初中数学中考中考压轴题专题训练

1、精选优质文档-倾情为你奉上中考中考压轴题专题训练一解答题（共30小题）1（2014本溪一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知圆心为O，EF=CD=16厘米，则O的半径为多少厘米？考点：垂径定理的应用；勾股定理菁优网版权所有分析：如图，过点O作OMAD于点M，连接OF，设OF=x，则OM是16x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可解答：解：过点O作OMAD于点M，连接OF，设OF=x，则OM=16x，MF=8，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（16x）2+82=x2解得：x=10答：O的半径为10厘米点评：本题考查了垂径定理及

2、勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形2（2014东台市二模）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PFAE于F，设PA=x（1）求证：PFAABE；（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与ABE相似，试求x的值；（3）试求当x取何值时，以D为圆心，DP为半径的D与线段AE只有一个公共点考点：相似三角形的判定；正方形的性质；直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；分类讨论分析：（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当PEF=

3、EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；当PEF=AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰APE再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解（3）此题首先应针对点P的位置分为两种大情况：点P在AD边上时或当点P在AD的延长线上时同时还要特别注意D与线段AE只有一个公共点，不一定必须相切，只要保证和线段AE只有一个公共点即可故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段AE外的情况即是x的取值范围解答：（1）证明：正方形ABCD，ADBC（1分）ABE=90°PAF=AEB（1分）又PFAE，PFA=ABE=90°（1分）

4、PFAABE（2）解：情况1，当EFPABE，且PEF=EAB时，则有PEAB（1分）四边形ABEP为矩形（1分）PA=EB=2，即x=2（2分）情况2，当PFEABE，且PEF=AEB时，PAF=AEB，PEF=PAFPE=PAPFAE，点F为AE的中点（1分），（1分），即，PE=5，即x=5（2分）满足条件的x的值为2或5（3）解：作DHAE，则D与线段AE的距离d即为DH的长，可得d=当点P在AD边上时，D的半径r=DP=4x；当点P在AD的延长线上时，D的半径r=DP=x4；如图1时，D与线段AE相切，此时d=r，即，；如图2时，D与线段AE相切，此时d=r，即，；如图3时，DA=P

5、D，则PA=x=2DA=8，如图4时，当PD=ED时，DE=2，PA=PD+AD=4+2，当或或8x4+2时，D与线段AE只有一个公共点（3分）点评：综合运用相似三角形的判定和性质特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外3（2014鄄城县模拟）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：说明：方案一：图形中的圆过点A、B、C；方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率=×100%发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点你认为小明的这个发现是否正确，

6、请说明理由（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点考点：相似三角形的判定与性质；几何体的展开图；勾股定理；圆周角定理菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题；数形结合分析：（1）连接AC、BC、AB，由AC=BC=，AB=，根据勾股定理的逆定理，即可求得BAC=90°，又由90°的圆周角所对的弦是直径，则可证得AB为该圆的直径；（2）首先证得ADEEHF与ADEACB，即可

7、求得AD与BC的长，求得ABC的面积，即可求得该方案纸片利用率；（3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案解答：解：发现：（1）小明的这个发现正确理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，AC=BC=，AB=2AC2+BC2=AB2，BCA=90°，AB为该圆的直径解法二：如图二：连接AC、BC、AB易证AMCBNC，ACM=CBN又BCN+CBN=90°，BCN+ACM=90°，即BCA=90°，AB为该圆的直径（2）如图三：DE=FH，DEFH，AED=EFH，ADE=EHF=90°，ADEEHF（ASA），AD=EH=1DEBC，

8、ADEACB，=，=，BC=8，SACB=16该方案纸片利用率=×100%=×100%=37.5%；探究：（3）过点C作CDEF于D，过点G作GHAC，交BC于点H，设AP=a，PQEK，易得APQKQE，CEF是等腰三角形，GHL是等腰三角形，AP：AQ=QK：EK=1：2，AQ=2a，PQ=a，EQ=5a，EC：ED=QE：QK，EC=a，则PG=5a+a=a，GL=a，GH=a，解得：GB=a，AB=a，AC=a，SABC=×AB×AC=a2，S展开图面积=6×5a2=30a2，该方案纸片利用率=×100%=×100%

