解析几何专题02直线与圆

1、解析几何专题02直线与圆学习目标 （1）正确理解圆的标准方程与一般方程；能规范地运用“待定系数法”求圆的方程；（2）明确直线与圆的位置关系，并能够熟练地利用几何法判断直线与圆的位置关系；（3）能够根据具体条件选择适当的方法正确求解圆的弦长、切线以及有关最值问题。知识回顾及应用1圆的方程(1)圆的标准方程(2)圆的一般方程2直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系的判断(2) 直线与圆相交产生的弦长问题的一般处理思路(3) 直线与圆相切产生的切线问题的一般处理思路(4) 直线与圆相离产生的最值问题的一般处理思路3应用所学知识解决问题：【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线x2y24，直线1

2、2x5y300，则曲线与直线的位置关系是 相离 。【变式1】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线x2y24和直线12x5yc0有且只有一个公共点，则实数c的值是_【变式2】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线x2y24上有且只有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_(13,13)【变式3】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线上有且只有三个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）【类型一】求圆的方程以及圆的弦长问题三个独立条件确定一个圆。在求圆的方程时，常采用“待定系数法”：根据条件选择适当的圆的方程形式（与圆心有关的问题常

3、常设“圆的标准方程”；三点圆问题常常设“圆的一般方程”），再根据条件列方程（组）并解之。圆的弦长问题一般都利用“垂径定理”求解：圆的半径、弦长的一半以及圆心到弦的距离满足勾股定理。例1根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)解(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q点的坐标分别代入得 又令y0，得x2DxF0. 设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6有D24F36， 由、解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y2

4、6x8y0.(2)方法一如图，设圆心(x0，4x0)，依题意得1，x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.方法二设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.练习：(1)在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上则圆C的方程是 (2)若圆上一点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在圆上，且圆与直线xy10相交的弦长为2，则圆的方程是_答案：(1) (2) (x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244【类型二】 圆的切线问题 过圆上一点作圆的切线有且只有一条，常利用“圆心

5、与切点连线垂直于切线”求切线斜率；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，常利用“圆心到切线距离等于半径”求切线斜率。注意：不能漏掉切线斜率不存在的情况！例2已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值解(1)圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.方程为y1(x3)，即3x4y50.故过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，

6、解得a0或a.练习：已知圆：.（）设圆与轴交于 、两个点，求线段的长;() 过点作圆的切线，求切线的方程.（）圆的标准方程为，设为的中点，则,则在直角三角形中，,则 . ()易知点在圆的外部，故所求切线有两条，画图可知，过作圆的切线一条为 . 设过的圆的另一条切线方程为，根据点到直线距离公式，解得，整理得切线方程为【类型三】圆的最值问题 圆的最值问题主要有两种处理方式：（1）三角代换：如，根据圆的方程可设；（2）几何转化：转化为“与圆心有关”的问题。 例3已知实数x、y满足方程x2y24x10(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值解圆的标准方程为(x2)2y23.(1)

7、【方法一】yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2±.所以yx的最大值为2，最小值为2.【方法二】设，则所以yx的最大值为2，最小值为2. (2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.练习：已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值答案：(1)|MQ|max6，|M

8、Q|min2(2)的最大值为2，最小值为2检测1直线与圆没有公共点，则的取值范围是( A )(A) (B) (C) (D)2若点在圆外，则直线与圆的位置关系是( B )（A）相离 （B）相交 （C）相切 （D）不确定3过坐标原点且与圆相切的直线方程为( C )(A) 或 (B)或(C) 或 (D)或4（2014东城期末）已知直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围为( A )（A） （B） （C） （D）5过点直线与圆交于两点，若，则直线的方程为 . 6方程x2+y2+4x2y4=0，则x2+y2的最大值是 . 7设，若直线与圆相切，求m+n的取值范围。【解析】圆心为，半径为1.直线与圆相切，所

9、以圆心到直线的距离满足，即，设，即，解得或【能力提升】8已知圆C：，是否存在斜率为1的直线，使以被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由解：圆C化成标准方程为:假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）由于CM，kCM×k=1 kCM=，即a+b+1=0，得b= a1 直线的方程为yb=xa，即xy+ba=0 CM=以AB为直径的圆M过原点， ， 把代入得，当此时直线的方程为：xy4=0；当此时直线的方程为：xy+1=0故这样的直线是存在的，方程为xy4=0 或xy+1=09.设平面直角坐标系xoy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：（1）当时，求圆C的方程； （2）求实数b的取值范围； （3）求圆C的方程；（4）圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？如果你认为它经过定点，请求出定点坐标；如果你认为它不经过定点，请说明理由。答案：（1）x2+ y2+2x+2y-3=0（2）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b0且>0，解得b<1且b0（3）设所求圆的一般方程