线代第三章习题解答

1、第三章 行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）解：设则中第1行的非0元为，故同法可求：可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2，故中相应的非0项有4项，分别为，其代数和即为的值，整理后得 (2)解：由行列式的定义仅当分别取2，3,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零习题3.23.2-2.证明(1)证明: (2) 证明:(3) 证明: 按最后一行展开，得 3=2-3计算下列行列式（1） (2) （最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,2,1行交换，经过n次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n行）依次换到第二行，经过n-1次

2、交换；。最后一共经过次换行。使原行列式化为范德蒙德行列式）(3) （4） 解：按第一列展开行列式，得（5）当时，当时，当时习题3.33-3-1利用伴随矩阵求下列矩阵逆阵（1）（3），其中 解： 逆矩阵存在又 故 3-3-2 设矩阵， 求， 解：， ，存在由，所以 又 存在，且，故 3-3-3 设为可逆矩阵，证明 证明：可逆，且逆矩阵为， 由于，可逆且 可得 另一方面，由 由矩阵可逆定义知，可逆，且3-3-4 设，证明： 证明： 若，则 原式得证3-3-5设方阵满足，证明及都可逆，并求解： 显然可逆且 可逆 且， 即可逆， 由，于是由得， 故 3-3-6.用克拉姆法则解方程组（1） 解： 3-3

3、-7 问取何值时， 有非零解？解： 当时，即时，有非0解即 ，或时，有非0解习题3.43-4-1求矩阵的秩与标准形矩阵 （2）秩为2（3）易知，秩为4。3-4-2答：在秩为的矩阵中，有等于零的阶子式，没有等于零的阶子式，没有不等于零的阶子式。3-4-3证明：任何秩为的矩阵均可表示为个秩为1的矩阵之和。证：设A为m×n矩阵，且R（A）=。故A必与矩阵B等价。 即m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得A=PBQ。又其中是m×n矩阵，仅第i行第i列的元素为1，其余元素全都为0. 且初等变换不改变矩阵的秩， 证毕。3-4-4证明：等价矩阵有相同的标准型矩阵。证：设为等价矩阵，则经过有限

4、次初等行变换可换为。从而分别经过有限次初等行变换可换为相同的行最简型，再经过有限次初等列变换可化为标准型. 故等价矩阵有相同的标准型矩阵.3-4-5解：法一：初等变换法法二：定义法第五章 n维向量空间习题5.15-1-1. 解： a-b = a+(-b) = (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c=3a+2b+(-c)=(3,3,0)T+(0,2,2)T+(-3,-4,0)T = (0,1,2)T5-1-2. 解： 3(a1-a)+2(a2+a) = 5(a3+a) 3a1+2a2+(-3+2)a = 5a3+5a 3a1+2a2+(-a)=5a3+5a

5、 ， 3a1+2a2+(-a)+a+(-5)a3 = 5a3+5a+a+(-5)a3 3a1+2a2+(-5)a3 =6a 3a1+2a2+(-5)a3 = ´6a ， a1+a2+(-)a3 = a将 a1=(2,5,1,3)T,a2=(10,1,5,10)T,a3=(4,1,-1,1)T代入a =a1+a2+(-)a3 中可得： a=(1,2,3,4)T.5-1-3.(1) V1是向量空间.由(0,0,0)V1知V1非空.设a=(x1,x2,xn)V1,b=(y1,y2,yn)V1, 则有x1+x2+xn=0，y1+y2+yn=0. 因为 (x1+y1)+(x2+y2)+(xn+

6、yn)= (x1+x2+xn)+( y1+y2+yn)=0所以 a+b=( x1+y1,x2+y2,xn+yn)V1.对于kR，有 kx1+kx2+kxn=k(x1+x2+xn)=0所以 ka=( kx1,kx2,kxn) V1. 因此V1是向量空间. (2) V2不是向量空间.因为取a=(1, x2,xn)V2 ,b=(1, y2,yn)V2,但a+b=(2, x2+y2, xn+yn)V2. 因此V2不是向量空间.习 题 5.25-2-1. 求向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式：(1) 解：= 因此向量b关于向量组的线性组合表达式为： .(2) 解：= 因此向量b关于向

