第11章 弯曲内力

1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 火车轮轴火车轮轴第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 41 平面弯曲的概念平面弯曲的概念 弯曲：弯曲：在通过轴线纵向平面内，受到垂直于杆轴线的外力(横向力)或外力偶作用，杆的轴线将弯曲成一条曲线。 梁：梁：以弯曲为主要变形的构件。 纵向对称面：纵向对称面：通过梁轴线和横截面对称轴的平面。 qMPRARB 平面弯曲平面弯曲:在多数情况下，作用于梁上的载荷均垂直于梁的轴线梁上的载荷均垂直于梁的轴线，并在纵向对称面内并在纵向对称面内，在这样的载荷作用下，梁的轴线将在纵向对梁的轴线将在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线称面内弯曲成一条平面曲线。qMPRARB平面弯曲（1）梁有一个

2、纵向对称面；（2）外力作用在纵向对称面内；（3）梁的轴线在纵向对称面内 弯曲成一条平面曲线1 分布载荷 q2 集中载荷 F3 集中力偶 M 梁的受力特点受力特点：受到横向力作用。 梁的变形特点变形特点：梁的轴线由直线弯成了曲线。42 梁的计算简图梁的计算简图一、几何结构的简化一、几何结构的简化二、载荷的简化二、载荷的简化 三、约束的简化三、约束的简化 四、静定梁及其分类四、静定梁及其分类 1、简支梁， 2、外伸梁， 3、悬臂梁1 可动铰2 固定铰3 固定端FFXFYYXM吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷. .简称简称均布载荷均布载荷火车轮轴简化火车轮轴简化43 剪力和弯矩剪力和

3、弯矩 一、符号规则一、符号规则FFFFFQ(+)FFFFFQ(-)左顺右逆,弯矩为正左,右外力的作用点相 对于截面的位置.顺,逆-外力对截面形 心取矩的转向.M(+)M(-)(1) 剪力的符号规则(2) 弯矩的符号规则例题：例题：求图示悬壁梁C截面上的内力。 二、用截面法求内力的讨论二、用截面法求内力的讨论1、关于、关于Q、M的符号问题的符号问题 2、用截面法计算内力的规律、用截面法计算内力的规律 横截面上的剪力剪力在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上外力的代数和代数和。截面左侧向上外力，或右侧向下外力，产生正的剪力；反之产生负的剪力。 横截面上的弯矩弯矩在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上外

4、力对该截面形心之矩的代数和代数和。向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩；截面左侧顺时针转向的力偶,和截面右侧逆时针转向的力偶产生正值弯矩,反之产生负值弯矩。可记为：左上左上右下，右下，剪力剪力为正；左顺右逆，为正；左顺右逆，弯矩弯矩为正；为正； 外力向上外力向上,弯矩弯矩为正为正。例题：例题：求图示梁中A,B,C,D,E,F,G各截面上的内力。 44剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一、内力方程一、内力方程)()(xMMxQQ，二、内力图二、内力图 已知: F, l 求: FQmax和 Mmax解:1 剪力方程和弯矩方程 FQ(x) = -F (0 x

5、l) M(x) = -Fx (0 xl) FQmax = F Mmax = FlxyxlFAB0-FlxM(-)0F(-)xFQ2 作剪力图和弯矩图已知: q , l 求: Qmax和 Mmax由对称性 2 剪力方程和弯矩方程3 作剪力图和弯矩图 x Q M qxylxABFAFB解: 1 支反力2qlFFBAqx2qlqxF)x(FAQ2qx2qlx2qxxF)x(M22A2l2qlFmaxQ2ql82ql82maxqlM2qlxQ0(-)(+)2l2ql2qlxM0(+)82ql0l00 0已知: F, l ,a b 求: FQmax 和 Mmax 解: 1 支反力2 剪力方程和弯矩方程

6、AC (0 x1 a) 3 作剪力图和弯矩图lFbFAlFaFBlFbF)x(FA1QlFbxxF)x(M11A1l)xl (Fa)xl (F)x(MlFaF)x(F22B2B2QlFabMlFbFmaxmaxQCB (a x2 l )xM0(+)lFabxQ0(+)(-)lFalFbFxylx1AB BabFAFBx2C 故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生突变，突故得出结论：在集中力作用处，剪力图上发生突变，突变值的大小等于该集中力的大小。变值的大小等于该集中力的大小。 从从 Q 图可看图可看 C 截面：截面： ,CCPbPaQQll 左右左右剪力图在剪力图在 C 截面发生一突变，其大

7、小为：截面发生一突变，其大小为： 。PbPaPll 从从 M 图可看出，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上，图可看出，最大弯矩发生在集中力作用处的截面上，其值为：其值为： 。maxPabMl 已知: m, l ,a 0，M图（图（ ）Q0 ，所以，所以 M 为为一上升斜直线。一上升斜直线。 B、A 两截面的弯矩两截面的弯矩之差即为剪力图（之差即为剪力图（ AB 段）段）的面积。的面积。即即7 17BAMMKN m （三）作弯矩图（三）作弯矩图 在在 BC 段内剪力为段内剪力为常数常数 Q=-3KN ，所以所以 M 为一下降斜直线。为一下降斜直线。C左左 、B 两截面弯矩之差两截面弯矩之差等于等

8、于 BC 段剪力图的面段剪力图的面积，即积，即 3 1734CBMMKN m 左左448CCMMMKN m右左右左 C 处有集中力偶作处有集中力偶作用，弯矩图在用，弯矩图在 C 处有处有突变，突变值就突变，突变值就是是 ，所所以以 C右右 截面的弯矩为截面的弯矩为 4MKN m 在在 CD 段内，由于段内，由于 q(x)=-2KN/m ，所以，所以 M 图在该段为一上图在该段为一上凸的二凸的二次曲线。次曲线。D、C右右 截面的截面的弯矩之差就等于该段剪弯矩之差就等于该段剪力图的面积，即：力图的面积，即： 137 ,28102DCDMMMKN m 右右 DE 段内段内 Q=2KN0 ，所以，所以 M 为为一上升斜直线。由于一上升斜直线。由于 E 处为自由端，又没有集处为自由端，又没有集中力偶作用，故中力偶作用，故E处的处的弯矩弯矩 ME=0 。全梁的全梁的 M 图见图示。图见图示。用叠加法作弯矩图qF=+叠加原理:qFlxinMMMMM21例如图示悬臂梁总弯矩总弯矩221x2qFxMMMq单独作用222xqMP单独作用Fx