圆锥曲线大题

1、三、解答题.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)本题共有2个小题，第1小题满 分4分,第2小题满分9分.已知椭圆匡的两个焦点分别为丨"| 、“ | ,短轴的两个端点分别为(1) 若 一I为等边三角形,求椭圆 的方程；(2) 若椭圆 的短轴长为 ,过点 的直线 与椭圆 相交于上I两点,且 亠,求直线的方程.【答案】解(1)设椭圆的方程为.=f|根据题意知池| ,解得引,故椭圆的方程为卩打.(2)容易求得椭圆的方程为当直线的斜率不存在时,其方程为上,不符合题意；当直线泊勺斜率存在时,设直线 的方程为 rI由 h 得 0.设 U,贝y因为，所以，即 = B" |亠,故直线

2、的方程为=1 或 二 .(2013年高考四川卷(理)已知椭圆 比=I的两个焦点分别为，且椭圆经过点匡(I )求椭圆的离心率；(n)设过点亠 的直线 与椭圆 交于叵、 两点，点 是线段 上的点,且,求点的轨迹方程.【答案】解:I所以，又由已知，所以椭圆C的离心率凶由凶知椭圆C的方程为呂设点Q的坐标为().(1)当直线 与 轴垂直时，直线与椭圆 交于两点，此时点坐标为(2)当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为EI因为三！在直线：上,可设点三的坐标分别为由xs J ,得将I代入，小|中,得由 一 1得上.由可知二Y |代入中并化简，得 T因为点在直线 K 上,所以 工丨，代入中并化简，得又满足

3、I ,故由题意，一呵|在椭圆匡内部，所以I ,又由 .二有I 且亠I ,贝y所以点 的轨迹方程是 一一 ,其中， 乂A（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）椭圆亠亠|的左、右焦点分别是，离心率为，过 且垂直于 轴的直线被椭圆截得的线段长为1.（I ）求椭圆的方程；（n）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 ，设 的角平分 线 交的长轴于点，求的取值范围；【答案】解：（I）由于 亠| ,将代入椭圆方程2d由题意知2d所以，所以椭圆方程为（n）由题意可知 |,设I其中严| ,将向量坐标代入并化简得（f ,因为二，所以旦,而 = I ,所以（2013年高考上海卷（理）（

4、3分+5分+8分）如图，已知曲线二|,曲线I是平面上一点，若存在过点P的直线与 3都有公共点，则称P为“CiC2 型点”. 在正确证明的左焦点是“C 1C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；【答案】：（1）C i的左焦点为.二,过F的直线 与C交于与G交于亠I,故Ci的左焦点为“C 12型点”，且直线可以为.（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学 （理）试题（纯版）如图，点是椭圆 _ I的一个顶点，凶的长轴是圆一I 的直径.田是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于两点，交椭圆 于另一点（1）求椭圆的方程；yZAz11zSJ xV/A12（第

5、21题图）【答案】解:(I)由已知得到 ，且 U口,所以椭圆的方程是I冋;(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案)如题(21)图，椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，离心率，过左焦点 作 轴的垂线交椭圆于上I两点,(1)求该椭圆的标准方程； 取垂直于匚轴的直线与椭圆相交于不同的两点上I ,过E作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若 F ,求圆 的标准方程.题(21B）由题盘卿点厦（-匚2“卜柵關I,则4=2-e-从血应二上=1 &也该椭阀的标朋讥内匸+= 1.-e'168（II）山购呦胡时耳也 町设0（如.0）必设是桶岡卜仃J点.Ji!'卜 *

6、-*亍IQA41' _ (.r - jr0)" + y2 = jT - 2-耳+ jrJ + 8 I .匚.16_-( V- Vu f < - I -Y t 4.4)-VUj(at旳n宙题怠.p是桅冏1：到g的曲离応小的点* m此,1：式3a =斗时取加小值,Z因xe(-4,4)，所以上式X x = 2也时取A<小 *从ifu x( = 2xoH因为理丄严0, ILP（S-j）怖以00卫戸=匕一兀由）心厂血厂“）=0.r1（ rH即（药兀- V； = 0jllff&bH h 1 x, = 2.ru?l-.v（- -8 1- =0,4 16 丿解仏严士半兀严

