导数的应用(二)

1、第十三节导数的应用n备考方向要明了 考什么怎么考能利用导数研究函数的单调性、 极值或最值，并会解决与之有关 的不等式问题.2会利用导数解决某些简单的实 际问题.利用极值或最值求解参数的取值范围，如202年浙江T22等.2利用导数研究方程根的分布情况、两曲线交点的个数等，如202年福建T20等.3利用导数证明不等式，解决有关不等式问题，如202年天津T20等归纳知识整合.生活中的优化问题生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题， 这些问题通常称为优化问题.建立数学摸罐 写出萌数解折式2. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤还厢:问題找出已知、未利用甘数I得到虽优解容棗P与帕値

2、I制刮函数根值点，量值点I探究求实际问题中的最大、最小值，与求一般函数的最值有什么区别？提示：在实际问题中要注意函数的定义域应使实际问题有意义.另外，在求实际问题的最值时，如果区间内只有一个极值点，就是最值点.2.如何求实际问题中的最值问题？提示：有关函数最大值、 最小值的实际问题， 一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大（小）值点.自测牛刀小试(教材习题改编)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y= 1x3 + 8x 234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为

3、()3A. 3万件B .万件C. 9万件D . 7万件1 3解析：选 C / y= -x3 + 8x 234,3 y' = x2 + 8, 令 y' = 0,则 x= 9.2.(教材习题改编)从边长为0 cmx 6 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()33A . 2 cmB . 72 cm33C. 44 cmD . 60 cm解析：选C 设盒子容积为 y cm3,盒子的高为 x cm.则y= (0 2x)(6 2x)x= 4x3 52x2+ 60 x(0<x<5), y' = 2x2 04x+ 60.令y&

4、#39; = 0,得x= 2或罟(舍去),3-ymax = 6 X 2 X 2 = 44 (cm ).23. (教材习题改编)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8 n分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米已知每出售mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最大，瓶子半径为 时，每瓶饮料的利润最小.解析：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y= f(r) = 0.2X4 n3 0.8 n2 =3i'f32、0.8 % r , 0<r < 6.令 f' (r) = 0.8 亩(一2

5、r) = 0,则 r = 2.当 r (0,2)时，f' (r)<0 ;当 r (2,6)时，f' (r)>0.则f(r)的最大值为f(6)，最小值为f(2).答案：624. 函数f(x)= ax3+ x恰有三个单调区间，则a的取值范围是 .解析：f(x) = ax3 + x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f' (x)= 0有两个不等实根./ f(x) = ax3 + x,. f' (x) = 3ax2 + .要使f' (x)= 0有两个不等实根，则a<0.答案：(® 0)I出穹囹囚召利用导数研究函数的零点或

6、方程的根x2例(202福建高考)已知函数f(x) = e + ax - ex, a R.()若曲线y= f(x)在点(,f()处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；试确定a的取值范围，使得曲线y= f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.自主解答()由于f' (x)= ex+ 2ax-e,曲线y= f(x)在点(,f()处的切线斜率 k= 2a= 0, 所以 a= 0, 即卩 f(x) = ex ex.此时 f' (x)= ex e,由 f' (x) = 0 得 x =.当 x (g,)时，有 f' (x)< 0;当 x

7、 (，+ g)时，有 f' (x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(一g,),单调递增区间为(，+ g).(2)设点 P(X0, f(x。)，曲线 y= f(x)在点 P 处的切线方程为 y= f' (X0)(x x°)+ f(x°),令g(x) = f(x) f' (x0)(x X0) f(X0)，故曲线y= f(x)在点P处的切线与曲线y= f(x)只有一 个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点.因为 g(x°)= 0,且 g' (x) = f' (x) f'(X。) = e ex°+ 2a(x

8、 x0). 若 a> 0,当 x>x 时，g ' (x)> 0,则 x > x 时，g(x)> g(x0) = 0 ；当 X< X0 时，g ' (x)< 0，则 x< X0 时，g(x) >g(x°) = 0.故 g(x)只有唯一零点 x = X0.由P的任意性知，a> 0不合题意. 若 a< 0,令 h(x)= ex ex°+ 2a(x X0),则h(X0)= 0, h' (x) = ex + 2a.令 h' (x)=0，得 x= ln( 2a)，记x* =ln( 2a)，