7、量组的线性组合表达式为： 5-2-2(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数由推论2知线性相关.(2) 解因为 所以线性无关.(3) 解因为， 所以线性相关.(4) 解 因为， 所以 线性无关.5-2-3. 证明：假设有常数k1,k2,k使 k1b1+k2b2+k3b3=0 又由于 于是可得 即 (k1+k2+k3)a1+ (k2+k3)a2+k3a3=0 因为线性无关，所以有 解得 因此向量组b1,b2,b3线性无关.5-2-4. 设存在常数k1,k2,k3,k4使 k1b1+k2b2+k3b3+k4b4=0因为 b1=a1+a2, b2= a2+a3, b3=a3+a4, b4

8、= a4+a1于是可得： k1 (a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a4+a1)=0整理得： (k1+k4)a1+ (k2+k1)a2+(k2+k3)a3+(k3+k4)a4=0，（下用两种方法解）法 一： 因为a1,a2,a3,a4为同维向量， 则(1) . 当向量组a1,a2,a3,a4线性无关时， k1+k4=0， k2+k1=0，k2+k3=0，k3+k4=0，方程组，方程组的系数行列式所以方程组有非零解 因此 b1,b2,b3,b4 线性相关。(2) 当向量组a1,a2,a3,a4线性相关时，k1+k4，k2+k1，k2+k3，k3+k4至少存 在 一个不为

9、0，不防设k1+k40，那么k1,k4至少有一个不为零。因此k1,k2,k3,k4不全为0，于是可得b1,b2,b3,b4线性相关。5-2-5. 证明：（法一）设 ， 则有 因为向量组 线性无关，则 ，所以有而B是n行m列矩阵，所以综上知，所以向量组线性无关。（法二）假如 向量组b1,b2,bm线性相关.即存在不全为0的常k1,k2,km,使： k1b1+k2b2+kmbm=0 由题意不妨设 a1=(a11,a12,a1r), a2=(a21,a22,a2r), , am=(am1,am2,amr) 则相应地， b1=(a11,a12,a1r,a1r+1, a1n), b2=(a21,a22,

10、a2r,a2r+1, a2n), , bm=(am1,am2,amr,amr+1, amn)由 k1b1+k2b2+kmbm=0 可得： k1a11+k2a21+kmam1=0 k1a12+k2a22+kmam2=0 , k1a1r+k2a2r+kmamr =0 k1a1r+1+k2a2r+1+kmamr+1 =0 , k1a1n+k2a2n+kmamn=0去前面r个分量可得： k1(a11,a12,a1r)+k2(a21,a22,a2r)+km(am1,am2,amr)=0即 k1a1+k2a2+kmam=0由假设知k1,k2,km不全为0，因此a1,a2,am线性相关，此与a1,a2,am

11、线性无关相矛盾，结论得证.习 题 5.35-3-1（1）解：对矩阵进行初等行变换为 该矩阵的秩为3，矩阵的第1,2,3列是它的列向量组的一个极大无关组.（2） 解：对矩阵进行初等行变换为 该矩阵的秩为4，因此矩阵的第1,2,3,4列是它的列向量组的一个极大无关组.5-3-2(1) 解：以a1,a2,a3为列作矩阵A：A=该矩阵的秩为2,它的一个极大无关组为a1,a2（2） 解：以a1,a2,a3为列作矩阵A=该矩阵为下三角矩阵，其，因此该矩阵的秩为3,它的一个极大无关组为向量组本身. （3） 解：以a1,a2,a3,a4,a5为列作矩阵A,矩阵A的秩为3, 矩阵A的第1,2,3列构成它的一个极

12、大无关组， 5-3-3证明：（法一） 设； ，且 向量组C能被A表示，而A也能被C表示所以 取向量组B的极大无关组为：，它也是向量组C的极大无关组，所以向量组C能由向量组线性表示，所以向量组C能由向量组B线性表示，所以向量组A能由向量组B线性表示，加上题设条件，所以向量组A与向量组B等价。（法 二）设向量组B和A的秩均为r,且设它们的一个极大无关组分别为 (b1,b2,br), (a1,a2,ar).则由极大无关组的性质可知：一个向量组的所有向量都可由它的一个极大无关组的向量线性表示.因此要证明向量组A与B等价，只证明a1,a2,ar可由b1,b2,br线性表示即可.因为B可由A线性表示，不妨

