一个解析几何定点问题的解法探究与推广

1、一个解析几何定点问题的解法探究与推广中学数学论文个解析几何定点问题的解法探究与推广江苏省常熟市中学沈宏解析几何中的定点问题涉及解析几何的所有知识,综合性强，方法灵活,运算复 杂,对能力要求高,因此,时常出现在高考和各类竞赛中。而学生面对这类问题 的时候,往往会存在心理上的障碍,本文结合具体的例题对解析几何"定点"问 题的解答策略进行了分析和探究，并将问题本身进行了推广，以求得出更一般的 结论。有这样一个问题：已知A,B是圆x2+y2二4与x轴的交点，P为直线x二4上的 动点，PA与PB与圆x2+y2二4的另一个交点分别为M , N ,求证：直线MN 过定点。当笔者把这个题作

2、为练习题给学生训练时，学生的完成情况出乎意料, 几乎很少有同学能完整独立地将问题正确地解答。大多数的学生止步于繁琐的运 算,有的学生甚至连思路都找不到。下面对一些常见的解答方法的出发点、基本 思路、解题过程进行简要的评注,并以此为基础,将问题推广为更一般的情况, 揭示该问题所蕴含的本质思想。、解法探究解法一:设H4g) Jll题不妨设.4 (-2小)3(2,0),则AP直线方程为:>tCx+2).W)苴线方程为:尸牛(戈-2).6oIHR f(x+2)彳 g: ( 36+rn2)AJ+4m144-(),72-2亦" 36曲24m72-加224负36+rj?236+/1*同理诃得

3、汕签器(1)肖mH±2/T时上辟且也二字 兀厂冷 * 2一广加V肯线方程为:24m ,36+/I28加12 加'令E)彳血*I .直线：w；v恒过定点a匚(门(2)当;n=±2VT时直线M/V垂方程为泄曰，也过点Q ( 1 7 0 )综上可知z直线MN过定点Qd.OX 评注：解法一是定点问题的常见解法，其优势是易于找到问题的切入点，但由于 运算繁琐,再加上结论具有未知性,不少同学只能浅尝辄止。针对上述问题，经 过反思,我们可将解法一作如下的改进：解法二:特殊引路找定点当P点位于x轴上时，易得直线MN的方程为：y=0 当f点坐标为A4.±2VT )时易得直线

4、的方程为； 戈=1由得交点为。(10)下证：样线.MV过定点Q (1.0)同解法-2/7产-8一加4+ni2 ' 4亠*(1) 半机泛±2口"时& =卫匚他=単十 X萨卫二d工厂.切 2-nr心一勺_ 8m12-m1心旳.宜线m过点(X 1,0)(2) 当nt=±2V3时，由知：直线MN：x.也过点Q(】°)故综上可知,直线MN过定点Q(l, 0X评注:解法二把原来一个结论未知的问题,通过取特殊情况的技巧,转化为一个有明确方向的证明问题，一定程度上降低了思维的要求，但在运算上仍然存在难度，考虑到这一点,加上对直线过定点本质的研究,笔者又有

5、了新的想法：解法三： 同解法二,我们先得到交点为Q(1,O),然后还可用"三点共线"思枫来证明：直线MN过定点Q (1,0 ),具体如下：设P(4,m),M(xl,yl )(x2, y2)由A, M , P三点共线知：6yl=m ( xl+2 )由N , B , P三点共线知:(x2-2 ) m=2y2 由得:(1 )当 mHO 时，3yl ( x2-2 )二y2 ( xl+2 ),两边平方后有： 9y；(工2 -2 )2=yj( xi )2.3/,A'在圆上.9(4-/ )(片2斤-建)(叶2尸化简得：2丫氏厂-如4&=0( * )(i)当时/做饨丁亍一子

6、工(.ri-l )(x2-l )阀J.宜线MN过点Q( 1,0)(ii )当 r7r=±2vT时，直线 4f¥：.r=l.也过点(?( 1 ,0)(2 )当 m二0 时，直线 MN : y二0 ,过点 Q (0 )综上：直线MN过定点Q(l, 0X评注：解法三有效地抓住了 ”三点共线”这一本质，巧妙地利用设而不求这一思 想,将问题化繁为简,充分体现了思维的灵活性,不失为该题的妙解之一。二、问题推广 受到上述解法的启发篦者发现可将本题进一步推广，得到一组更为一般的结论: 结论1 :如图，已知A, B是圆x2+y2二a2与x轴的交点,P为直线x二a2上的动点z PA与PB与圆x2+y2=a2的另一个交点分别为M , N ,则直线MN必过定点Qd.OI结论厶如图，已知A .B是椭圆1勺乂轴的交沪（厶 + 1 ）2十肿、）2nrFVPTb浄 Qmibn、2 -2nilr（b- ） 同理可得小1 /%_| ）仏2 * M,_|Wj丿*如忑石荀芮斫nr 皿线伸方程为”需汩盂號旳 -am十 I 尸/M+l ）2W令尸0,得次二晋点线MN恒过定点Q严）点屮为査线久曲上的动点冲 勺州与椭圆孚4存=1 <r lr的另一个交点分别为NV 则貞线MV必过定点QIt4）下将结论2逬行简要证明；设A w ）,由题不妨设A（ -0）. B（心 0