9、则当 x ( g ,x*)时，h'(x) <0,从而 h(x)在(g ,x*)内单调递减；当 x(x*,+ g)时，h ' (x)>0，从而h(x)在(x*,+ g)内单调递增.*/*Ia. 若 X0= x ,由 x ( g , x )时，g ' (x)= h(x) > h(x )= 0;由 x (x ,+ g)时，g (x) =h(x)> h(x*) = 0所以g(x)在R上单调递增.所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x= x*.b. 若 X0>x*，由于 h(x)在(x*, + g)内单调递增，且 h(X0)= 0,则当 x (x*

10、, x°)时，有 g' (x) =h(x)< h(x0) = 0, g(x)> g(X0)= 0;任取 x (x , x°)有 g(x) >0.又当 x ( g, x)时，易知 g(x) = ex + ax2 (e+ f' (x°)x f(x°) + x°f' (x°)< ex+ ax2 (e + f' (x°)x f(x0) + X0f' (X0) = ax + bx+ c,其中 b= (e+ f' (xo), c= ex f(xo)+ xof'

11、; (xo).由于av 0,则必存在 X2< x,使得ax；+ bx2 + cv 0.所以g(X2)<0,故g(x)在(x2, x)内存在零点，即g(x)在R上至少有两个零点.3c. 若xo<x*，仿b并利用ex>6，可证函数g(x)在R上至少有两个零点.综上所述，当 a<0时，曲线y= f(x)上存在唯一点 P(ln( 2a), f(ln( 2a)，曲线在该点 处的切线与曲线只有一个公共点P. I"I 利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最

12、)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.|整直训练1 o.设函数 f(x)= In x ?ax2 bx.1()当a= b= 2时，求f(x)的最大值；1ai令F(x)= f(x) + ax2 + bx+ ；(0<xw 3)，其图象上任意一点P(x°, y°)处切线的斜率k<?恒成立，求实数 a的取值范围；(3)当a = 0, b=时，方程2mf(x) = x2有唯一实数解，求正数m的值.解：()依题意，知f(x)的定义域为(0,+),1 1 o 1当 a = b= §时，f(x)= In x ：x2 ?x

13、,111(x+ 2 (x 1 f' (x)=x 2x 2=矿令 f' (x) = 0,解得 x = (x = 2 舍去).当0<x<时，f' (x)>0，此时f(x)单调递增；当x>时，f' (x)<0，此时f(x)单调递减.3所以f(x)的极大值为f()=-3又因为f' (x)= 0在(0, +)上有唯一解，所以f(x)的最大值为一3.4由题意得 F(x) = ln x+ a, x (0,3，则k= F'(X0)=2w 1 在 x0 (0,3上恒成立，X02所以 a> 2x0+ x0 max, X°

14、 (0,3.当灭0=时，一1x0 + x°取得最大值1，所以a a2.因为方程2mf(x) = x2有唯一实数解，所以x2 2mln x 2mx= 0有唯一实数解.2设 g(x) = x 2mln x 2mx,22x 2mx 2mx令 g ' (x)= 0，即 x2 mx m = 0.因为m>0.x>0,所以x=m m2+ 4m2<0(舍去),x2 =m+ m2+ 4m2当 x (0, x2)时，g ' (x)<0, g(x)在(0, x2)上单调递减；当 x (x2,+8)时，g ' (x)>0, g(x)在(x2,+8)上单调

15、递增；当 x= x2 时，g' (x2) = 0, g(x )取最小值g(x2).-22 gfX2 A 0,X2 2mln x? 2mx2= 0,因为2mf(x)= x2有唯一实数解，贝U即2所以2mlng ' (x2 尸 0,|x2 mx2 m= 0 ,x2 + mx2 m= 0.又因为 m>0，所以 2ln x2 + x2 = 0.(*)设函数h(x) = 2ln x + x,当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)= 0至多有一解.因为h()= 0,所以方程(*)的解为X2=，即=，解得m= .ir-uzi1利用导数解决恒成立及参数求解问题例2已知函数f(x

