矩阵分解举例：设规律总结2.如果n阶方阵A中每行对应元素成比例，则A可分解成的形式.3.设，其中均为n维行向量，即，则非零阵A可表为的形式的充要条件为：秩A=1。注意：与相关的问题，是考研数学中常见题型。【例

18、3】已知，设，则=。答疑编号：21202101针对该题提问解：相应知识点精讲三、方阵的伴随矩阵与可逆矩阵方阵的伴随矩阵其中：为方阵A的行列式的的代数余子式。注：1.在中第i行的代数余子式在伴随矩阵中是第i列2.求的代数余子式时，不要忘记所带的正负号3.的代数余子式与元素本身的大小没有关系。伴随矩阵的性质方阵的逆矩阵注2：方阵A的逆矩阵B和方阵A对于矩阵的乘法可以交换。注3：方阵A和方阵B是互为逆矩阵的。注4：方阵A的逆矩阵是唯一的。注5：方阵A可逆（此时称方阵A为非奇异矩阵，若=0，则称方阵A为奇异矩阵）注6：若AB=E（或BA=E ，则注7：逆矩阵定义中的条件A、B是n阶方阵，必须满足. 如

19、果只说AB=E，不能说A可逆。例如：两个长方形矩阵相乘可以是单位矩阵。n阶方阵A，B的逆矩阵和伴随矩阵满足下面运算规律：（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（k为常数，A为n阶矩阵，n2）（11）（A为n阶矩阵，n2）（12）（A为任n阶矩阵，n2）（13）（14）（15）设A是n阶矩阵（n2），则秩n阶方阵A的逆矩阵和伴随矩阵的相互转化两个特殊矩阵的逆矩阵（2）如果均不为0，则对角矩阵可逆，其逆矩阵为。逆矩阵的求法（其中）（2）对角矩阵的逆矩阵：如果均不为0，则对角矩阵可逆，其逆矩阵为。（3）次对角矩阵的逆矩阵：如果均不为0，则次对角矩阵可逆，其逆矩阵为。（4）伴随矩阵法

20、：设A为n阶方阵。当时，即。（5）初等行变换法：求逆矩阵方法：用初等变换（不能行、列变换混用），矩阵A可逆的充要条件（2）（3）秩A=n（A为n阶方阵）（4）A与同阶单位矩阵E等价（5）A可以表示成若干个初等矩阵的乘积（6）齐次线性方程组AX=0只有零解（7）对任意n维列向量b，非齐次线性方程组AX=b有唯一解。（8）A的行（列）向量组线性无关。（9）A的特征值均不为0典型例题剖析【考点十】逆矩阵与伴随矩阵的思维定势：（1）题设条件与有关，则立即联想到用公式（2）若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析（3）若题设n阶方阵A满足f（A）=0 ，要证aA+bE可逆

21、，则先分解出因子aA+bE再说。【例4】设A为n阶非零矩阵，证明当时，A可逆。答疑编号：21202102针对该题提问解：又，不妨设A可逆【例5】设n阶可逆矩阵A中每行元素之和均为常数a。证明：（1）常数a0答疑编号：21202103针对该题提问（2）的每行元素之和均为。答疑编号：21202104针对该题提问解：（1）A为可逆矩阵A每行元素之和均为a=又A为可逆矩阵a0。反证之假设a=0，a0（2）每行元素之和都均为【例6】设A、B均为n阶方阵，且AB=A-B。证明：（1）；答疑编号：21202105针对该题提问（2）AB=BA。答疑编号：21202106针对该题提问解：（1）AB=A-B把它移

22、项得：AB+B-A=0变形得（A+E）（EB）E（2）（A+E）（EB）=（E-B）（A+E）=E展开后得到A+E-AB-B=A-BA-B+EAB=BA【例7】设A是n阶方阵，且，则（）（A）A不可逆，且 不可逆；（B）A可逆，但E+A不可逆；（C）及均可逆；（D）A不可逆，且必有答疑编号：21202201针对该题提问解：A答案错误：B答案错误：D答案错误：令，答案：C【例8】设矩阵A、B满足，其中，E为单位矩阵，为A的伴随矩阵，则B=_。答疑编号：21202202针对该题提问解：|A|BA=2ABA-8AA可逆-2B=2AB-8EAB+B=4E（A+E）B=4E 【例9】设矩阵满足，其中是A

