(教师版）函数复习指导

1、函数复习指导函数及其表示 理解函数的概念，了解构成函数的要素. 在实际情境中，会根据不同需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 了解简单的分段函数，并能简单应用.1. 已知函数f(x)若f(a)a，则实数a_答案：或1解析：若a0，则1aa，得a；若a<0，则a，得a1.函数的定义域和值域 会求简单函数的定义域. 掌握求函数值域与最值的常用方法.1.函数ylg(3x1)的定义域是_；解：(1)由解得x>且x2，所求函数的定义域为.2.函数f(x)(x1)21，x1，0，1，2，3的值域是_3.已知函数f(x)x24ax2a6.(1) 若f(x)的值域是0，)，求a

2、的值；(2) 若函数f(x)0恒成立，求g(a)2a|a1|的值域解：(1) f(x)的值域是0，)，即fmin(x)0， 0， a1或.(2) 若函数f(x)0恒成立，则(4a)24(2a6)0，即2a2a30， 1a， g(a)2a|a1|当1a1，g(a)a2a2， g(a)；当1<a，g(a)a2a2， g(a). 函数g(a)2a|a1|的值域是.函数的单调性 理解函数单调性的定义，并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间上的单调性. 函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值 能利用函数的单调性解决其他一些综合问题.1. 函数yf(x)是定

3、义在2，2上的单调减函数，且f(a1)<f(2a)，则实数a的取值范围_答案：1，1)解析：由条件解得1a<1.2. 已知函数f(x)mx2xm2在(，2)上是增函数，则实数m的取值范围是_答案：解析：当m0时，f(x)x2，符合；当m0时，必须解得m<0.综上，实数m的取值范围是m0.3.已知函数f(x)，x1，)(1) 当a时，求f(x)的最小值；(2) 若对任意x1，)，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解：(1) 当a时，f(x)x2.设x1x21，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)·. x1x21， f(x1)f(x2)， f(x)在1，)上

4、为增函数 f(x)f(1)，即f(x)的最小值为.(2) f(x)0在x1，)上恒成立，即x22xa0在1，)上恒成立， a(x22x)max. t(x)(x22x)在1，)上为减函数， t(x)maxt(1)3, a3.函数的奇偶性及周期性 了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性. 掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题. 了解周期函数的意义，并能利用函数的周期性解决一些问题.1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x4)f(x)当x(0，2)时，f(x)x4，则f(7)_2.已知奇函数f(x)的定义域为2，2，且在区间2，

5、0内递减，若f(1m)f(1m2)<0，求实数m的取值范围解析：由f(x)的定义域是2，2，知解得1m.因为函数f(x)是奇函数，所以f(1m)<f(1m2)，即f(1m)<f(m21)由奇函数f(x)在区间2，0内递减，所以在2，2上是递减函数，所以1m>m21，解得2<m<1.综上，实数m的取值范围是1m<1.3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)，当x0，2时，f(x)2xx2.(1) 求证：f(x)是周期函数；(2) 当x2，4时，求f(x)的解析式；(3) 计算f(0)f(1)f(2)f(2 014)的值(

6、1) 证明：因为f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数(2) 解：因为x2，4，所以x4，2，4x0，2，所以f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，所以f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2，4(3) 解：因为f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1，又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)0，所以f(0)f(1)f(2)f(2 014)f(0)f(1)f(2)1.函数的图象 掌握基本函数图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题. 掌握

7、图象的作法：描点法和图象变换法1. 函数y的图象大致为_(填序号)2.对实数a和b，定义运算“*”：a*b 设函数f(x)(x22)*(x1)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是_答案：(2，1(1，2解析：由题意，f(x)作出图象，数形结合知，c(2，1(1，2二次函数 掌握二次函数的概念、图象特征. 掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值. 掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式这“三个二次”之间的关系，提高解综合问题的能力.1. 函数f(x)的单调增区间是_答案：R解析：画出函数f(x)的图象可知2.已知函数g(x)ax22

8、ax1b(a0，b<1)，在区间2，3上有最大值4，最小值1，设函数f(x).(1) 求a、b的值及函数f(x)的解析式；(2 ) 若不等式f(2x)k·2x0在x1，1时有解，求实数k的取值范围解：(1) g(x)ax22ax1b，由题意得 得 得(舍) a1，b0，g(x)x22x1，f(x)x2.(2) 不等式f(2x)k·2x0，即2x2k·2x， k2·1.设t，则kt22t1， x1，1，故t.记h(t)t22t1， t， h(t)max1，故所求k的取值范围是(，1指数函数、对数函数及幂函数 理解指数和指数函数的概念，会进行根式与分数

