线性方程组的直接解法

1、第4章 线性方程组的直接解法 本章主要内容线性方程组的直接解法消元法（高斯消元法、主元消元法）.矩阵的三角分解法（ Doolittle分解、Crout分解、 LDU分解）紧凑格式改进平方根法. 本章重点、难点 一、消元法（高斯消元法、列主元消元法） 本章求解的是n阶线性方程组Ax=b的（即方程的个数和未知量的个数相等的线性方程组） 1. 高斯消元法高斯消元法的基本思想：通过对线性方程组Ax=b的进行同解消元变换（也可以用矩阵的初等行变换法进行线性方程组的消元变换），将线性方程组化为上三角形方程组，然后用回代法求出此线性方程组的解。 高斯消元法计算公式： 利用高斯消元法进行消元时，消元过程能进行

2、到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为零。或要求，若（k=1，.，n）,则消元法过程无法进行；若虽然，但很小，用它作除数，会引起很大的误差。所以为了减小舍入误差、提高数值计算的稳定性，通常采用选主元的消元法（包括列主元消元法和全主元消元法）。 2. 主元消元法 列主元消元法的计算步骤： 在进行第k（k=1,2,n-1）步消元时，首先在第k列下面的n-k+1个元素中选取绝对值最大的元素作为列主元素，然后将列主元所在方程与第k个方程交换位置，再按照高斯消元法进行消元、回代计算。 全主元消元法的计算步骤： 在进行第k（k=1,2,n-1）步消元时， 首先在第k行至第n行和第k列至第n列的

3、（n-k+1）2个元素中选取绝对值最大的元素作为全主元素，然后将全主元所在行与第k行交换，将全主元所在列与第k列交换，再按照高斯消元法进行消元、回代计算。 例1 用高斯消元法、列主元消元法解线性方程组 解 1. 高斯消元法 用矩阵的初等行变换法求解 消元得同解上三角方程组为 ： 回代，得： 方程组的解为： 2.列主元消元法 消元得同解上三角方程组为 ： 回代，得方程组的解为： 二 矩阵的三角分解(包括Doolittle分解和Crout分解) 矩阵的三角分解和线性方程组的关系若线性方程组Ax=b的系数矩阵A能进行三角分解，即A=LR，则解线性方程组Ax=b等价于求解两个系数矩阵为三角阵的方程组

4、LY=b和 RX=Y。其中消元法的消元过程就是分解系数矩阵为A=LR，并解线性方程组LY=b，而回代过程则是解方程组RX=Y。用代入法解方程组LY=b的计算公式为：再回代解方程组RX=Y的计算公式为： 矩阵的三角分解是将给定的n阶矩阵A，找到一个下三角矩阵L和上三角矩阵R,使得A=LR. 1. Doolittle分解:是指将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵R,即A=LR. 2. Crout分解: 是指将矩阵A分解为下三角矩阵和单位上三角矩阵,即 3. LDU分解: 是指将矩阵A分解为单位下三角矩阵L、对角矩阵D和单位上三角矩阵R,即A=LDR. 注意：不是任何方阵都可以进行三角分解。例

5、如二阶非奇异矩阵就没有三角分解。 矩阵A进行三角分解的条件与结论:若矩阵A的所有顺序主子式detAk0(k=1,2,n-1),则存在唯一单位下三角阵L和上三角阵R.使得A=LR； 存在唯一的单位下三角阵L、对角阵D和单位上三角阵U，使得A=LDU. 主元消元法与矩阵分解的条件与结论:若n阶矩阵A非奇异,即detA0,则存在n阶置换矩阵P,元素绝对值不大于1的单位下三角阵L和上三角阵R,使得PA=LR存在n阶置换矩阵P和Q,元素绝对值不大于1的单位下三角阵L和上三角阵R,使得PAQ=LR例2已知矩阵检验是否满足三角分解的条件，若满足条件，则进行分解解因为，所以满足三角分解条件，下面用高斯消元法分

6、解因为，存在消元阵,使得 由,存在消元阵,使得 于是有再取于是有再取于是有 三、紧凑格式紧凑格式是利用矩阵乘法和矩阵相等的法则，对矩阵A直接进行三角分解的一种有一定规律的、便于记忆的分解方法。并且可以用此方法很容易地求解线性方程组。 紧凑格式的公式为： 紧凑格式的计算表：(a11) r11(a12) r12(a13)r13(a1n) r1n(a21) l21(a22) r22(a23)r23(a2n) r2n(a31)l31(a32)l32(a33) r33(a3n) r3n(an1) ln1(an2)ln2(an3) ln3(ann) rnn利用紧凑格式的计算表对矩阵进行三角分解的步骤： 1

7、. 计算顺序：将aij ,rij ,lij 按紧凑格式的计算表排列好，计算时按框从外到内进行，每一框中先计算行，从左向右依次计算rij ；再计算列，自上而下计算lij。 2. 计算方法：按行计算时，需将所求元素rij的对应元素aij逐项减去rij 所在行左边各框的元素lik乘以rij所在列上面各框相应的元素rkj; 按列计算lij时，在作上述运算后还需除以lij所在框的对角元素rii。 3. 写出矩阵的三角分解式。例3 利用紧凑格式法对线性方程组AX=b的系数矩阵A进行三角分解，并求解此线性方程组。其中 【思路】可以利用矩阵的乘法和矩阵相等的法则对矩阵A直接进行三角分解； 也可以利用紧凑格式的

8、计算公式（或列出紧凑格式的计算表）按顺序计算出单位下三角阵L和上三角阵R的元素，直接完成A=LR的三角分解.再分别代入两个三角方程LY=b，RX=Y中，求出方程的解X解 方法一解 首先直接完成矩阵A的三角分解 根据矩阵乘法法则及矩阵相等的定义，用第一行乘各列得 再用第二、三行乘第一列得 用第二、三行乘第二、三列得 再用第三行乘第二列得 最后再用第三行乘第三列得 于是得矩阵A的三角分解式 然后解单位下三角形方程组即 由第一个方程开始逐个代入得 再解上三角形方程组即方法二利用紧凑格式的计算公式得四、改进平方根法 当矩阵A为对称矩阵时，它有对称的三角分解式，称为改进平方根法。对称矩阵进行三角分解的条件与结论：若A为对称矩阵，且矩阵A的所有顺序主子式detAk0(k=1,2,n-1),则存在唯一的单位下三角阵L、非奇异对角阵D，使得A=LDLT. 计算公式：改进平方根法的计算公式和用紧凑格式法进行三角分解的计算公式以及方