9、=49.86%点评：此题考查了圆周角的性质，相似三角形与全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识此题综合性很强，难度较大，解题时要注意数形结合思想的应用4（2014江西模拟）某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动活动情境：如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P所得结论：当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：甲：AEF的边AE=3cm，EF=5cm；乙：FDM的周长为16c

10、m；丙：EG=BF你的任务：（1）填充甲同学所得结果中的数据；（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有专题：压轴题；探究型分析：（1）根据图形翻折变换的性质可设AE=x，则EF=8x，利用勾股定理即可求出AE的长，进而求

11、出EF的长；（2）根据图形翻折变换的性质可得到MFE=90°，由相似三角形的判定定理可得出AEFDFM，再由相似三角形的对应边成比例即可得出FMD各边的长，进而求出其周长；（3）设AF=x，利用勾股定理可得出AE=4，同理可知AEFDFM，再由相似三角形的性质可得出FMD的周长，由正方形的性质及全等三角形的判定定理可知AFBKEG，进而可得出四边形AEGD的面积，由其面积表达式即可求出其面积的最大值解答：解：（1）AE=3cm，EF=5cm；设AE=x，则EF=8x，AF=4，A=90°，42+x2=（8x）2，x=3，AE=3cm，EF=5cm；（2）如答图1，MFE=9

12、0°，DFM+AFE=90°，又A=D=90°，AFE=DMF，AEFDFM，又AE=3，AF=DF=4，EF=5，FMD的周长=4+=16；（3）乙的结果不会发生变化理由：如答图2，设AF=x，EF=8AE，x2+AE2=（8AE）2，AE=4，同上述方法可得AEFDFM，CAEF=x+8，FD=8x，则，=16丙同学的结论还成立证明：如答图2，B、F关于GE对称，BFEG于P，过G作GKAB于K，FBE=KGE，在正方形ABCD中，GK=BC=AB，A=EKG=90°，AFBKEG，BF=EG由上述可知AE=4，AFBKEG，AF=EK=x，AK=A

13、E+EK=AF+AE=4+x，S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4+4+x）=S=，（0x8）当x=4，即F与AD的中点重合时S最大，S最大=40点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质、图形翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及二次函数的最值问题，涉及面较广，难度适中5（2014许昌二模）将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点 F处，FN与DC交于点M，连接BF与EG交于点P（1）当点F与AD的中点重合时（如图1）：AEF的边AE=3cm，EF=5cm，线段EG与BF的大小

14、关系是EG=BF；（填“”、“=”或“”）求FDM的周长 （2）当点F在AD边上除点A、D外的任意位置时（如图2）：试问第（1）题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化？请证明你的结论；当点F在何位置时，四边形AEGD的面积S最大？最大值是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）根据直角三角形勾股定理即可得出结论，利用三角形相似对边比例关系计算出三角形各边长即可计算出结果，（2）根据题意，利用三角形全等即可证明结论，根据勾股定理得出AE，然后利用全等三角形得出AF、AK，即可得出结果解答：解：

15、（1）AE=3cm，EF=5cm；EG=BF，设AE=x，则EF=8x，AF=4，A=90°，42+x2=（8x）2，x=3，AE=3cm，EF=5cm，EG=BF，解：如图1，MFE=90°，DFM+AFE=90°，又A=D=90°，AFE=DMF，AEFDFM，又AE=3，AF=DF=4，EF=5，FMD的周长=4+=16；（2）EG=BF不会发生变化，理由：证明：如图2，B、F关于GE对称，BFEG于P，过G作GKAB于K，FBE=KGE，在正方形ABCD中，GK=BC=AB，A=EKG=90°，AFBKEG（AAS），EG=BF，如图2

16、，设AF=x，EF=8AE，x2+AE2=（8AE）2，AE=4，AFBKEG，AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4+x，（10分）S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4+4+x）=，S=，（0x8）当x=4，即F与AD的中点重合时，S最大=40（12分）点评：本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定和性质，需要注意的是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，难度较大6（2013汕头）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C（1）设RtCBD的面积为S1，RtBFC

