圆锥曲线求参数范围

1、专题八 圆锥曲线求参数范围专题一、如何建立不等关系？(求参数范围的关键是建立不等关系)：1、利用圆锥曲线的定义。如离心率的范围。2、利用点在圆锥曲线内(外)的充要条件。女口点(x°,y°)在椭圆2 2X-匕1内2 .2a b2yo1.3、利用圆锥曲线上点坐2标的范围。如点P(x0,y0)在椭圆 务a2y_b21上，可列式yo b.条件。如可借助一元二次方程的判别式及根的分布来构造为 a x0 a, b4、利用二次方程有解的含参变量的不等式，从 而求出参变量范围。5、转化为函数的值域或最值。二、类型与解题策略1、 单参数问题。如求参数 m的范围，只要列出含 m这一个参数的不等

2、式(组)求解。2、双参数问题。如求参数 m的范围，需联系另一参数k，对策有(1)将m表示成k的函数：m=f(k)，利用k的范围，求f(k)值域；(m),列出m、k混合的关系式(等式)，再列出m、k受限条件(不等式)，从等式中解出k 代入不等式进而解出m的取值范围。3、求与“比值”有关范围问题，常用：(1)列齐次式的思想，如求离心率的范围可以列出含a、c的齐次不等式；求些的范围，有时可以用韦达定理求(X1 X2)2，变形即有 殂。X2X1X2X2AB- 利用向量共线求比值范围。 如求AB的范围，可设AB AC,得到关于坐标的方程，变AC形后用韦达定理求解。三、例题:1、利用曲线的定义、标准方程和

3、性质列不等关系2X2例1、设椭圆y 1的两个焦点是F, c,0), F2(c,0)(c 0),且椭圆上存在一点P,使m 1得直线PF1与PF2垂直。求实数m的取值范围。同型练习2双曲线务ab21(a 1,b 0)焦点距为2c,直线I过点(a,0)和(0,b)，且点(1，0)和(-1 , 0)到直线I的距离之和s4孑，求双曲线的离心率e的取值范围2、利用方程有实根的充要条件列不等关系2例2、求Fi、F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点4umr UUUU5(I)若r是第一象限内该数轴上的一点，PFigPF25，求点P的作标；4(U)设过定点M (0 , 2)的直线I与椭圆交于同的两点A、B，且ZAO

4、B为锐角(其中0 为作标原点)，求直线I的斜率k的取值范围.同型练习直线I: y kx 1与双曲线C:2x2 y2 1的右支交于不同的两点A,B.求实数k的 取值范围。3、利用点在曲线内的充要条件列不等关系例3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四 边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（I）求椭圆C的方程；（n）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线I与椭圆C相交于M,N 两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线I的斜率的取值范围。同型练习2已知椭圆C:y1上存在关于直线I : y 2x m对称的两点，试求m的取值范围4（利用

5、点在圆锥曲线内的充要条件）4. 转化为求函数的值域例4、(双参数且已知其中 一个参数的范围)给定抛物线C: y2 4x,F是C的焦点，过点F的直线I与C相交于A,B两点. 若FB AF,若4,9,求I在y轴上截得m的范围。同型练习已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fi 3,0，一条渐近线的方程是、.5x 2y 0 .(I)求双曲线C的方程；(U)若以k k 0为斜率的直线I与双曲线C相交于两个不同的点M , N，且线段MN的 81垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 一，求k的取值范围.25、利用双参数的混合关系式列等量与不等量关系例5 (双参数且没有已知其中一个参数的范围)2 2已知动

6、点P与双曲线x y 1的两个焦点Fi、F2的距离和为定值，且cos F1PF2的最小1 值为 3.(1)求动点P的轨迹方程；(2 )设M(0，-1)，若斜率为k(k 0)的直线I与P的轨迹交于不同的两点A、B,试求 k的取值范围，使MA| mb。同型练习y设动点P到点A( 1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，APB存在常数(01)，使得ddsin2.(1) 证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；(2) 过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定 uuun uur使OM QN 0，其中点O为坐标原点.与“比值”有关的求范围问题例6 已知椭圆 C的中心在原点，焦点在x轴上，一