23、的伴随矩阵，为A的转置矩阵。若为三个相等的正数，则为（）A.B.3C.D.答疑编号：21202203针对该题提问解：，（由前面例4知，A0，当时，A可逆）A0，且A是可逆阵，|A|0答案：A【考点十一】分块矩阵的运算：设A、B均为可逆方阵，则 【例10】设A、B为n阶矩阵，分别为A、B对应的伴随矩阵，分块矩阵，则C的伴随矩阵（）。（A）（B）（C）（D）答疑编号：21202204针对该题提问解：第一种方法，验证法：验证（D）：=|A|B|E第二种方法，加强条件法：设A，B可逆 相应知识点精讲四、初等变换与初等矩阵初等行变换初等矩阵（1）对调两行 （）（2）用数乘以某一行的所有元素（）（3）把某

24、一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（）， 对应初等矩阵为初等列变换初等矩阵（1）对调两列（）（2）用数乘以某一列的所有元素（）（3） 把某一列的所有元素的k倍加到另一列对应的元素上去（）对应初等矩阵为功能：对矩阵施行一次初等行变换，就相当于在的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对矩阵施行一次初等列变换，就相当于在的右边乘以相应的n阶初等矩阵性质：初等矩阵均可逆，而且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵=，=，= 典型例题剖析【考点十二】初等矩阵与初等变换：对应于三种初等变换的三种初等矩阵为（2）：非零常数k乘E的i行或i列得到；初等矩阵的逆矩阵（2）（3）初等矩阵P左乘A所得PA就是A作了一次与P

25、同样的初等行变换初等矩阵P右乘A所得AP就是A作了一次与P同样的初等列变换答疑编号：21202205针对该题提问解：A可逆，|A|0又|B|=|EijA|=|-A|0B可逆【例12】设，其中A可逆，则等于（）（A）（B）（C）（D）答疑编号：21202206针对该题提问解：交换A第1、4列，再交换A的第2、3列得到矩阵B，对左右两端取逆，得到对左右两端取逆，得到所以选C。相应知识点精讲五、矩阵的秩由矩阵子式的概念可知（2）对于阶方阵，是的唯一一个n阶子式。（3）在矩阵中，因为矩阵的k阶子式是一个k阶行列式，所以子式的阶数有限制，。（4）不等于零的k阶子式称为k阶非零子式。由矩阵的秩的概念可知（

26、2）规定零矩阵的秩为0。所以，。（3）由于非零矩阵至少有一个一阶子式不为零，所以矩阵。（4）设A为n阶方阵，如果，则称A为n阶满秩矩阵。因此，A为n阶满秩矩阵为可逆矩阵。矩阵秩的性质（2）秩A=秩。（3）设A、B均为m×n矩阵，则。（4）（6）设A为m×n矩阵，B为n×P矩阵，若AB=0，则。4.关于矩阵的秩还要会说两句话：（1）什么叫秩小于n？例如，中3阶子式全为0且A中3阶以上的子式也全为0。（2）什么叫秩大于n？例如，中有一个2阶子式不为0。5.伴随矩阵的秩：设A是n阶矩阵n2，则。（1）阶梯形矩阵：若矩阵满足其非零行（即元素不全为零的行）的第一个非零元素的

27、列下标随着行标的递增而严格增大，且该矩阵若有全为零的行必排在非零行的下方，则称该矩阵为（行）阶梯形矩阵。形象地说，如果可以从一个矩阵的左上角开始向右下方向画一根折线，此折线由高度为一行的向下垂直线段和宽度不限的向右水平线段组成，且在垂直线段右边紧邻的元素均不为0，在此折线下方的元素全都为0，则称该矩阵为（行）阶梯形矩阵。任何矩阵都可通过初等行变换化成（行）阶梯形矩阵。把一个矩阵通过初等行变换化成（行）阶梯形矩阵是线性代数中各类计算题中经常使用的基本运算，务必熟练掌握。（2）定义法求矩阵的秩：通过计算各阶子式的值，则由定义，在矩阵的所有不等于 的子式中，阶数最高的子式的阶数，就是矩阵的秩。（3）初等行变换法求矩阵的秩：求矩阵的秩，既可用初等行变换，也可用初等列变换求之。一般常将所求秩的矩阵用初等行变换化为（行）阶梯形矩阵，因初等变换不改变矩阵的秩，所以矩阵的秩等于矩阵的秩，而矩阵的秩等于非零行向量的个数，所以矩阵的秩等于（行）阶梯形矩阵矩阵中非零行向量的个数。典型例题剖析【例13】若矩阵A-E和B-E的秩分别为和，则矩阵AB-E的秩不大于p+q，其中E是单位阵。答疑