7、*士羊从M|0用Y-成=y-ftiSH的刖fi两个iu； a方鬼分别为ir 1 6（T 1 白工十 7+l<=y1 yxI +丁” 二（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）设椭圆 三丁的焦点在轴上（I）若椭圆 的焦距为1,求椭圆 的方程；（n）设 分别是椭圆的左、右焦点，列为椭圆勺上的第一象限内的点，直线旦交日轴与点目,并且二j ,证明:当变化时，点勺在某定直线上【答案】解:(I)(II)由所以动点P过定直线 I .已知圆二:,圆:,动圆勺与二外切并且与圆 内切,圆心的轨迹为曲线C.(I )求C的方程；(I)是与圆,圆 都相切的一条直线,与曲线C交于两点,当圆P的半径最

8、 长时,求.【答案】由已知得圆的圆心为(-1,0),半径=1,圆 的圆心为 (1,0),半径=3.设动圆的圆心为(，),半径为R.(I ) 圆 与圆 外切且与圆 内切，二 t 4,由椭圆的定义可知，曲线C是以为左右焦点，场半轴长为2,短半轴长为凶的椭圆（左顶点除外）,其方程为=|.（n ）对于曲线C上任意一点（，）,由于二 < 2, RW 2,当且仅当圆P的圆心为（2,0）时2.当圆P的半径最长时,其方程为 .,当的倾斜角为 时,则与轴重合,可得 .当的倾斜角不为 时，由MR知不平行轴，设与轴的交点为 Q,则凶二也，可求得Q（-4,0）, 设:当3二目时，将* I 代入凶=上，二1 上.

9、当 时,由图形的对称性可知，综上：|或国.（2013年高考江西卷（理）如图，椭圆,由于圆M相切得 注,解得* I并整理得,解得=11 经过点.回 离心率 E直线的方程为二.（1）求椭圆的方程；（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点）,设直线 与直线相交于点,记I的斜率分别为一I问:是否存在常数，使得 :?若存在求的值；若不存在，说明理由【答案】解:(1)由 在椭圆上得，.三I依题设知 ，则L 代入解得.故椭圆凶的方程为三.(2)方法一:由题意可设的斜率为，则直线 的方程为代入椭圆方程1并整理,得 一设一I,则有J'|在方程中令亠得，的坐标为匡从而注意到二J共线,则有二I,即有 3代入得又

10、.回.，所以.故存在常数 符合题意.方法二:设 .I II ,则直线一|的方程为:=令 ,求得三 ,从而直线1的斜率为,得联立则直线的斜率为： 迂习,直线 的斜率为： H ,所以1,故存在常数符合题意.(2013年广东省)已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为.设 为直线 上的点，过点 作抛物线 的两条切线一| ,其中冋为切点.(I )求抛物线 的方程；(n)当点亠I为直线 上的定点时，求直线 的方程；【答案】(I)依题意，设抛物线 的方程为，由尸司 结合解得 .所以抛物线的方程为(n)抛物线 的方程为，即旦,求导得 d设,(其中 IU),则切线円的斜率分别为,所以切线凶的方程为 =|

11、,即 =|,即 _ |同理可得切线田的方程为-I因为切线二I均过点凶 ,所以一I ,. -1所以凶为方程一I的两组解.所以直线円的方程为一 I .(2013年高考北京卷(理)已知 A B C是椭圆 W上的三个点是坐标原点.当点B是W的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；【答案】解:(I)椭圆W 刃的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形为菱形,所以与相互垂直平分.所以可设A(1,)，代入椭圆方程得回| ,即二I .所以菱形的面积是二I.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)已知双曲线X 的左、右焦点分别为凹,离心率为目直线旦与目的两 个交点间的距离为.(I)求3 ;£ = 3 解:(I )由题设知fi-，即” +护g2码a1故川-:一:一;'1（ 2 分）所以的方程为 =77