7、条经过点（3,、5）且方向向量为V （ 2八5）的直线|交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又AM 2MB.（1）求直线l方程；（2）求椭圆长轴长的取值范围。同型练习已知P是抛物线C:y -x2上的一点，直线I过点P且与抛物线C交于2另一点Q，若直线I不过原点且与x轴交于点S与y轴交于点T, 试求饵旦的取值范围。SP SQ(1 , 2) D. (1 , - 2)C.3a一的点到右焦点的距离大于它到左准线的 2)D. (5,+)umuMF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的A.(1,2)B.(2,+)4.已知F1、F2是椭圆的两个焦点, 取值范围是CA (0,1)B.C. (0,刍 D. H2

8、,1)5.已知点P是抛物线y2 线的距离之和的最小值为A .亘2B. 36.设 a 1 ,1(0,才2 2 22x上的一个动点，则点P到点(0, 2)的距离与P到该抛物线准(A )2则双曲线令aB. (、2,5)(a2y1)21的离心率e的取值范围是(B )A. (、2,2)7设 ABC是等腰三角形,(B )1 2A. 一 2x28.双曲线2aABCC. (2,5)120°，则以 A,D. (2, 5)B为焦点且过点C的双曲线的离心率为B.C.(a>0,b >0)的两个焦点为F1、F2，若 P 为其上一点，且 |PF1|=2|PE2|,巩固练习2 21. 又曲线 冷 打1

9、 (a>0,b >0)的两个焦点为Fi、F2若P为其上一点，且|PFi|=2| PF2|, a b则双曲线离心率的取值范围为 BA.(1,3)B. 1,3C.(3,+) D. 3,2. 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q (2 , -1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为(A11A. (， 1) B. (, 1)442 23. 若双曲线 务 占1 (a>0,b > 0) 上横坐标为a b距离，则双曲线离心率的取值范围是(BC.(1,5)uuuu满足MF1则双曲线离心率的取值范围为A. (1 , 3) B. (1, 3)2 29.双曲

10、线三与1(a 0,bab双曲线离心率的取值范围是A. (1, 2B. 、2,C. (3 , +%D. 3 , + %0)的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等，则(C ),)C. (12 1D .二 1,)UULU UUU10.已知Fl、F2是椭圆的两个焦点，满足 MR MF2 0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是CA (0,1)B. (0,1C. (0,#),1)11.已知椭圆1(ab 0）的左、右焦点分别为F1（ c,0）, F2（c,0），若椭圆上存在一点P使asin PF1F2sin PF2R,则该椭圆的离心率的取值范围为【答案】.2 1,1PF.解法1，因为在咛2中

11、，由正弦定理得比PF1sin PF2F1则由已知，得 丄 吕，即aPF1 CPF2PF2RF1设点（x°,y°）由焦点半径公式，得PF1 a ex0,PF2 岂S3亜卫由椭圆的几何性质知 e（c a） e（e 1）1 0,解得e . 2 1或e2 1，又e记得X0e2 2ea ex0 贝 U a（aa则坐卫e（e 1）（0,1），故椭圆的离心率ex0)X0整理得e (.2 1,1)解法2由解析1知PF1 cPF2由椭圆的定义知aPF1PF22a则-PF2 PF2 2a 即 PF22a,由椭圆的几何性质知ac aPF2ac,则亘c aa c,既 c2 2c a20,所以e2

12、2e 10,以下同解析1.2X12.椭圆a2 y b21(a b）的右焦点F ,其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F ,则椭圆离心率的取值范围是 *,1丄,|PF| cb2 a c,a + c,于是 一 c,ac解析：由题意，椭圆上存在点 P,使得线段AP的垂直平分线过点F ,a2即F点到P点与A点的距离相等而|FA|= cc+ c2X13.已知椭圆c: 22 w y2 1的两焦点为F1,F2,点P（X0,y。）满足022y。1，则 | PF11+ PF2I 的c1222caca22c1或-caccaa即 ac c2<b2<ac + c2,二 2