16、)= ex ax,其中a>0.()若对一切x R , f(x)>恒成立，求a的取值集合；在函数f(x)的图象上取定两点 A(x, f(x), B(x2, f(X2)(x<x2),记直线AB的斜率为k, 证明：存在 x° (x, X2)，使f'(X0)= k成立.自主解答()f' (x) = ex a,令 f' (x) = 0 得x= ln a.当 x<ln a 时，f' (x)<0 , f(x)单调递减；当 x>ln a 时，f' (x)>0 , f(x)单调递增，故当 x= ln a时，f(x)取最小

17、值f(ln a)= a aln a.于是对一切x R, f(x) A恒成立，当且仅当a aln a > .令 g(t) = t tln t,贝U g' (t)= ln t.当0<t<时，g ' (t)>0 , g(t)单调递增；当t>时，g' (t)<0 , g(t)单调递减.故当t=时，g(t)取最大值g() = 因此，当且仅当 玄=时，式成立. 综上所述，a的取值集合为.由题意知,ex2 exiX2 x1令 0(x) = f' (x) k= ex eX2XT1，则 X2 x1exixx/、 i&x) = e 2 (

18、x2 x),x2 x/令 F(t) = et t,贝U F' (t) = et .当t<0时，F ' (t)<0, F(t)单调递减；当t>0时,F ' (t)>0, F(t)单调递增.故当 0 时，F(t)>F(O) = 0，即 et t >0.从而 ex2 X(X2 x) >0,e x2(xX2)>0,exiex2又 >0,>0,X2 XiX2 Xi所以(f)(x)<0,(f)(x2)>0.因为函数y= yx)在区间X, X2上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在X° (X, X2),

19、使 yx0)= 0,即 f'(X0)= k成立.若将函数“ f(x) = ex ax, a>0”改为"f(x)= eax x, a丰0”，试解决问题().解：若a<0，则对一切x>0, f(x) = eax x<,这与题设矛盾.又0,故a>0.i i而 f' (x) = aeax,令 f' (x)= 0 得 x= -in -.a aiiii当x<-|n -时，f' (x)<0 , f(x)单调递减；当x>-|n -时，f' (x)>0, f(x)单调递增.故当x aaaa=嚅 i时，f(x)

20、取最小值a aa a a a a于是对一切x R, f(x)恒成立，当且仅当i ilna a a令 g(t) = t tin t,贝U g' (t)= in t.当0<t<时，g' (t)>0 , g(t)单调递增；当t>时，g' (t)<0, g(t)单调递减.i故当t=时，g(t)取最大值g()=.因此，当且仅当丄=，即卩玄=时，式成立.a综上所述，a的取值集合为.不等式恒成立问题的求解方法-()由不等式恒成立求解参数取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即要使a> g(x)恒成立，只需a>g(x)max，要使a<

21、g(x)恒成立，只需a< g(x)min.另外，当参数不宜进 行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式f(x) > 0恒成立,可求得f(x)的最小值h(a)，令h(a) > 0即可求出a的取值范围.(2) 参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式.2 .已知 f(x)= (x2- a)ex, a R.()若a= 3,求f(x)的单调区间和极值；(2)已知x, X2是f(x)的两个不同的极值点，且|x+ X2p |xx2|,求实数a的取值集合M ;在的条件下，若不等式3f(a)<a3 +尹2 3a+ b对于a M都成

22、立，求实数b的取值 范围.解：()/ a= 3,. f(x)= (x2 3)ex.令 f' (x) = (x2 + 2x 3)ex= 0?x= 3 或 x=.当 x (a, 3) U (,+s)时，f' (x)>0;x ( 3,)时，f' (x)<0,f(x)的单调递增区间为(一a, 3), (，+ a)；单调递减区间为(一3,). f(x)的极大值为 f( 3) = 6e 3;极小值为f() = 2e.(2) 令 f' (x)= (x2 + 2x a)ex= 0,即卩 x2 + 2x a= 0,由题意其两根为x, X2, x+ x2= 2, xx2

