下料问题的优化设计

1、题1、下料问题的优化设计某车间有一大批长130cm的棒料，根据加工 零件的要求，需要从这批棒料中成套截取 70cm长的毛坯不少于100根，32cm 长的毛坯不少于100根，35cm长的毛坯不大于100根。要求合理设计下料方案， 使剩下的边角料总长最短。根据题目意义，运用优化设计理论和方法， 完成设计全过程 ; 工程问题分析：数学模型建立及特征分析：优化方法选择；优化程序设计（解析优化） ；计算结果分析；结论及体会。基于MATLAB-维优化下料问题分析0 前言生产中常会通过切割、 剪裁、冲压等手段， 将原材料加工成所需大小零件， 这种工艺过程，称为原料下料问题。在生产实践中，毛坯下料是中小企业的

2、一 个重要工序。怎样减少剩余料头损失是节约钢材、降低产品成本、提高企业经 济效益的一个重要途径。在毛坯下料中我们常会遇到毛坯种类多、数量大的情 况，如不进行周密计算则因料头而造成的钢材损失是相当可观的。为使料头造 成的钢材损失减少到最小程度，我们可依据预定的目标和限制条件统筹安排， 以最少的材料完成生产任务。1 一维优化下料问题的具体模型分析设原材料长度为L,数量充足。需要切割成n(n 0)种不同规格的零件，根据 既省材料容易操作的原则，人们已经设计好了 n种不同的下料方式，设第j种下 料方式中可下得第i种零件引个,又已知第i种零件得需要量为b个，Xj表示第 Bj种下料方式所消耗得零件数目，C

3、j表示第Bj种下料方式所得余料(j=1,2 , ?, n,Xj Z)。满足条件的切割方案有很多种，现在要求既满足需要又使所用原材料数量最少，即最优下料方案满足：卩p =mi n (刀Cj Xj )约束条 件:X aij Xj 二b, Xj z。1.2 线性规划数学模型 根据线性规划算法，约束条件包括两部分：一是等式约束条件，二是变量 的非负性。出变量的非负要求外，还有其他不等式约束条件，可通过引入松弛 变量将不等式约束化成等式约束形式。 如果是求最大值的 , 则松弛模型最优解对 应的目标函数值必大于或等于整数规划最优解对应的目标函数值；如果问题是 求最小值，则松弛模型最优解对应的目标函数值必于

4、或等于整数规划最优解对 应的目标函数值。因此对于最优下料方案模型为：np min fcj Xjj1naij Xj bj1j1Xj z由式(1)的线性规划(LP)引入松弛变量p min fCjXjj 1nay Xj bi2j ixj 0如果得到的最优解是整数，则求解结束。该最优解也是式(1)的最优解。否则, 得到的最优解只是式(1)的最优解的一个下界。这样可以把式(1)划分为两个子 问题。再对式(3)和式(4)继续上述过程。若在某一时刻得到了一个全整数解xm,则xm为式(1)的一个上界。此时，若打算从子问题k开始分支，而这一问题的下界为 xkxm,则这一分支不必再考虑了，因为在这一分支中不会找到

5、小于xm的解。如果 xkvxm,则分支过程还要继续1.3 MATLAB 一维优化算法求解整数线性规划MATLA程序：function x, y = ILp ( f, G , h, Geq, heq, lb, ub, x, id, options) global upper op t c x0 A b Aeq beq ID options;if nargin 10, options = optimset( ) ; options. Disp lay = off options. LargeScale =off ; endif nargin 9, id = ones( size ( f) ) ;

6、endif nargin 8, x = ; endif nargin 7 | isemp ty( ub) , ub = inf*ones( size ( f) ) ; endif nargin 6 | isempty( lb) , lb = zeros( size ( f) ) ; endif nargin 5, heq = ; endif nargin 4, Geq = ; endupper = inf; c = f; x0 = x; A = G; b = h; Aeq = Geq; beq = heq; ID = id;ftemp = ILP ( lb ( ： ) , ub ( ： ) )

7、 ; x = opt; y = upper;function ftemp = ILP ( vlb, vub) global upper op t c x0 A b Aeq beq ID options; x, ftemp, how = linp rog ( c, A, b, Aeq, beq, vlb, vub, x0, options) ;if how 0. 00005 % in order to avoid error return;end;ifmax( abs( x*ID - round ( x*ID) ) ) 0. 00005 % in order to avoid errorop t

8、 = x ; upper = ftemp; return;elseop t = op t; x ;return;end;end;notintx = find ( abs( x - round ( x) ) = 0. 00005) ; % in order to avoid errorintx = fix( x) ; tempvlb = vlb; tempvub = vub;if vub ( notintx(1, 1) , 1) = intx( notintx(1, 1) , 1) + 1; tempvlb (notintx(1, 1) , 1) = intx( notintx(1, 1) ,

9、1) + 1; ftemp = IntLP ( tempvlb, vub) ;end;if vlb ( notintx(1, 1) , 1) = intx( notintx(1, 1) , 1)tempvub ( not in tx(1, 1) , 1) = intx( n oti ntx(1, 1) , 1); ftemp = In tLP ( vlb, tempvub);end;2线性规划实例分析某车间有一大批长130c m的棒料，根据加工零件的要求，需要从这批棒料 中成套截取70cm长的毛坯不少于100根，32cm长的毛坯不少于100根，35cm 长的毛坯不大于100根。要求合理设计下料

10、方案，使剩下的边角料总长最短。分析：对于一维下料问题都可以用组合最优化的方法给出合理的下料方式。该题要求剩余边角料总长最短，可以转化为求使用原材料的量最少。设x1, x2, x3分别表示所需3种不同长度的棒料零件数，则70x1+32x2+35x3= 130(xi Z+,i=1,2, 3)。其中x1 100A2 (32)101240 100A3 (35)012103 100余料28252831225由表1可列出目标函数及其约束条件min f 28x 25x2 28x3 31x4 2x5 25x6x2100x3 2x4 4x51005x2 2x3 x4100% z j (123,4,5,6)用上面的MATLA程序求解方程组（5） c = 28, 25, 28, 31, 2,25; A =1, 1, 0, 0, 0;1,0, 1, 2, 4; 0,1,2,1,0；0,0,3; b = 100; 100; 100 ; x, f = ILp ( c, , , A, b, 0, 0, 0, 0, 0,0, , inf, inf, inf, inf, inf, inf, ) ;x = 0100 0