13、a又 e (0,1),故 e £11 22取值范围为,直线 管 y°y 1与椭圆C的公共点个数。【答案】2,2 2 ,0P在原点处时【解析】依题意知，点 P在椭圆内部画出图形，由数形结合可得，当(2 1) (2 1) =2 2，故范围为2,2 2 .因为(心比)在椭圆勺2X 2彳y 1的内部，则直线x X0亍yyo1上的点(x, y)均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为02 214.若椭圆笃a b 近 e2l(a0),满足a1, 3 a 一 5,则椭圆的离心率的变化范围是 b15、已知椭圆2x20、1的左焦点为F，O为坐标原点。xF，并且与椭圆的左准线I相切的

14、圆的方程； F且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B两点，线段 G,求点G横坐标的取值范围.1,F( 1,0), I: x 2.丄上232.(I)求过点(n)设过点AB的垂直平分线与x轴交于点解：(I) Q a22,b21, cQ圆过点0、F,圆心M在直线x1设M ( 1, t),则圆半径 r1(2) ( 2)由 OM| r,得& 2)2 t21 2所求圆的方程为(x -)22(II)设直线AB的方程为2代入y y2 1,整理得(133,解得t2(y 、2)294y k(x 1)(k0),2.2 2 2 22k )x 4k x 2k 20.Q直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记

15、A(X1, yj, B(X2, y2), AB 中点 N(x°,y0),则洛 X2AB的垂直平分线NG的方程为y yoXgXo kyo2k2 k2k22 k21 2k21 2k211(x-24k22k21,X。).令 y14k220,得1Q k 0,-2点G横坐标的取值范围为(1,0).2Xg 0,2x16、如图、椭圆a2b 1(afbf0)的一个焦点是FO为坐标原点.（I）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；2 2 2（U）设过点F的直线I交椭圆于A、B两点若直线I绕点F任意转动，值有|0A |0B p | AB , 求a的取值范围.解法一：（I ）设,

16、N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形,所以OF|mn ,f晋,解得b=、3. a )设(X1, Y1), B(X2, Y2).32b224因此，椭圆方程为+）当直线AB与x轴重合时,OB222a2,AB恒有|OA2OB224a2 (a22AB .OA2因此,1),ii）当直纯B不与x轴重合时，设直线AB的方程为:x myx21,代入1a1,整理得（a2所以Y1Y2因为恒有OAuuu uuu即 OAgOBJ 2、22.2b m )y 2b my b222b mba2b2m22OB,Y1Y22ABxi X2yi y2(为，加%2, y2)(my11)(my21)a b 0,2 Ja b2

17、22a b m,所以 AOB恒为钝角.0恒成立.X1X2 yyy2 (m22 2 2 2(m 1)(b a b )2r2 2a b m1)y1y2(mm(y1)(t/ a1b2)2 . 2 2a b m2 2, 2 . 2 2 2m a b b a b2 722a b m222b m222a b m又 a2+ b2m2>0a所以 略2a2b2+b2-a0b2+a2<0 对 m2 22b m2 . 2 2 a b m2旦0.2.2 2U-a2b2+ b2对m R恒成立.m当m R时，a2b2m2最小值为0，所以R恒成立，即a2b2m2> a2因为 a>0, b>0,

18、所以 a< b2,即 a2-a-1>0,1综合（i） （ii）, a的取值范围为（1一-2a2- a2b2+ b2<0. a2< a2b2- b2, a2<( 逅或&<字(舍去),解得a>a2-1) b2= b4, 即 a> 15解法二：（I）同解法一,（n）解：当直线I垂直于x轴时,x=1代入2yb21,2Ya2 2b(a 1)=1 a2因为恒有 |OA|2+|OB|2v|AB|2,2(1+ yA2)<4 yA2, yA2>1 ,即 a >1,1.5a>.2(xi,yi) , B (X2,y2).2爲 1,得(b