23、= a,故2< a< 2.又= 4+ 4a>0， <a < 2.- M = a| <a w 2.(3) 原不等式等价于b>3f(a) a3 ；a2+ 3a 对 a M 都成立，记 g(a)= 3f(a) a3；a2 +3a( < aw 2),则 g' (a)= 3(a2+ a )(ea),令 g' (a)= 0,则a =号或a = 0a =二舍去故当a变化时，g' (a), g(a)的变化情况如下表:a(,0)0石-12管，2.)2g' (a)+0一0+g(a)极大值极小值6e2 8又 g(0) = 0, g(2)

24、 = 6e2 8,二 g(a)max= 6e2 8,b>6e? 8.故实数b的取值范围为(6e2 8,+s).利用导数解决生活中的优化问题例3随着生活水平的不断提高，人们越来越关注身体健康，而电视广告在商品市场中占有非常重要的地位.某著名保健品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在203年通过电视广告进行一系列促销活动经过市场调查和测算，保健品的年销量x(单位：百万件)与年促销费t(单位：百万元)之间满足：3 x与t+ 2成反比例.如果不搞促销活动，保健品的年销量只能是百万件，203年生产该保健品的固定费用为5百万元，每生产百万件保健品需再投入40百万元的生产费用若将每件保健品的售价定为“

25、其生产成本的50%”与“平均每件促销费的 m倍(0<mw .2)”之和，则当年生产的保健品恰能销完假设203年该企业的保健品恰能销完，且该企业的年产量最大为2.6百万件.()将203年的利润y(单位：百万元)表示为促销费t的函数；(2)该企业203年的促销费投入多少百万元时，企业的年利润最大？(注：禾9润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用)自主解答()因为年销量x百万件与年促销费t百万元之间满足：3 x与t+ 2成反比k例，所以设 t + 2= 3(kM 0).3 x由题意知，当t= 0时，x=,代入得0 + 2=七，解得k= 4.所以t+ 2 =43 x，x=4

26、由该企业的年产量最大为2.6百万件可得，x= 3 t + 2三2.6，解得t< 8.由于203年的年销量为x百万件，则生产成本为y= 5 + 40x,促销费用为t,年销售收入为y2= 50%x y+ mt.1 1所以 203 年的利润 y = y2 y t =列+ (m )t= x (5 + 40x) + (m )t.4将x = 3匚门代入上式，得y= 215 + 40X I3 令.)+ (m )t=2.5+ 6080 + (m )t t+ 2=62.5 帛 + (m )t(0w tw 8,0<mW .2).80(2)由()知，y = 62.5 卡+ (m )t(0 w tw 8)

27、,所以y，=陰+(m).当三mw 2时，m0,普0，所以y80+ (m ) >0,此时函数在0,8上单调递增，所以当t= 8时，年利润y取得最大值，最大值为625墨+ (m-)- 8=必5+ 8m(百万元);当0<m<时,y' = 0解得t=橙2，函数在0，“1°m2上单调递增,在d-2,m最大值为 62.5 80 1 m 2 =弘5 851 m + 8m(百万元);若0<m< ,则当促销费投入t=瓷-2时，企业的年利润y取得最大值,最大值为64.5 8 / 5 1 m 2m(百万元).方法规律利用导数解决生活中优化问题的一般步骤()分析实际问题

28、中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之 间的函数关系y= f(x)，根据实际意义确定定义域；求函数y= f(x)的导数f' (x),解方程f' (x) = 0得出定义域内的实根，确定极值点;比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；(4) 还原到原实际问题中作答.II3某商场预计 203年月份起前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x1 *的关系近似地满足p(x) = 2x(x + )(39 2x)(x N,且x< 2).该商品第x月的进货单价q(x)(单150 + 2x位：元)与x的近似关系是q(x)冷 1

29、85 160xx N*，且 K xW 6 ,x N，且 7WxW 12 .()写出203年第x月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；(2)该商品每件的售价为85元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场203年第几月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？解：()当 x =时,f() = p() = 37,当 2WxW 2，且 x N*时，1 1 2 “f(x)= p(x) p(x )= §x(x+ )(39 2x) (x ) x(4 2x) = 3x + 40x.经验证 x =符合 f(x) = 3x2 + 40x(x N *，且 W x W 2).该商场预计

