二项式定理及其应用

1、二项式定理及其应用第一页，共29页。 回归课本 1.二项式定理 对于nN*，(ab)nCn0anCn1an1bCnranrbrCnn1abn1Cnnbn，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，二项展开式的通项公式为Tr1Cnranrbr. 二项展开式中的Cnr(r0,1,2，n)叫做二项式系数，要分清展开式中某一项的系数与该项的二项式系数第二页，共29页。第三页，共29页。 (3)各二项式系数的和 (ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n. (4)二项展开式中，偶数项中的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，

2、即Cn1Cn3Cn5Cn0Cn2Cn42n1.第四页，共29页。 答案：C第五页，共29页。 解析：由通项公式可得展开式中含x4的项为T81C88x4x4，故含x4项的系数为1，令x1，得展开式的系数和S1，故展开式中不含x4项的系数的和为110. 答案：B第六页，共29页。 3若对于任意的实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a2的值为() A3 B6 C9 D12 解析：由于x32(x2)3，由题意得a2就是二项式2(x2)3(把x2看成一个整体应用二项式定理展开)的展开式中第3项的系数，因此a2C32216，选B. 答案：B第七页，共29页。 4设(1x)8a0a

3、1xa8x8，则a0，a1，a8中奇数的个数为() A2 B3 C4 D5 解析：(1x)8C80C81x1C82x2C88x8 a0a1xa8x8， a0，a1，a2，a8，即为C80，C81，C83，C88. 奇数的个数为C80，C88共2个 答案：A第八页，共29页。 答案：D 第九页，共29页。 类型一求展开式的指定项 解题准备：利用展开式中Tr1可求如下问题： (1)求指定项(2)求特定项，如常数项，即字母的次数为0.(3)求指定项、特定项的系数第十页，共29页。 分析利用通项公式第十一页，共29页。 点评要熟练掌握二项展开式及通项公式的应用第十二页，共29页。第十三页，共29页。

4、故原三项展开式中常数项为C100C100C101C92C102C84C103C764351. 点评：(1)求展开式中的特定项，主要用展开的通项公式，使字母的项数具备所要求的特征 (2)对于三项展开式，要合理分组或者因式分解，转化为二项式的形式第十四页，共29页。第十五页，共29页。第十六页，共29页。 解析根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大问题需要列不等式组求解 由题意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0， 2n32，解得n5.第十七页，共29页。第十八页，共29页。第十九页，共29页。 点评在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号当然还需考虑二项式系数与

5、展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关值得注意的是，本例中是求“系数的绝对值最大的项”，若改为“系数最大的项”又该如何处理？因为第4项的系数为负值，所以系数最大项必是第3项或第5项中的某一项比较这两项的系数C10228与C10426大小即可第二十页，共29页。 探究2：已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7. 求：(1)a1a2a7； (2)a1a3a5a7； (3)a0a2a4a6； 分析：因为求的是展开式的系数和，所以可用赋值法求解第二十一页，共29页。第二十二页，共29页。第二十三页，共2

6、9页。 类型三整除与余数问题 解题准备：解决整除性问题实质上是构造二项式，即只需把待证式整理为按二项式定理展开后的各项被另一个式子整除即可求余数时要注意剩余部分是负数时要进行转换 【典例3】(1)求证：122225n1能被31整除(nN*)； (2)求SC271C272C2727除以9的余数 分析将已知的式子适当整理化简，再根据题目的要求选择合适的解法第二十四页，共29页。第二十五页，共29页。 (2)SC271C272C27272271 891(91)91 C9099C9198C989C991 9(C9098C9197C98)2 9(C9098C9197C981)7， 显然上式括号内的数是正

7、整数 故S被9除的余数为7. 点评有关整除性问题是二项式定理的应用之一，其关键在于如何把问题转化为一个二项式，注意结合二项式的展开式和整除的有关性质解决问题第二十六页，共29页。 探究3：9192除以100的余数是_ 分析：转化为二项展开式来求 解析：解法一：9192(1009)9210092C9 21 1 0 09 1 9 C9 22 1 0 09 0 92 C9291100991992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数 992(101)92第二十七页，共29页。 1092C9211091C9221090C9290102C929110(1)92 1092C9211091C9221090C92901029201 (1092C9211091C9221090C92901021000)81 被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.第二十八页，共29页。 解法二：9192(901)