19、2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, b解得a> 15或a< 1 '-(舍去)，即2 2(ii)当直线l不垂直于x轴时，设A2设直线AB的方程为y=k(x-1)代入笃 a2a2k2a2k2 a2b2故 x1 + X2= 2 2 , x2x222. 2 -b a kb a k因为恒有 |OA|2+| OB|2v| AB|2所以 x21 + y21+ x22+ y22<( X2-X1)2+(y2-y1)2,得 X1X2+ y1y2<0恒成立X1X2+ y1y2= X1X2+ k2(x1-1) (X2-1)=(1+ k2) X1X2-k2

20、(x1+X2)+ k22 2 2 2 2 2 ,2222、2 2 22、ak a b ,2 2a k , 2 (a a b b )k a b=(1+ k2)2 k k 二 亍 k22 2. :b a kb a kk2- a2 b2<0对k R恒成立.不合题意；15a= ；2a2- a2(a2-1)+ ( a2-1)<0 ，a4- 3 a2 +1>0,5151-5，因此a2 2(ii)，a的取值范围为(1乎，+ ).在以点O为圆心，|AB| 4为直径的半圆ADB中，AB，P是半圆弧上一点，2 2 2b a k由题意得(a2- a2 b2+b2)当a2- a2 b2+ b2>

21、;0时,当当解得综合a2- a2 b2+ b2=0时,a2- a2 b2+ b2<0 I3. 52或a2>2a2>(i)时，35''5 (舍去)，a>17.如图，OD AB , P是半圆弧上一点，POB 30，曲线C是满足|MA| |MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C的方程；(n)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点E、F . 若OEF的面积不小于22，求直线I斜率的取值范围.解：(I)解法1 :以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标 系，则 A (-2，0 )，B (2，

22、0 )，D(0,2),P (V3,1 )，依题意得| MA I - | MB I = I PA I - | PB |= (2 - 3)2 12 .(2 3) 12 =2,2 <1 AB 丨=4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a,虚半轴长为b，半焦距为c,贝U c= 2，2a= 2 2 ,：a2=2, b2=c2-a2=2.2 2曲线C的方程为止1.2 2解法2 :同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得| MA | - | MB | = | PA | - | PB | <| AB | = 4.2曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为

23、Ua2y21(a > 0， b1 1 2/ 1解得宀辺曲线C的方程为行l的方程为> 0).&空2 则由 a2直线I与双曲线C相交于不同的两点1-k20(4k)24 6(1 k2)03 ).2y-1.2y = kx+2，代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)E、kF,1、3 k* (-3-1 ) U (-1 , 1) U (1 ,4k 设 E (x，y)，F(X2,y2)，则由式得 X1+X2= 12 ,X1X2 k先于是I EF|= . (X1 X2)2 (y1 X2)2. (1 k2)(x1 X2)2J(X1 X2)2 4X1X2k2而原点O到直线'Sa de=

24、d EF2若AOEF面积不小于川3 k22迈2l的距离d =，<1 k21 22 2 2 3 k2,1 k2 1 k22 2 ，即 Szoef 22，2 2 3 k21 k21 k2则有k2k4 k220,解得.2 k、2综合、知，直线解法2:依题意，可设直线I的方程为y = kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1-K2) x2-4 kx-6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，l的斜率的取值范围为-2 , -1 U (-,1)U (1, 2).k 1.3 k3-k(-3,-1 )U(-1,1 )U1-k20° 2 2(4k)4 6(1 k )0(1,，3 ).设 曰xi,yi),F(X2,y2),则 由式得 | X1-X2 |x1 x2)2 4x1x222 3 k2当E、F在同一去上时(如图1所示)，Szoef=S ODFS ODE当E、F在不同支上时(如图2所示).S OEF S ODFSzode= OD ( X1综上得 Ssef=- OD X1 X