第十一章级数

1、第十一章 级数1写出下列级数的前5项：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解答：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。所属章节：第十一章第一节难度：一级2写出下列级数的通项：(1) ；(2) ；(3) 解答：(1) ； (2) ； (3) 。所属章节：第十一章第一节难度：一级3已知级数的部分和Sn，写出该级数，并求和：(1) ；(2) ；解答：(1) 一般项为，故该级数为，该级数的和为；(2) 一般项为，故该级数为，该级数的和为 。所属章节：第十一章第一节难度：一级4根据定义求出下列级数的和：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解答：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 所属章节：第十一

2、章第一节难度：一级5证明下列级数发散：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解答：(1) 由于，所以级数发散；(2) 由于，所以级数发散；(3) 由于，所以级数发散；(4) 由于，所以级数发散。所属章节：第十一章第一节难度：一级6用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) （第9小题是否应该放到下一题去用比值判别法？建议移至第7大题第7小题）参考答案：(1) 发散；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 当a>1时收敛，当a1时发散；(8) 收敛（参考

3、答案有误？）；(9) 当a<e时收敛，当ae时发散解答：(1) 由于，而级数发散，故正项级数发散；(2) 由于，而级数收敛，故正项级数收敛；(3) 由于，所以正项级数发散；(4) 由于，所以正项级数收敛；(5) 由于，而级数发散，所以正项级数发散；(6) 由于，所以正项级数发散；(7) 当时，由于，所以正项级数收敛，当时，由于，所以正项级数发散；(8) 由于，而调和级数发散，所以正项级数发散；(9) 当时，由于，所以原级数收敛，当时，由于，所以原级数发散。（注：本题已改用比值判别法所属章节：第十一章第二节难度：二级7用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3)

4、 ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ，其中ana(n)，an、b、a均为正数参考答案：(1) 收敛；(2) 收敛；(3) 收敛；(4) 发散；(5) 收敛；(6) 收敛（参考答案有误？）；(7) 收敛（无法用所给方法判别，建议移至上一大题）；(8) 收敛；(9) 当b<a时收敛，当b>a时发散，当b=a时不能判定解答：(1) 由于，所以正项级数收敛；(2) 由于，所以正项级数收敛；(3) 由于，所以正项级数收敛；(4) 由于，所以正项级数发散；(5) 由于，所以正项级数收敛；(6) 由于，所以正项级数发散；(7) 由于，而级数收敛，所以收敛；（注：由于本题

5、用比值判别法判别失效，本题已改用比较判别法）(8) 由于，所以正项级数收敛；(9) 当时，由于，所以收敛， 当时，由于，所以发散， 当时，由于，所以的敛散性无法判定。所属章节：第十一章第二节难度：二级8用积分判别法判别下列级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 参考答案：(1) 发散；(2) 发散（原参考答案有误？）；(3) 收敛；(4) 当p>1时收敛，当p1时发散解答：(1) 由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散；(2) 由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛；(3) 由于积分收敛，所以由积分判别法知，原级数收敛；(4) 当p>1时，由于积分收敛，所以

6、由积分判别法知，原级数收敛。当时，由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散。当时，由于积分发散，所以由积分判别法知，原级数发散。综合知，原级数当p>1时收敛，当p1时发散。所属章节：第十一章第二节难度：二级9利用级数收敛的必要条件，证明下列极限：(1) ；(2) ；(3) 解答：(1) 由于，所以由比值判别法知正项级数级数收敛，于是由级数收敛的必要条件知；(2) 由于，所以由比值判别法知正项级数级数收敛，于是由级数收敛的必要条件知；(3) 由于，所以由比值判别法知正项级数级数收敛，于是由级数收敛的必要条件知。所属章节：第十一章第二节难度：二级10设an0，且收敛，证明也收敛解答：由于

7、正项级数收敛，所以，存在正整数，当时，从而当时，由正项级数的比较判别法知，级数收敛。所属章节：第十一章第二节难度：二级11设an0，且数列nan有界，证明也收敛解答：由于数列nan有界，存在正数，从而，于是，而正项级数收敛，由正项级数的比较判别法知，级数收敛。所属章节：第十一章第二节难度：三级12设an0，bn0，且和都收敛，证明和也都收敛解答：由于an0，bn0，且和都收敛，故由第10题结论知级数，收敛，又由于，所以由正项级数的比较判别法知，级数收敛；再利用，所以由正项级数的比较判别法知，级数收敛。所属章节：第十一章第二节难度：三级13设an0，且收敛，证明也收敛解答：由于an0，且收敛，故

8、由第10题结论知级数收敛，结合级数收敛，并利用不等式，所以由正项级数的比较判别法知，级数收敛。所属章节：第十一章第二节难度：三级14设和都是正项级数，如果，则当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。解答：由已知条件知， 或，故由比较判别法知，当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。所属章节：第十一章第二节难度：三级15设数列nan收敛，且级数收敛，证明级数也收敛。解答：设级数的部分和数列为，级数的部分和数列为，则由于数列nan收敛，级数收敛，故数列、nan均收敛，由上式知数列收敛，从而数列收敛，于是级数收敛。所属章节：第十一章第二节难度：三级16判别下列交错级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3) ；

