2025年陕西省西安交大少年班自主招生数学试卷（初中组） （解析版）

年陕西省西安交大少年班自主招生数学试卷（初中组）一、选择题：本题共2小题，每小题3分，共6分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一学校共有200人，其中参加物理竞赛的有120人，参加化学竞赛的有80人，两种都不参加的有20人，则在学校中随机抽取一人，两科竞赛都参加的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算公式．根据题意求出两科都参见的人数，再根据简单概率计算的公式进行求解即可．【详解】解：根据两种都不参加的有20人得，至少参加一科的人数为∴两科都参见的是两科竞赛都参加的概率为，故选：A．2.如图，在圆O中，为直径，点在圆O上，，平分，则（）A.B.C.的最大值为10D.以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的性质、勾股定理，角平分线的性质，解题的关键是利用圆的相关性质和代数变形分析线段关系与最值．先利用圆的性质和角平分线性质，得出，判断选项A；再由直径所对圆周角为直角及勾股定理，判断选项B；最后通过勾股定理结合完全平方公式的变形，求出的最大值，判断选项C．第1页/共26页【详解】为直径，，．，．．平分，．．又，，．，∴，故选项A错误．为直径，．．，，故选项B错误．，．，．，即的最大值为10，故选项C正确．故选：C．二、多选题：本题共1小题，共4分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．3.如图，，，，，，与交于点E，则可能是（）第2页/共26页A.B.C.D.【答案】BCD【解析】和全等是解决本题的关键．添加辅助线，由角角边的证明方法证明和全等，可得，再求出的值即可求解的范围，由此可解．【详解】解：设的中点为，连接，如图所示：，，，在和中，，，，，，是的斜边上的中线，第3页/共26页，点始终在以为圆心，半径为的圆上，当与相切时，为最大，此时，，在中，，根据正弦函数的性质可知：.则可能是或或．故选：BCD．三、填空题：本题共小题，每小题3分，共分．4.已知正整数x、y、z满足，则x、y、z共有______组解．【答案】3034【解析】【分析】本题考查了因式分解．对于含有多个未知数的等式，通过因式分解等方法化简等式，找出未知数之间的关系是解题的关键．在计算满足条件的解的组数时，要注意避免重复计算，本题中的情况容易被多次计算，需要特别关注并进行合理的处理．本题先通过对等式xyz的关系为或或，然后结合，利用正整数的条件分别求解，最后考虑重复计算的情况，得出最终解的组数．【详解】解：∵，∴移项，得，分解因式，得，∴，∴，∴，第4页/共26页∴或或，则或或．当时，将代入，得．即．x，y，z是正整数，∴．∴．解得．∴．此时x有1012种取值．同理，当时，将代入，得．即．得．有1012组解．当时，将代入，得．即．得．有1012组解．但是其中有重复的情况，比如时，，即，第5页/共26页∴，这组解在上述三种情况中均被包含，即被计算了3次，故总数应减去重复计算的2组，∴x，y，z的解的组数为组．综上，x，y，z共有3034组解．故答案为：30345.在数，，，，中，既不是的倍数，又不是的倍数的数共有______个．【答案】【解析】和出或的倍数的个数进而得出答案，熟练掌握倍数的定义是解题的关键．【详解】解：因为，所以的倍数个数有个，因为，所以的倍数个数有个，因，所以同是和的倍数的个数有个，所以或的倍数个数有所以既不是的倍数，又不是的倍数的数共有故答案为：．6.已知满足，则当最大时，的值为______．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程，根的判别式等知识点，解题的关键是掌握根的判别式．根据题意转换成关于的值，再代入求值即可．【详解】解：∵，∴，将上式看作关于的一元二次方程，且为实数，第6页/共26页∴，整理得，当时最大，此时或，当时，代入得，，解得，∴；当时，代入得，，解得，∴；∴的值为3．7.如图，等边三角形的边长为9，点D、E、F在边上，等边三角形的边长为7，则三角形的内切圆半径为______．【答案】【解析】【分析】设三角形的内切圆的圆心为点I，过点I分别作，垂足分别为点G，H，K，则，，从而得到第7页/共26页，即可求解．【详解】解：如图，设三角形的内切圆的圆心为点I，过点I分别作，垂足分别为点G，H，K，则，，∴，∴，∵等边三角形的边长为7，∴，∴，，∵等边三角形边长为9，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，第8页/共26页∴，即三角形的内切圆半径为．故答案为：【点睛】本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，根据已知得出的长是解题关键．8.如图，半径1，垂直于直径E为弧与直线交于点CC作垂线，交延长线于点A，若长为，则______．【答案】【解析】ADEC为等腰直角三角形，所以【详解】解：如图，连接，∵∴，∵为直径，∴，第9页/共26页∴，∵，点A、D、E、C四点共圆，∴∴是等腰直角三角形，∴【点睛】本题主要考查了圆周角定理、四点共圆、等腰直角三角形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键.9.在矩形中，E为P为F为的最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．取线段的中点，作于点作于点，交于点，在上找一点，使，判定出当点在同一条直线上时，理列出方程进行求解即可．的中点，作，交于点作于点于点上找一点，第10页/共26页点为中点，∴为的中位线，∴，在矩形中，，∵点E为边中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∴三点在同一条直线上，∴为等腰直角三角形，∴，∴，，∵，，∴，且，∵，∴，此时，，当点在同一条直线上时，的值最小，即，∴，假设，则，由勾股定理得，∵，∴，由勾股定理得，即，解得，第11页/共26页∴，∴，∴，故答案为：．10.如图，正方形边长为a，上有一点E，将沿翻折得到，延长交于G，过A作于点H．已知，则长为______．【答案】【解析】【分析】由正方形的性质得到，，根据同角的余角相等得到，从而，在中，解直角三角形得到，进而．由翻折得到，，，连接，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理有，从而构造方程求出x，即可解答．