13、设 b1=c11a1+c12a2+c1rar b2=c21a1+c22a2+c2rar br= cr1a1+cr2a2+crrar不妨设存在常数k1,k2,kr使 k1b1+k2b2+krbr=0于是可得： (k1c11+k2c21+krcr1)a1+(k1c12+k2c22+krbr2)a2+(k1c1r+k2c2r+krbrr)ar=0 由a1,a2,ar 线性无关可得： k1c11+k2c21+krcr1=0 k1c12+k2c22+krbr2=0 k1c1r+k2c2r+krbrr=0把k1,k2,kr当作未知数，当k1,k2,kr只有0解时，b1,b2,br线性无关.要k1,k2,k

14、r只有0解，当且仅当0 (i=1,r,j=1,2,r),即 C=即矩阵C的秩为r,存在逆矩阵C-1.设C-1= 又因为 =C, 则 C-1= C-1C 即 = C-1 因此有： a1=b1+b2+br a2=b1+b2+br ar=b1+b2+br 也即说明，a1,a2,ar可由b1,b2,br线性表示，因此结论成立. 证明：(1) 必要性. 若a是任一n维向量，由于n+1个n维向量a1,a2,an ,a必线性相关，而a1,a2,an线性无关，故a必可由a1,a2,an线性表示. (2) 充分性. 因为任一n维向量都能由a1,a2,an线性表示，则特别地n维单位坐标向量e1,e2,en都能由a

15、1,a2,an线性表示,因此，a1,a2,an与e1,e2,en是等价的向量组，故 a1,a2,an的秩为n,即它们线性无关. 5-3-8. 证明： 因为R3=L(e1,e2,e3), e1,e2,e3表示单位坐标向量，所以只须证明L(e1,e2,e3)= L(a1,a2,a3).即证e1,e2,e3与a1,a2,a3等价.显然，a1,a2,a3可由e1,e2,e3线性表示，因而只须证明e1,e2,e3可由a1,a2,a3线性表示即可. 因为 且因此矩阵 为可逆矩阵，其逆矩阵为 即 这说明e1,e2,e3可由a1,a2,a3线性表示，因此L(a1,a2,a3) = R3.5-3-9. 证明：（

16、法 一） 因为与有相同的行最简形矩阵，并且矩阵经过有限次初等行变换得到的新矩阵的行向量组与原来矩阵的行向量组等价，所以向量组与向量等价，即向量组a1,a2与向量组b1,b2等价。（法 二）(1) (b1,b2)能由(a1,a2)线性表示. 设(b1,b2)= (a1,a2)即 =可解得： =这说明 (b1,b2) 能由 (a1,a2) 线性表示.(2) (a1,a2)能(b1,b2)由线性表示.由(1)可知： (b1,b2)= (a1,a2) ， =-20也即是矩阵 有可逆矩阵，可求得其逆矩阵为 因此有 (a1,a2)= (b1,b2) 也即(a1,a2)能(b1,b2)由线性表示.由(1),

17、(2)可知: L(a1,a2)=L(b1,b2)5-3-10. 解： 设存在常数k1,k2, k3 ， 使 k1a1+k2a2+k3a3=0即 可解得： k1=k2=k3=0 因此 a1,a2,a3线性无关,即a1,a2,a3为R3的一个基. 设向量b1=l1a1+l2a2+l3a3, b2=l4a1+l5a2+l6a3.即(l1,l2,l3)，(l4,l5,l6)分别为b1,b2在基a1,a2,a3下的坐标.也即是： 和 可分别解得： 和 因而b1,b2在基a1,a2,a3下的坐标分别为(2,3,-1)和(3,-3,-2).5-3-11. 解： V的维数为n-1维，取V中n-1个向量e2=(

18、0,1,0,0), e3=(0, 0,1 ,0), en= (0,0,0,1).易证e2,e3,en线性无关.对任意x=(0,x2,x3,xn)有 x=x2e2+x3e3+xnen ,因此， e2,e3,en为V的一个基.习 题 5.4 5-4-1(1)解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下 于是可得： 取x41，可得线性方程组的一个基础解系为： =因此可得线性方程组的通解为：=k, kR.(2) 解： 齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下 于是可得： 取，可得线性方程组的一个基础解系为：1= 2=因此可得线性方程组的通解为：=k11+k22, k1,k2R.(3) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下因此该齐次线性方程组只有0解.5-4-2.(1) 解：非齐次线性方程组的增广矩阵的行变换如下于是可得： 其导出组的一个基础解系为：=，非齐次线性方程组的一个特解为=因此非齐次线性方程组的通解为：=+k,kR.(2) 非齐次线性方程组的增广矩