17、的面积为S2，RtDCE的面积为S3，则S1=S2+S3（用“”、“=”、“”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明考点：相似三角形的判定；矩形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）根据S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，即可得出答案（2）根据矩形的性质，结合图形可得：BCDCFBDEC，选择一对进行证明即可解答：（1）解：S1=BD×ED，S矩形BDEF=BD×ED，S1=S矩形BDEF，S2+S3=S矩形BDEF，S1=S2+S3（2）答：BCDCFBDEC证明BCDDEC；证明：EDC+BDC=90°，CBD+B

18、DC=90°，EDC=CBD，又BCD=DEC=90°，BCDDEC点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形的判定定理，最经常用的就是两角法，此题难度一般7（2013巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似ADFDEC；（2）利用ADFDEC，可以求出线段DE的长度；然后在RtADE中，利用勾股定

19、理求出线段AE的长度解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四变形，ABCD，ADBC，C+B=180°，ADF=DECAFD+AFE=180°，AFE=B，AFD=C在ADF与DEC中，ADFDEC（2）解：四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=8由（1）知ADFDEC，DE=12在RtADE中，由勾股定理得：AE=6点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错8（2013株洲）已知在ABC中，ABC=90°，AB=3，BC=4点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线

20、段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P（1）当点P在线段AB上时，求证：AQPABC；（2）当PQB为等腰三角形时，求AP的长考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）由两对角相等（APQ=C，A=A），证明AQPABC；（2）当PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示由三角形相似（AQPABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP解答：（1）证明：PQAQ，AQP=90

21、°=ABC，在APQ与ABC中，AQP=90°=ABC，A=A，AQPABC（2）解：在RtABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5QBP为钝角，当PQB为等腰三角形时，（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示QBP为钝角，当PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，由（1）可知，AQPABC，即，解得：PB=，AP=ABPB=3=；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示QBP为钝角，当PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQBP=BQ，BQP=P，BQP+AQB=90°，A+P=90°，AQB=A，BQ=AB，AB=BP，点B为

22、线段AP中点，AP=2AB=2×3=6综上所述，当PQB为等腰三角形时，AP的长为或6点评：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大第（2）问中，当PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解9（2013自贡）将两块全等的三角板如图摆放，其中A1CB1=ACB=90°，A1=A=30°（1）将图中的A1B1C顺时针旋转45°得图，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BEP1B时，求P1BE

23、面积的最大值考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）先判断B1CQ=BCP1=45°，利用ASA即可证明B1CQBCP1，从而得出结论（2）作P1DCA于D，在RtADP1中，求出P1D，在RtCDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度（3）证明AP1CBEC，则有AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，得出SP1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可解答：（1）证明：B1CB=45°，B1CA1=90°，B1CQ=BCP1=45°，在B1CQ和BCP1中，B

24、1CQBCP1（ASA），CQ=CP1；（2）作P1DCA于D，A=30°，P1D=AP1=1，P1CD=45°，=sin45°=，CP1=P1D=，又CP1=CQ，CQ=；（3）P1BE=90°，ABC=60°，A=CBE=30°，AC=BC，由旋转的性质可得：ACP1=BCE，AP1CBEC，AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，在RtABC中，A=30°，AB=2BC=2，SP1BE=×x（2x）=x2+x=（x1）2+，故当x=1时，SP1BE（max）=点评：本题考查了相似三角形的判定

25、与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度10（2013呼和浩特）如图，AD是ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且B=CAE，EF：FD=4：3（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cosAED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）由AD是ABC的角平分线，B=CAE，易证得ADE=DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得

26、EFAD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；（2）首先连接DM，设EF=4k，DF=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案；（3）易证得AECBEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2=k（10+5k），解此方程即可求得答案解答：（1）证明：AD是ABC的角平分线，1=2，ADE=1+B，DAE=2+3，且B=3，ADE=DAE，ED=EA，ED为C直径，DFE=90°，EFAD，点F是AD的中点；（2）解：连接DM，设EF=4k，DF=3k，则ED=5k，ADEF=AEDM，DM=k，ME=k，cosAED=

27、；（3）解：B=3，AEC为公共角，AECBEA，AE：BE=CE：AE，AE2=CEBE，（5k）2=k（10+5k），整理得：25k2=50k，k0，k=2，CD=k=5点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用11（2013成都）如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，A=C=90°，BDBE，AD=BC（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A、B两点

