定积分计算例题

1、第5章定积分及其应用（一）、单项选择题1 函数f x在区间a, b上连续是f x在®, b上可积的（）。A 必要条件2.B充分条件F列等式不正确的是（dC充分必要条件D既非充分也非必要条件C.dx(xdx"x)d xdx_af xB.D.f x dt = f lb x b xdx呵卄）xsin tdtlim三的值等于（xtdt).A.-1B.0C.1D.24 设 f (x) =X3 x，则.：f（x）dx的值等于（B.82C. 0f(x)dx2D. 2 0 f (x)dx5 设广义积分-bex dx收敛，则必定有（A. ： -1C. :- : 16.求由y =ex,x =2

2、, y =1围成的曲边梯形的面积时,若选择x为积分变量，则积分区间为（）。2A. :0, e :B. :0, 2C. : 1 , 2D. : 0, 1:7. 由曲线y二ex,x=0,y=2所围成的曲边梯形的面积为()。2e2In 22A. ln ydyB. exdy C. ln ydyD. i i2-exdx1 0 1 1&由直线y =x, y - -x1，及x轴围成平面图形的面积为()。1 1 1 1A.1-y-y dy B.；丨-x 1-xdxC.1 -yAy dyD.°x-丨-x 1 dx9. 由y =ln x, y =log 1 x, x =e围成曲边梯形，用微法求解

3、时，若选x为积分变量，面积微兀为eA.()。ln x Fog 1 x dxB.eln x log1ex dyC. In x -log 1 x dx< e .丿D. In x-log1 x dy<e /10. 由y =x2 ,x =-1,x =1, y =0围成平面图形的面积为（）。A. 2dxJB. (x2dx0C.1 D.gydy11. 由y=x2,y=1围成的平面图形绕y轴旋转形成旋转的体积为(1 1a. 2 jydyB.-2 0 &1C. jydyd. ,/y2dy12. 由y=x,x=1, y=0围成的平面图形绕x轴旋转形成旋转的体积为(1A. jydyB.2dxc

4、. ： -y2dy1D. |，xdx13由 y=x2,y=x围成的平面图形绕x轴旋转形成旋转的体积为(1B. i dx21-x4 dxC. |，x1A. I，x2 -xdx14.将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为 则该正方形薄片所受液压力为 2B. 1 x 2 ；-dx-x2dx1D. | .x的液体中，使其上距液面距离为-x4 dx2米,3A. x ；dxL2(二八判断题b1. a f(X)dxo1C. x：dx3D. 2 X 1 Tdx=02 定积分的值只与被积函数有关，与积分变量无关。bbbex)dx。(af(x) g(x)dx = a f (x)dx a g(x)dx。y =1

5、 -e ,x=1,y = 0所围城的图形面积为° (1 -1 e'dx = -2。3曲线y二si nx在0, 2n 上与x轴围成平面图形的面积为2 二sin xdx ()07 用微元法求量 Q时，Q的微元dQ二f x dx中dx，是微符号，无任何实际意义。(三) 、填空题1曲线y =x2,x =0,y =1，所围成的图形的面积可用定积分表示为x2.已知x = .°sint2dt，则'x .x2arcs in 2 t lim 03x)0 x31 sinx 2 dx.4x2 1_4 1 sin2 xdx的值的范围47 .由y =1 n x, x =1及y =1围

6、成平面图形的面积，若选y为积分变量，利用定积分应表达为。8 .由y =cosx及x轴围成的介于 0与2 n之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为。9 .由y=x3及y =2x围成平面图形的面积，若选x为积分变量，利用定积分应表达为;若选y为积分变量，利用定积分应表达为 。10. 求由曲线y2 =x与直线y =x _2所围成平面图形的面积时，选 为积分变量，计算 比较简单。11. 由y二fx f x声.0 , x二a, x =b a ：b及x轴围成的曲边梯形，绕x轴旋转形成旋转体的体积为。12. 有一立体，对应变量x的变化区间为-10, 10,过任意点x -10 , 10作垂直于x轴的平面截立

7、体，其截面面积S x 3 10x2，于是该立体的体积 V =。413. 由y = x,y=1及y轴围成的平面图形绕y轴旋转形成的旋转体的体积为 214.由曲线y，直线x =1及x轴围成的平面图形的面积为15 .一物体做变速运动，速度v = 1 t米/秒，则物体运动开始后8秒内所经过的路程（四）、计算下列定积分1 .dxa2 x2a"2 22. 2 -x2 dx0e5.汽n ln xdx3. sin kxsin lxdxdx k-1 -H6.dxxj -：ilnx 27 .求下列各曲线围成平面图形的面积1 y =x2, y =2 _x2 y =6X2, y 二x3 y2 =4 x 1

8、, y2 = -4 x -14 x2 y2 =8, y二丄x2（两部分均求）25 y =2x 6, y =x 126 y =x -8,2x y 8 =0,y =47 y3 =x2,y = ：.2 -x2 （较小部分）&求位于y=ex下方，该曲线过原点的切线左方以及x轴上方之间的图形的面积。9求C的值（Ov Cv 1 =，使两曲线y=x2与y=Cx3所围成图形的面积为10 .求下列各曲线所围成平面图形绕指定轴旋转形成旋转体的体积。1 xy 二a a 0 , x =a, x =2a, y =0 x车由2 y2 =x, y =x _2 y轴3 y2 =x, x =2 x轴4 x -52 亠y

9、2 =16 y轴1 *5 y , y =x,x =2 x车由x11. 有一立体以抛物线 y2 -2x与直线x=2所围成的图形为底， 而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积。12. 按万有引力定律，两质点间的吸引力F = k m1：2 ,为常数，m1,m2为两质点的质量，rf为两点间距离，若两质点起始距离为a, 质点m1沿直线移动至离 m2的距离为b处，试求所 作之功（b> a）13. 半径等于f米的半球形水池，其中充满了水，把池内的水全部吸尽，需作多少功？14. 一梯形闸门，铅直地立于水中，上底与水面相齐，已知上底为2 a米，下底为2 b米，高 为h,此闸门所受到的水压力（a&g

10、t;b）（五）、证明题1 .已知函数f x在区间ax2上连续，设:xxt ftdt,xa,b证明LaxX =2 pXt f t dt2.设f x是以1为周期的周期函数，证明lpf xdx （a为任意实数）【参考答案】一）选择题1.B(二)1.对(三)2.A3.C判断题2.错3错填空题4.A5.A4.错 5错6.B7.A8.C6.对7.错9.C10.A11.C12.D13.B14.A1 21. 0(1 -x2)dx. 22. sin x43.-34.05.二，2 二6.217.0(ey-1)dycos xdx,或 4 02 cos xdx9.20(2X-X3)dx,2。(3. y -1y)dy 10. y2b 211.二 f (x)dxa(四)计算题兀1. 一3a12.100033JI13.514.1(-)2 e5215.32. 3.024. 235.3e(s in 1 -cos1) 1兀6.29516442817. (1