9、指数幂的互化，掌握有理指数幂的性质和运算法则，并能运用它们进行化简和求值. 理解对数的概念，熟练地进行指数式和对数式的互化，掌握对数的性质和对数运算法则，并能运用它们进行化简和求值.1、 1.5×080.25×(×)6；原式2×222×332108110.2、 log5352log log5log514；原式log52log2log55312.函数与方程 会利用函数的图象求方程的解的个数以及研究一元二次方程的根的分布.1. 若关于x的方程7x2(m13)xm20的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为_答案：(

10、4，2)解析：设f(x)7x2(m13)xm2，则解得4<m<2.导数在研究函数中的应用 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义. 根据基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，并会画函数的草图. 掌握利用导数求函数极值与最值的方法.1.已知函数f(x) =(2x23)(3x2)在点 P(x0，y0)处切线斜率最小，求点P的坐标.2.已知函数 f(x)x2mlnx(m1)x，当 m0 时，试讨论函数 f(x) 的单调性；解析：函数的定义域为，f(x)x(m1).当1<m0时，令f(x)>0

11、，得0<x<m或x>1，令f(x)<0，得m<x<1， 函数 f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是；当m1时，同理可得，函数 f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是.3.若函数f(x)x2ax在上是增函数，则a的取值范围是_4.已知函数f(x)lnxax(aR)(1) 求函数f(x)的单调区间； (2) 当a>0时，求函数f(x)在1，2上的最小值审题引导： 知函数解析式求单调区间，实质是求f(x)>0，f(x)<0的解区间，并注意定义域； 先研究f(x)在1，2上的单调性，再确定最值是端点值还是极值； 由于解析式中含有参数a，要

12、对参数a进行分类讨论规范解答： 解：(1) f(x)a(x>0)(1分) 当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间是(0，)(3分) 当a>0时，令f(x)a0，得x，当0<x<时，f(x)>0，当x>时，f(x)<0，所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(6分)(2) 当1，即a1时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln22a.(8分) 当2，即0<a时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.(10分) 当1<<2，即<a<1时，函数f

13、(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(2)f(1)ln2a，所以当<a<ln2时，最小值是f(1)a；当ln2a<1时，最小值是f(2)ln22a.(12分)综上可知，当0<a<ln2时，最小值是a；当aln2时，最小值是ln22a.(14分)函数的综合应用能利用函数的各种性质解决如求最值、不等式和方程有关的问题，提高对函数图象的识图、作图和用图的能力.1 已知a、b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0，1上的最大值为4，则f(x)在1，0上的最小值为_答案：解析：因为a、b为正实数，所以函数f(x)是单调递增的所以f(1)ab24，即ab2.所以f

14、(x)在1，0上的最小值为f(1)(ab).2. 若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案：5，7解析：f(x)x2ax(a1)，由题意，f(x)0在(1，4)恒成立且f(x)0在(6，)恒成立，即ax1在(1，4)上恒成立且ax1在(6，)上恒成立，所以5a7.3.已知f(x)xlnx，g(x)x2ax3.(1) 求函数f(x)在t，t2(t>0)上的最小值；(2) 对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3) 证明对一切x(0，)，都有lnx>成立(1) 解：f(x)lnx1，

15、当x时，f(x)<0，f(x)单调递减；当x时，f(x)>0，f(x)单调递增 当0<t<t2<时，t无解； 当0<t<<t2，即0<t<时，f(x)minf； 当t<t2，即t时，f(x)在t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tlnt，所以f(x)min(2) 解：由题意，要使2xlnxx2ax3在x(0，)恒成立，即要使a2lnxx恒成立设h(x)2lnxx(x>0)，则h(x)1.当x(0，1)时，h(x)<0，h(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)>0，h(x)单调递增所以x1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，即h(x)minh(1)4，所以a4.(3) 证明：问题等价于证明xlnx>，x(0，)由(1)知，f(x)xlnx在(0，)上最小值是，当且仅当x时取得设m(x)，x(0，)，则m(x)，易得m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取得，从而对一切x(0，)，都有lnx>成立4.已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2)