28、不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长（直接写出结果，不必写出解答过程）考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题分析：（1）根据同角的余角相等求出1=E，再利用“角角边”证明ABD和CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；（2）（i）过点Q作QFBC于F，根据BFQ和BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根据ADP和FPQ相似可得=，然后整理得到（APBF）（5AP）=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得=，从而得

29、解；（ii）判断出DQ的中点的路径为BDQ的中位线MN求出QF、BF的长度，利用勾股定理求出BQ的长度，再根据中位线性质求出MN的长度，即所求之路径长解答：（1）证明：BDBE，1+2=180°90°=90°，C=90°，2+E=180°90°=90°，1=E，在ABD和CEB中，ABDCEB（AAS），AB=CE，AC=AB+BC=AD+CE；（2）（i）如图，过点Q作QFBC于F，则BFQBCE，=，即=，QF=BF，DPPQ，APD+FPQ=180°90°=90°，APD+ADP=180&

30、#176;90°=90°，ADP=FPQ，又A=PFQ=90°，ADPFPQ，=，即=，5APAP2+APBF=3BF，整理得，（APBF）（AP5）=0，点P与A，B两点不重合，AP5，AP=BF，由ADPFPQ得，=，=；（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是BDQ的中位线MN由（2）（i）可知，QF=AP当点P运动至AC中点时，AP=4，QF=BF=QF×=4在RtBFQ中，根据勾股定理得：BQ=MN=BQ=线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件1=E

31、是解题的关键，（2）（i）根据两次三角形相似求出AP=BF是解题的关键，（ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键12（2013阜宁县二模）如图，菱形ABCD的边长为20cm，ABC=120°动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿ABC的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿AC的路线向点C运动当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N当t为何值时，点P、M

32、、N在一直线上？当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题；存在型；分类讨论分析：（1）此问需分两种情况，当0t5及5t10两部分分别讨论得PQAC（2）由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM=AM，代入求得t的值假设存在这样的t，使得PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论解答：解：（1）若0t5，则AP=4t，AQ=2t则=，又AO=10，AB=20，=又C

33、AB=30°，APQABOAQP=90°，即PQAC当5t10时，同理，可由PCQBCO得PQC=90°，即PQAC在点P、Q运动过程中，始终有PQAC（2）如图，在RtAPM中，PAM=30°，AP=4t，AM=在APQ中，AQP=90°，AQ=APcos30°=2t，QM=AC2AQ=204t由AQ+QM=AM得：2t+204t=，解得t=当t=时，点P、M、N在一直线上存在这样的t，使PMN是以PN为一直角边的直角三角形设l交AC于H如图1，当点N在AD上时，若PNMN，则NMH=30°MH=2NH得204t=2

34、15;，解得t=2如图2，当点N在CD上时，若PMPN，则HMP=30°MH=2PH，同理可得t=故当t=2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，综合性强，较为复杂，难度较大13（2013崇明县一模）如图，直角梯形ABCD中，ABDC，DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线CDA向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与折线ACB的交点为Q点M运动的时间为t（秒）（1）当AM=0.5时，求线段QM的长；（2）点M在线

35、段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由（3）若PCQ的面积为y，请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围考点：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题；动点型分析：（1）利用直线平行得出RtAQMRtCAD，再利用对应边的比值相等求出即可；（2）点M在线段AB上运动时，以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，可利用三边关系得出；（3）分当0t2时与当6t2时，进行讨论得出符合要求的答案解答：解：（1）ABDC，RtAQMRtCAD即，QM=1（2）根据题意可得当0t2时，以C、P、Q为顶点可

36、以构成三角形为直角三角形，故有两种情况：当CPQ=90°时，点P与点E重合，此时DE+CP=CD，即t+t=2，t=1，当PQC=90°时，如备用图1，此时RtPEQRtQMA，由（1）知，EQ=EMQM=42t，而PE=PCCE=PC（DCDE）=t（2t）=2t2，；当2t6时，可得CD=DP=2时，DCP=45°，可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，此时t=4，综上所述，t=1或或4；（3）如图1，当0t2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E由（1）可得即，QM=2tQE=42tSPQC=PCQE=t2+2t，即y=t2+2t，当6t2时，