9、(4) 解答：(1) 对交错级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛；(2) 对交错级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛；(3) 对于级数，由于，所以一般项不趋于零，故级数发散；(4) 对交错级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛； 所属章节：第十一章第三节难度：一级17判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；（本题应为）(7) ；(8) 解答：(1) 对级数，由于，所以绝对收敛；(2) 对级数，由于，所以一般项不趋于零，故级数发散；(3) 对级数，由于数列单调减少趋于

10、零，所以由莱布尼茨定理知收敛，但是，其部分和数列发散，故原级数条件收敛；(4) 对级数，由于，所以原级数绝对收敛；(5) 对级数，由于，所以原级数绝对收敛；(6) 对级数，由于数列单调减少趋于零，所以由莱布尼茨定理知收敛，但是，由于级数发散，而，故原级数条件收敛；(7) 对级数，由于，故原级数绝对收敛；(8) 对级数，由于，而收敛，故原级数绝对收敛。所属章节：第十一章第三节难度：二级18求下列级数的收敛域：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；解答：(1) 由于对任意实数x，有，而级数收敛，故原级数的收敛域为<x<+；(2) 由于当|x|>1时，此时原级

11、数绝对收敛，当时，原级数一般项不趋于零，故原级数发散，所以原级数的收敛域为；(3) 由于当|时，此时原级数绝对收敛，当或时，原级数发散，当或时，易知原级数发散，所以原级数的收敛域为；(4) 由于，易知原级数的收敛域为x<0；(5) 由于，易知原级数的收敛域为x>0；(6) 由于当足够大时一般项为正，可看作正项级数，易知原级数的收敛域为x>1。所属章节：第十一章第四节难度：二级19求下列幂级数的收敛域：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) 解答：(1) 由于，所以收敛半径为1，而当时，原级数条件收敛，当时

12、，原级数发散，故收敛域为1<x1；(2) 由于，所以收敛半径为，而当时，原级数发散，故收敛域为；(3) 由于，所以收敛半径为1，而当时，原级数绝对收敛，故收敛域为|x|1；(4) 由于，所以收敛半径为，而当时，原级数绝对收敛，故收敛域为；(5) 由于，所以收敛域为<x<+；(6) 由于，而当时，原级数发散，所以收敛域为；(7) 由于，而当时，原级数发散，当时，原级数条件收敛，所以收敛域为0x<6；(8) 由于，而当时，原级数发散，当时，原级数条件收敛，所以收敛域为4x<6；(9) 由于，所以收敛半径为1，当p>1时，为收敛点，故收敛域为|x|1；当0<

13、p1时，为发散点，为收敛点，故收敛域为1x<1；当p0时，为发散点，故收敛域为|x|<1；(10) 由于，所以收敛半径为3，而当时，原级数发散，当时，原级数收敛，所以收敛域为3x<3；(11) 由于，所以收敛半径为1，而当时，原级数发散，故收敛域为1<x<1。所属章节：第十一章第五节难度：一级二级20将下列函数在给定点x0处展开为幂级数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ； （第10小题是否应为？以下按此进行解答）解答：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；

14、(9) ；(10) 由于，所以，在两边两次积分，注意到，即有；所属章节：第十一章第五节难度：二级21求下列级数的和：(1) ；(2) ；(3) 解答：(1)由于，积分得，令，即得级数和为；(2)由于，求导得，令，即得级数和为；(3)由于，求导得，令，即得级数和为。所属章节：第十一章第五节难度：三级22求下列幂级数的和函数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解答：(1) ；(2) 设，则，在后式两边积分两次，即得；(3) 设，则，两边求导得；(4) ，（本题有误？是否为？如果题目是，则答案与原参考答案相同，解答见下）所属章节：第十一章第五节难度：三级23利用函数的幂级数求下列各数的近似值，精

15、确到四位小数：(1) ；(2) ln1.2；(3) cos2° 解答：(1) ；(2) ；(3) cos2°。所属章节：第十一章第七节难度：二级24用幂级数表示下列积分：(1) ；(2) ；(3) 解答：(1) ；(2) ；(3) 所属章节：第十一章第七节难度：二级25利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值：(1) (精确到104)；(2) (精确到103)解答：(1) ；(2) 。所属章节：第十一章第七节难度：二级26把下列周期为2的函数展开为傅里叶级数，并写出级数在，上的和函数：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 解答：本题利用以下公式计算傅里叶级数

16、的系数， (1) 所以傅里叶级数展开式为；和函数为 (2) 计算得，所以傅里叶级数展开式与和函数为；注：此题原参考答案还有错。(3) 所求傅里叶级数展开式与和函数为；(4) 所求傅里叶级数展开式与和函数为；(5) 所求傅里叶级数展开式与和函数为。所属章节：第十一章第十节难度：二级27把下列各函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并写出级数在相应区间上的和函数：(1) ；(2) ；(3) 解答：本题利用以下公式计算傅里叶级数的系数， (1)，所求傅里叶级数及其和函数为 ；原参考答案有误？(2) ，所求傅里叶级数及其和函数为；(3) ，所求傅里叶级数及其和函数为所属章节：第十一章第十一节难度：二级28把函数在0，上展开为正弦级数，并写出级数在该区间上的和函数解答：本题利用以下公式计算傅里叶级数的系数，计算得所求傅里叶正弦级数及其和函数为原参考答案有误？所属章节：第十一章第十节难度：二级29把函数(0<h<)在0，上展开为余弦级