30、第x月销售该商品的月利润为3x + 40x 35 2x x N，且 1 WxW6 ,g(x)= 3x2+ 40x 詈 x N*，且 7W xW 12 ,r- 32*6x3 185x2 + 1 400xfx N，且 1WxW 6 ,即 g(x) = '*、480x+ 6 400(x N，且 7 W xW 12 ,当 W xW 6,且 x N*时，g' (x) = 8x2 370x+ 400,令 g ' (x)= 0，解得 x= 5, x=竽(舍 去).当 w xW 5 时，g' (x)>0，当 5<xW6 时，g' (x)<0 ,当 X=

31、 5 时，g(x)max= g(5) = 3 25(兀).当 7W xW 2,且 x N*时，g(x) = 480x+ 6 400 是减函数，当 x= 7 时，g(x)max = g(7) =3 040(兀),综上，商场203年第5个月的月利润最大，最大利润为3 25元.通法归纳领悟2个转化解决含参问题及不等式问题中的两个转化()利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类 讨论和数形结合思想的应用.将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理.3个注意点一一利用导数解决实际问题应注意的问题()既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还

32、要注意确定函数关系式中自变 量的取值范围.(2) 一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去.(3) 如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值 占八、-数学思想一一转化与化归思想在证明不等式中的应用对不等式的证明而言，我们可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数T研究单调性或最值T得出不等关系T整理得出结论.ln x + k典例(202山东高考)已知函数f(x) = ex (k为常数，e= 2.78 28

33、,是自然对数的底 数)，曲线y= f(x)在点(,f()处的切线与x轴平行.()求k的值；求f(x)的单调区间；设g(x) = (x + x)f' (x),其中f' (x)为f(x)的导函数，证明：对任意 x>0 , g(x)< +“,In x+ k解()由 f(x)=厂,I e - 2x-xln x< (+ e ).x+1由(2)h(x) = - x-xln x, x (0 ,+),所以 h，(x) = In x 2= (In x In e-2),x (0, + g),因此当x (0, e-2)时，h ' (x)>0, h(x)单调递增；当 x

34、 (e-2,+g)时，h，(x)<0 , h(x)单调递减.所以h(x)的最大值为h(e-2) = + e-2,故一x- xln x< + e 2.设 yx)= ex- (x+).因为 / (x)= ex-= ex- e0,所以当x (0, + g)时，/ (x)>0, 0(x)单调递增，(Xx)> 林0) = 0,故当 x (0,+ g)时，yx) = ex- (x+ )>0 ,x即亠>.x+ 1x所以一x-xln xw + e2<-(+ e-2)x+ 1因此对任意x>0, g(x)< + e-2.题后悟道.本题中证明x>0时，g(

35、x)< + e-2,即证明函数g(x)在(0,+g )上的最大值小于+ e-2, 从而将问题转化为求函数g(x)在(0,+g )上的最大值问题，使问题得以顺利解决.2.一般地，证明 f(x)<g(x), x (a, b),可以构造函数 F(x)= f(x)- g(x),如果 F，(x)<0 , 则F(x)在(a, b)上是减函数，同时若F(a)w 0,由减函数的定义可知，x (a, b)时，有F(x)<0, 即证明了 f(x)<g(x).证明 f(x)>g(x), x (a, b),可以构造函数 F(x)= f(x)-g(x),如果 F，(x)>0，则

36、 F(x)在(a, b)上是增函数，同时若 F(a)>0，由增函数的定义可知， x (a, b)时，有F(x)>0，即证明了 f(x)>g(x).变式训练(202 辽宁高考)设 f(x)= ln(x+ ) + . x+ 1+ ax+ b(a, b R, a, b 为常数)，曲线 y= f(x) 3与直线y=在(0,0)点相切.()求a, b的值；9x证明：当0<x<2时，亦)<齐6.解：()由 y= f(x)过(0,0)点，得 b =-.oII6 f J 二(9 +x) +xgv 6(x)(9+x)+(X=H(X)上 起CXIVXVO 汕亘x6 (x)=9+