37、如图3，过点C作CFAB交AB于点F，交PQ于点HPA=DADP=4（t2）=6t由题意得，BF=ABAF=4CF=BF，CBF=45°，QM=MB=6t，QM=PA四边形AMQP为矩形PQABCHPQ，HF=AP=6tCH=ADHF=t2，SPQC=PQCH=，即y=，综上所述y=t2+2t（0t2），或y=（2t6）点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直角三角形的判定等知识，题目综合性较强，分类讨论时要考虑全面，根据t的取值范围进行讨论是解决问题的关键14（2013黄冈四月调考）如图，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为，tanABO=3直线OP交AB于

38、N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t求：（1）分别写出A、C、D、P的坐标；（2）当t为何值时，ANO与DMR相似？（3）HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；二次函数的最值；正方形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）根据三角函数即可求得OA，OB的长，即可得到A则坐标，C的坐标，进而求得D，P的坐标；（2）分MDR=45°和DRM=45°两种情况求得t的值；（3）分0t4

39、和t4两种情况求得函数解析式，然后分当CRAB时，当ARBC时，当BRAC三种情况求得t的值，进而求得函数的最大值解答：解：（1）A（0，3）C（4，1），D（3，4），P（2，2）（2）过点N作NEAO，于点E，过点A作AFMS于点F，MSx轴于点S，由（1）可得：B（1，0），直线AB的解析式为：y=3x+3；直线OP的解析式为：y=x，联立得，N（，），直线CD的解析式是：y=3x+13，解方程组：，解得：则M的坐标是：（，），ON=，OM=，AD2+DM2=AF2+MF2，10+MD2=（）2+（）2，DM=，AN=当MDR=45°时，AON=45°，MDR=AON

40、，ANDM，ANO=DMP，ANO与DMR相似，则ANORMD，即=，解得：MR=，则OR=OMMR=2t=2，同理可得：当DRM=45°时，t=3，ANO与DMR相似，综上可知：t=2或3时当ANO与DMR相似；（3）R速度为，H速度为1，且ROH=45°，tanROH=1，RH始终垂直于x轴，RH=OH=t，设HCR的边RH的高为h，h=|4t|SHCR=ht2=|t2+4t|，S=t2+2t（0t4）；S=t22t（t4）；以A、B、C、R为顶点的梯形，有两种可能：1顶边和底边分别为BC、AR，此时BCAR延长AD，使其与OM相交于点R，AD的斜率=tanBAO=，直

41、线AD为：y=+3R坐标为（4.5，4.5），此时四边形ABCR为梯形为梯形，t=4.52顶边、底边分别为CR、AB，此时CRAB，且R与M重合CD的斜率=3，且直线CD过点C，直线CD为：y1=3（x4），y=3x+13，OM与CD交于点M（即R），M为（，），此时四边形ABCR为梯形，t=，当CRAB时，t=，S=，当ARBC时，t=，S=，当BRAC时，t=，S=（3）分两种情况：一、0t4，H在E点左侧；易知RH=t，HE=4t，故S=RHHE=t（4t）=t2+2t；二、t4，H在E点右侧；易知RH=t，HE=t4，故S=RHHE=t（t4）=t22t；若以A、B、C、R为顶点的四边

42、形是梯形，分三种情况：一、CRAB；此时R、M重合，由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y=3x+13；当x=y时，3x+13=x，解得x=；即M（即R）点横坐标为，H（，0）；故t=，代入S=t2+2t（0t4）可得S=；同理可求得：二、ARBC时，t=，S=；三、BRAC时，t=，S=；综合可得：S=t2+2t（0t4）；（1分）S=t22t（t4）（1分）当CRAB时，t=，（1分）S最大=；（1分）当ARBC时，t=，S最大=；（1分）当BRAC时，t=，S最大=（1分）点评：本题主要考查了正方形的性质，以及二次函数的性质，正确求得函数的解析式是解题的关键15（2013历下区

43、二模）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x27x+12=0的两个根，且OAOB（1）求的值（2）若E为x轴上的点，且SAOE=，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断AOE与DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度，再利用

44、勾股定理求出AB的长度，再代入计算即可；（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算解答：解：（1）x27x+12=0，（x3）（x4）=0，x3=0，x4=0，解得x1=3，x2=4，OAOB，OA=4，OB=3，在AOB中，AB=5，sinABC=；（2）根据题意，设E（x，0），则SAOE=×OA

