一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件

1、一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件在上面第 1 楼的帖子中，证明了这样一个定理：第 1 楼帖子中定理正整数M子分解式中，所有形为4n1能表示成两个整数平方和的充分必要条件是：的素因子的冪指数都是偶数。M 的素因注意，这个定理中说的是 “ 整数平方和 ”，不是“ 正整数平方和 ”，所以，像 93202 ，497 20 2 ， 44121202 这样的两整数平方和，都算是符合定理要求的。如果我们希望把上面这种带0 的整数平方和的例子排除在外，把定理中的 “整数平方和”改为“ 正整数平方和”，那么，定理又会是怎么样的呢？为了证明这样的定理，下面先证明一个引理。引理若有 x 2y2z2

2、，其中 x, y, z都是正整数， ( x, y)1 ，则必有正整数p, q ，( p, q)1，而且p, q 一奇一偶，使得zp 2q2。证 x, y不会都是奇数，否则x2y 2是形为4n2 的数，不可能等于z2。又因为( x, y)1， x, y也不会都是偶数，所以x, y必定一奇一偶，不妨设x是奇数， y是偶数，这时z显然也是奇数，而且zx， ( x, z)1 。因为z, x都是奇数， zx ，所以zx，zx这时有2显然都是正整数。2( z x )( z x)z2x2y2( y ) 2 。2222222因为y 是偶数，所以y是整数。又因为( x, z)1，所以 ( zx , z x )1

3、 ，所以222( y )2中的任何一个素因子， 或者全部在zx中，或者全部在zx中。由于( y )2中2zx2zx22的素因子的幂次都是偶数，所以，中的素因子的幂次也都是偶数，可见22zxzx，都是完全平方数。22z x， qzx，因为zxzxp, q设 p22，都是完全平方数， 所以22都是正整数，而且有p2q 2zx zxz， p 2q2z xz xx。2222假如( p, q) d 1 ，则 ( p2 , q 2 ) d 21， zp2q2， xp2q 2 就有公因子 d 21 ，与 (x, z)1 矛盾，所以必有( p, q)1 。假如p, q 都是奇数或p, q 都是偶数， 则 zp

4、 2q 2， xp2q 2显然都是偶数，与 ( x, z)1矛盾，所以p, q 必定是一奇一偶。定理正整数M 能表示成两个正整数平方和的充分必要条件是要满足下列两条：（ 1） M 的素因子分解式中，所有形为4n 1的素因子的冪指数都是偶数。（ 2）如果M的素因子分解式中，不含有形为4n1 的素因子，则必有M2z2 ，其中z 是正整数。证先证明充分性。如果M 中不含有形为4n1 的素因子，则M2z2z2z2，显然这时M可以表示成两个正整数的平方和。如果M 中含有形为4n1的素因子，再加上已知M中形为4n1 的素因子的幂指数都是偶数，只要仿照第 1 楼帖子中定理 的推导过程，就可证明这时M 能表示

5、成两个正整数的平方和。再证明必要性。设已知M能表示成两个正整数的平方和，有Mx2y 2 。由第 1 楼帖子中定理 可知，这时 M中所有形为4n1 的素因子的冪指数都是偶数。所以只要证明 “ 如果 M 中不含有形为4n 1的素因子， 则必有M2z2 ”就可以了。因为M 中不含有形为4n1 的素因子，而所有形为4n1的素因子的冪指数都是偶数，所以，M只有两种可能：或者有M2z2 ，或者有Mz2。下面用反证法证明：当 M中不含有形为4n1的素因子时，不可能有Mx 2y 2z2。假设有Mx2y 2z2，其中x, y, z都是正整数。设 ( x, y)d，将 x, y, z都除以d ，则有 ( x )

6、2( y ) 2( z )2，( x , y )1 。ddddd所以，下面只要考虑( x, y) 1的情形就可以了。在满足x2y2z2 ， x, y, z都是正整数， ( x, y)1的解中，总可以找到z最小的一组解。显然z1 ，所以必有zz2 。因为 x2y 2z2， x, y, z都是正整数， ( x, y) 1，所以根据上面的 引理 ，可知必有正整数p, q， ( p, q)1 ，而且p, q 一奇一偶，使得zp2q2。因为p, q一奇一偶，所以zp2q2 是奇数，不含有因子2 。因为 Mz2中不含形为4n1的素因子， 所以 z中也不含形为4n1的素因子。又因为z可以表示为两个正整数的平方和，由第 1 楼帖子中定理 可知，这时，z中形为 4n1的素因子的冪指数都是偶数。由此可见， z 是一个完全平方数，所以必有正整数z1