37、x)H(x)ll 思 xTxmAX汕睡0丑 ®.xv( +x)u-品 ov(x)乂 宦 OVL+ h(x) mohoniim X L><(+x)u-H(x)乂 令+gvL 十 X7 CXI+X H + +xvb( L +x)丁CXI 事mOAX 丄 +x= + (+x) u_1x)4 星()曲坦9+x-v(x= 起CXIVXVO 汕<Mov(x)ue oHorp<懸国M<M(CXI-O)w(x)ll 旨Kov(x) 'll 普ov(x)6eoho)6 丑p<懸国m<m(cxi-0)1x)6 旨k ov9cxi9+xoh(x) d起CX

38、IVXVO 汕亘(+x)9cxle(9+x)H(x)6 令 - 9 +x】l +x)寸 (L+rx9Lcxlls 9+x) (9+x) (L+x)寸(9+0 (L+SCXI IcxlIVI<N寸 9 9+x 寸 9 L +x= + 2X6 +IVL +xp.cxl+x H + +XV二 L +x>rcxl eoax 汕¥>0赳刘丑-w曲岸s f雀从 ¥<報 g<oo)w(x)I 丑_ 12 x+ 11<3x(x+ )+ (x+ 6)(2 + x + 1) 8(x+ )2(-+ 1 产(-+ 1 + 0+ 6 )(?+ 2 J 18(-+

39、1-(7x 8)<0._ x4 x+ 1因此h(x)在 (0,2)内单调递减.9y 又 h(0) = 0，所以 h(x)<0，即 f(x)< x+ 6短昨测ZHINENG JIJINCE箔心百駆®鎧还恿宜购餌一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).已知f(x)= x3 ax在,+s )上是单调增函数，贝U a的最大值是()C. 2D . 3解析：选D f' (x)= 3x2 a> 0在,+s)上恒成立, 即 a w 3x2 在,+s )上恒成立，而(3x2)min = 3X 2 = 3, aw 3,故 amax = 3.2.设动直线x= m

40、与函数f(x) = x3, g(x)= In x的图象分别交于点M , N，贝U |MN|的最小值为()a£( + In 3)B.fln 3C.+ In 3D .In 3 解析：选 A 由题意知 |MN|=|x3 In x|,设 h(x)= x3 In x, h'1(x) = 3x2 丄，令 h' (x)x1=0, 得 x=,易知当x=1,h(x)取得最小值，h(x)min=-故|MN |min = 3 1 Inf = 3(+ In 3).3.若不等式2xIn x> x2 + ax 3对x (0, +s)恒成立，则实数a的取值范围是()A. ( s, 0)B.

41、( s, 4C . (0 ,+s )D . 4 ,+s )233解析：选 B2xIn x> y2+ ax 3，则 aw 2In x+ x+ -，设 h(x) = 2In x+ x+°(x>0)，则 h' (x)xx=x+ 3x2- 1 .当 x (0,)时，h' (x)<0,函数 h(x)单调递减；当x (，+ s)时，h ' (x)>0 ,函数 h(x)单调递增，所以h(x)min = h() = 4所以 a< h(x)min = 4.4球的直径为d，其内接正四棱柱体积V最大时的高为(B.C.D.解析：选C 设正四棱柱的高为 h

42、,底面边长为x,如图是其组合体的轴截面图形，则 AB= 2x, BD = d, AD = h,/ AB2+ AD2= BD2,2 2 22x2 + h2= d22 2又 V= x2 h= d 2h h= 2(d2h h3),V (h) = *d2 3h2.令 V' (h) = 0，得 h=fd 或 h= fd(舍去).5.已知函数 数t的最小值是(f(x)= x3 3x,若对于区间3,2上任意的x, X2都有|f(x) f(X2)|w t,则实C. 8解析：选DD . 20f (x) = 3x2 3,令f' (x)= 0，解得x= +所以，为函数f(x)的极值点.因为 f( 3