【详解】解：∵四边形是边长为a的正方形，∴，，∴，第12页/共26页∵，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴∵沿翻折得到，∴，，，∴，．连接，∴，∴，设，则，，∵在中，，即解得，∴．第13页/共26页故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，解直角三角形，二次根式是运算，综合利用相关知识是解题的关键．如图，四边形为菱形，对角线交于点E，与关于B点中心对称，已知，则的长为______．【答案】13【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，中心对称图形的性质，勾股定理．根据菱形的性质，可得根据勾股定理解答即可．【详解】解：∵四边形为菱形，，∴，∴，∵与关于B点中心对称，∴，，∴，∴．故答案为：1312.已知，，则______．【答案】7【解析】第14页/共26页题主要考查了立方和公式、完全平方公式，熟练掌握这些公式是解题的关键．【详解】解：∵，且，，∴，即．又∵，∴．将代入，得，解得．∴．∵，∴．故答案为：．13.______题数据回忆可能与原题有所出入，所以提供一个一般化问题：，，求．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将复杂图形转化为可直接应用勾股定理的基本模型．过点作于点于点，过点作于点，构造直角三角形，将斜线段转化为直角边，利用勾股定理建立边长关系，从而求解．第15页/共26页【详解】解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示：在中，，，∴在中，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，在中，，，，∴是直角三角形，即，，在中，，，由勾股定理得：，第16页/共26页在中，，由勾股定理得：．故答案为：．14.如图，已知，，，，，，，则______．【答案】【解析】【分析】根据，得到点，，，四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到，，求得，，得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：，点，，，四点共圆，，，，，，，，，，，，根据题意易得，，，，，第17页/共26页，故答案为：．【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，证出点，，，四点共圆是解题的关键．15.如图，已知函数与函数的交点为函数的顶点，阴影部分的面积为2，则______，______．【答案】①.2②.4【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，设函数的顶点为，图象与轴的另一交点为，过作轴于，连接，由函数为，可得对称轴是直线，顶点为，又关于直线图象也是轴在图象上，可得，进而求出的值，又，从而可得的值，最后得解．【详解】解：由题意，设函数的顶点为，图象与轴的另一交点为，过作轴于，连接．第18页/共26页∵函数为，∴对称轴是直线，顶点为．，又∵抛物线关于直线对称，函数图象也是轴对称图形，∴利用对称性可得，阴影部分的面积．，又∵顶点为在图象上，，，，，故答案为：2；4．16.已知二次函数，当时有且只有一点使得，c的取值范围______．【答案】或【解析】【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键．由题意可得二次函数在时与有且只有一个交点，将两个解析式联立，第19页/共26页得出与在内有且只有一个交点，画出二次函数图象，求出两个端点及顶点处的纵坐标，结合图象即可求解．【详解】解：由题意知，二次函数在时与有且只有一个交点，联立，整理可得，则二次函数与在内有且只有一个交点，二次函数在内的图象如图所示：当时，，当时，，，顶点坐标为，结合图形可得，当或时满足题意，解得或，故答案为：或．17.已知的解集为，写出a、b、c满足的条件______．【答案】且【解析】第20页/共26页xx轴的交点坐标问题转为解关于x的一元二次方程，把理解为二次函数的函数值大于0，利用交点式表示抛物线解析式为且，即可求解.【详解】解：∵的解集为，∴二次函数的开口向下，抛物线与x轴的交点坐标为，∴且，即，∴，故答案为：且．18.已知的图象向右平移1ax轴下方翻折至x翻折后的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支重合，______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了翻折变换，坐标与图形的变化，解决本题的关键是结合函数图象进行求解．根据题意得出反比例函数图象关于对称，联立反比例函数与确定到，结合函数图象求解即可．1ax轴下方翻折至x的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支重合，反比例函数图象关于对称，对称与旋转变换之后能与剩余部分重合的话需要两段图象关于直线对称，联立得到，即过点A与y轴垂直的直线方程为，向下平移2个单位长度，∴．第21页/共26页平移旋转后的图象如图所示：故答案为：2．19.关于x的不等式恒成立，求a的范围______．【答案】或【解析】讨论当时及当时，不等式的解集情况．再讨论当且时，不等式可看作抛物线第22页/共26页在x轴上方相对应的自变量的取值，只有当抛物线开口向上，与x轴没有交点时，不等式才恒成立，据此即可求解．【详解】解：当时，不等式化为，恒成立，但不是关于x的不等式；当时，不等式化为，不恒成立；当且时，要使不等式恒成立，则，解得或，综上所述，a的取值范围为或．20.x，y为整数，，求可取的值是______．【答案】或4或0或【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练进行因式分解，将原等式整理为.将转化为，利用整数条件确定可能的取值，再计算的值.【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵x，y为整数，∴或或或，∴或或或；解得：或或或；第23页/共26页即，，，.故答案为：或4或0或.21.求图象沿着直线翻折后的图象对应的解析式是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据题意，求出翻折后抛物线的顶点坐标，再结合翻折后开口大小(即a)不变即可写出翻折后图象对应的解析式．【详解】解：由题知，抛物