45、×x=×4x=，解得x=，E（，0）或（，0），四边形ABCD是平行四边形，点D的坐标是（6，4），设经过D、E两点的直线的解析式为y=kx+b，则，解得 ，解析式为y=x；，解得，解析式为：y=x+，在AOE与DAO中，=，=，=，又AOE=OAD=90°，AOEDAO；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，AO平分BAC，AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，所以点F与B重合，即F（3，0），AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，点F（3，8）AC是对角线时，做AC垂直平分线L，AC解析式为y=x+4，直线

46、L过（，2），且k值为（平面内互相垂直的两条直线k值乘积为1），L解析式为y=x+，联立直线L与直线AB求交点，F（，），AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A关于N的对称点即为F，AF=，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=×=，F（，）综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，0）；F2（3，8）；F3（，）；F4（，）点评：本题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式，综合性较强，（3）求点F要根据AC与AF是邻边与对角线的情况进行讨论，不要漏解16（2013怀远县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐

47、标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O 移动设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？（2）当t为何值时，PQOB？（3）当t为何值时，PQAB？（4）当t为何值时，OPQ是等腰三角形？考点：相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-公式法；等腰三角形的性质；梯形菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题；动点型分析：点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，3），则一定有BCOA

48、则四边形ABCO是直角梯形（1）PQ平分四边形OABC的面积，则四边形OQPC的面积即可求解，且这个四边形的直角梯形或矩形，据此即可得到一个关于t的方程，即可求解；（2）PMQBCO时，PQOB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；（3）当PQAB时，四边形ABPQ是平行四边形，即BP=AQ，据此即可求解；（4）当OP=PQ时，作PFOA于F，则OF=QF，根据勾股定理即可求解解答：解：（1）由题意可知BCOA，BC=4，OA=8，OC=3梯形OABC的面积=×（4+8）×3=18当PQ平分四边形OABC的面积时×（t+82t）×3=9解得t=

49、2即当t=2时，PQ平分四边形OABC的面积（3分）（2）当PQOB时，作PMOA于点M，易证PMQBCO=，=解得：t=即：当t=时，PQOB（6分）（3）当PQAB时，BP=AQ4t=2t解得t=即当t=时，PQAB（9分）（4）当OP=PQ时，作PFOA于F则OF=QF4t=8t=2OP=OQ时，32+t2=（82t）2解得t1=（不合题意，舍去）t2=t=当QO=QP时32+（83t）2=（82t）2解得t1=t2=综上所述：当t=2或t=或t=或t=时，OPQ是等腰三角形点评：本题主要考查了平行四边形，相似三角形的性质，勾股定理的应用，正确理解平行四边形的判定方法，从而把问题转化为方

50、程问题是解题的关键17（2013红桥区一模）已知AOB=90°，OM是AOB的平分线，将一个直角RPS的直角顶点P在射线OM上移动，点P不与点O重合（1）如图，当直角RPS的两边分别与射线OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD与OP的交点为点G，且，求的值；（3）若直角RPS的一边与射线OB交于点D，另一边与直线OA、直线OB分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与OCD相似，请画出示意图；当OD=1时，直接写出OP的长考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；分类

51、讨论分析：（1）PC与PD的数量关系是相等如图过点P作PHOA，PNOB，垂足分别为点H、N，根据OM是AOB的平分线可以得到PH=PN，又AOB=90°，易得HPN=90°，由此得到1+CPN=90°，最后得到1=2，现在可以证明PCHPDN，然后根据全等三角形的性质就可以证明PC=PD；（2）根据（1）可以得到3=45°，而POD=45°，所以PODPDG，然后根据相似三角形的性质和已知条件就可以求出GD：OD的值；（3）有两种情况如图1所示，若PR与射线OA相交，根据以P、D、E为顶点的三角形与OCD相似可以得到CEO=CDO，从而CE=CD，而OCDE，所以OE=OD，而EPD=90°，则OP=1；如图2所示，若PR与直线OA的交点C与点A在点O的两侧，过P作PHOA，PNOB，垂足分别为H，N，PDEEDC，可以证明PDEODC，由此得到PDE=ODCOECPED，PDE=HCP；而PH=PN，RtPHCRtPND，HC=ND