43、) = 8, f( ) = 2, f()= 2, f(2) = 2,所以在区间3,2上，f(xU< = 2, fg = 8,所以对于区间3,2上任意的x, X2, |f(x) f(X2)|w 20，所以t> 20,从而t的最小值为20. ax a>2，当 x (6. (203宜昌模拟)已知y = f(x)是奇函数，当x (0,2)时，f(x)= ln x 2,0)时，f(x)的最小值为，贝U a的值等于()1AlC.1解析:选D 由题意知，当x (0,2)时，f(x)的最大值为一.1 1(x) = 1 a= 0，得 x蔦,当 0<x<时，f' (x)>

44、;0; a当 x>1 时，f' (x)<0. a、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共5分)7.设f(x)= x3 + x, x R，若当OW吵寸，f(msin 0)+ f( m)>0恒成立，则实数 m的取值范围是.解析：因为f(x) = x3 + x, x R，故f' (x)= 3x2 + >0,则f(x)在 x R上为单调增函数， 又因为 f( x) = f(x).故 f(x)也为奇函数，由 f(msin 9+ f( m)>0 ,即 f(msin 0)> f( m)= f(m )，得ms in 9>m,即m(si n 9-)>

45、; ,因为OW 扌，故当0=寸°> 恒成立；当0<E 0,扌时,m<1眉恒成立,即=.故 m<.答案：( g,)&某商场从生产厂家以每件 20元购进一批商品，若该商品零售价为 p元，销量Q(单 位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q = 8 300 70p p2,则该商品零售价定为 元时利润最大，利润的最大值为 .解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则2y= (p 20)Q= (p 20)(8 300 70p p )32=p3 50p2+ 700p 66 000(p> 20),则 y' = 3p2 300p+ 700.令 y

46、9; = 0 得 p2+ 00p 3900 = 0,解得p= 30或p= 30(舍去).则p, y, y'变化关系如下表：p(20,30)30(30,+ g)f y+0y极大值故当p= 30时，y取极大值为23 000元.又y = p3 50p2+ 700p 66 000在20, + g)上只有一个极值，故也是最值. 所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000 元.答案：3023 0009.若函数f(x) = 1x3 a2x满足：对于任意的x, x20,都有|f(x)f(x2)|w恒成立，贝Ua的取值范围是.1解析：由题意得，在0,内，f(x)max f(x)min W

47、 .f' (x) = X2 a2,函数 f(x)=卞a?x 的极 小值点是x= |a|若|a|>,则函数f(x)在0,上单调递减，故只要 f(0) f()w ,即只要a2w£,即3<|a|w 233；若 |a|w ,此时 f(x)min= f(|a|)= 1|a|3 a2|a| = |a2|a|,由于 f(0) = 0, f()= g-a2,故当|aS 申时，f(x)max=f()，此时只要 1 a2 + 3a2|a|< 即可，即 a2g|a| 1 jw|，由于 |a$習, 故3|a|w 3 xf <0,故此式成立；当-33<|a|<时，此

48、时f(x)max = f(0)，故只要 討卅 即可,此不等式显然成立.综上,a的取值范围是三、解答题(本大题共3小题，每小题I分，共36分)0.已知函数 f(x) = aln x ax 3(a R).()求函数f(x)的单调区间；若函数y= f(x)的图象在点(I, f(I)处的切线的倾斜角为45 °对于任意的t ,2，函数g(x) = x3 + x2 f (x片m在区间(t,3)上不是单调函数，求m的取值范围.解：()根据题意知，f' (x) =(x>0)，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,，单调递减区间为(，+ R); 当a<0时，f(x)的单调

49、递增区间为(，+)，单调递减区间为(0,;当a = 0时，f(x)不是单调函数，,a(2) - f' (2) = 2 =，二 a = 2.f(x) = 2ln x + 2x 3./ g' (x) = 3x2 + (m+ 4)x 2. g(x)在区间(t,3)上不是单调函数，且g' (0) = 2.g' t<o,"g'3>0.由题意知：对于任意的t ,2, g' (t)<0恒成立,:g' (1<0，申'(2<0,g' (3>0,37- 3 <m< 9.已知 f(x)=

50、 ax In x, x (0, e, g(x) = 口，其中 e 是自然常数，a R.x()讨论当a =时，函数f(x)的单调性和极值；1求证：在()的条件下，f(x)>g(x) + 2；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.1 x一 1解：()/ f(x)= x In X, f，(x) = x =,当0<x<时，f， (x)<0，此时f(x)单调递减；当<x<e时，f，(x)>0，此时f(x)单调递增. f(x)的极小值为f()=.证明：T f(x)的极小值为，即f(x)在(0, e上的最小值为， -

51、f(x)min = 1 In x又g (x)= 厂, 0<x<e 时，g，(x)>0, g(x)在(0, e上单调递增.1 1 - g(x)max= g(e)= <£.e 21 - f(x)min 一 g(x)max>2.1在()的条件下，f(x)>g(x)+ 21 ax1假设存在实数 a，使f(x) = ax In x(x (0, e)有最小值3,则f，(x)= a-=厂.4 当 a< 0 时，f(x)在(0, e上单调递减，f(x)min = f(e) = ae= 3, a= 4(舍去)，所以，此e时f(x)的最小值不是3； 当0*

52、76;时，f(x)在 0, 1上单调递减，在 寸,e上单调递增，f(x)min = f a =+ In a= 3, a= e2,满足条件；14 当-e时，f(x)在(0, e上单调递减，f(x)min = f(e)= ae= 3, a=-(舍去)，所以，此ae时f(x)的最小值不是3.综上，存在实数a= e2,使得当x (0, e时，f(x)有最小值3.12 .设函数 f(x) = x 一一 aIn x.x()若曲线y= f(x)在点(,f()处的切线被圆x2+ y2=截得的弦长为.2,求a的值；1(3)当aw 2时，设函数g(x) = x In x-,若在,e上存在x, x?使f(x) &g

53、t;g)成立，求e实数a的取值范围.解：由题意知，函数f(x)的定义域为(0,+ R).,1 a()求导得，f (x) = + x2x =x2 ax+ 12x故 f' () = 2 a，而 f()= 0,故曲线y= f(x)在点(,f()处的切线方程为y 0 = (2 a) ()，即 y= (2 a)(x).故圆心到直线的距离|2 a|d = i2(2 a)+(-1即2- a2=申，解得3 =或a = 3.,2 a 2+ 12因为函数f(x)在其定义域上为增函数，即f' (x)A0在(0, +)上恒成立,1 a1所以+ 2 一0恒成立，即 aw x + -.x xx又x +2、

54、/x x十二2(当且仅当乂=时取等号)，故a的取值范围为(一, 2.由在,e 上 存在 x, X2 使 f(x) > g(x2)成立，可知当 x , e时,f(x)max> g(x)min.又因g' (x)= £所以当xx , e时，g' (x)>0,即函数g(x)在区间,e上是单调递增的函数，最小值为11g() = In = _. ee2x ax+ 1由()知 f' (x)= 亍x因为x2>0，又函数y= x2 ax+的判别式 A= ( a)2 4xx = a2 4,(i )当a 2,2时，A< 0，则f' (x)>

55、; 0恒成立，即函数f(x)在区间,e 上是单调递增1的函数，故函数f(x)在区间,e上的最大值为f(e)= e丿一a,e11故有 f(e) > g()，即 e 一一 a > 一，解得 a w e. ee又 a 2,2，所以 a 2, e;(ii )当 a< 2 时，A>0, f' (x)= 0 的两根为x=a+ , a2 42此时x<0, X2<0.故函数f(x)在区间,e上是单调递增的函数.由(i )知, aw e,又a<-2，故 a< - 2.综上所述，a的取值范围为(- , e-.教师备选题.设函数 f(x)= 2x2 + ex- xex.()求f(x)的单调区间；若当x 2,2时，不等式f(x)>m恒成立，求实数 m的取值范围. 解：()函数f(x)的定义域为(8,+), F (x)= x+ ex- (ex+ xex)= x(- ex),若 x<0，则ex>0,所以 f' (x)<0 ;若