复习卷一答案

1、、填空题(每小题3分，共6X3=18分)1. 若极限 lim(l + sin.r); = ek,贝眯=3_*>。2. 设隐函数y = y(x)由方程lny = xy所确定，则一dx l-xy3. j f(x)dx = sin Vx + C ,贝 U JfG)故=+ C .4. f (x +1)A4- x2dx=.J -2-5. 若反常积分c/x收敛，则参数*的取值范围是0 <k<l.Ji(x 1)*6. 已知二阶常系数齐次线性微分方程有一个特解为a =能&,则此微分方程是 y"4 矿 +_4y_=_o.、单项选择题(每小题3分，共5X3=15分)1 xrO时

2、，无穷小量ln (l-x)(l + 3.r)等价于(BB. 2x ;2设则下列结论中错误的是(C10 XA.函数f(x) 在x = 0 处连 续；C. /?(0)是/'()的极C.3.x;)?B 函数f (x) 在x = 0 处D. f(0)不是f(x)的极3.B. Inx + C ；C. e*+C ； D. cx + C .4.D. 6.A.B. 3;C. 4;5. 心形线,=Q(1-COS o ) (。0)所围成的图形的面积是(C).a 7i a2A. -；20 B. 7ia ;八3兀a1C.；2c 2 D.2na .共36分）1 f2x _t2力，"0,在了 = 0处连

3、续,X = Qa的值.曲解:1 r2xz t2,r(e -1)-2 lim f(x) = lim (e - V)dt = limioxto X3 Jo(-4x2)-2=lim -E 3x2XTO3x28，3(3 分)(2 分)三、计算题（解题要有必要的步骤）（本大题共6小题，每小题6分,1.若函数/? (<) = U Jo°-1)a,因为函数在x = 0处连续，所以Q a = f(0)= lim/(%)=-. 32.求不定积分jcosV2x-lrfx ?解：令 =J2i 1，贝 lj 尤="+1 , dx = udu , 2/cos J2i-ldx = jw cos

4、u du=Auds inu =us inu- jsin udu sin " + cos u + C ,=a/2x -1 sin V2x -1 + cos J2 尤一 1 + C .(1分)(2 分(1分(1分J1 一 X, X < 0x-, x 、1 + X) 2 c，求定积分 f f (.r-l)t/x .0 Jo解：令 U = x-1,设/'(lnx)=-(x>0),则 /(%)=(XA ).（1 分）J；f(xT)dx= 了 (") 血1r °R - , r1 M ,vl - udu + duJT JO1+ M4.求圆的渐伸线解:2 -=

5、_A(1_")2 +(w -In|l + t/|)| o4A2 + 1 | cm2.3x- a(cost +z .y = Q( sn WTcos)“ swe （Q > 0）相应于OJt 5兀的一段弧的弧长xr = at cost, yr = at sin t ,EJ(x')2+(y')2 力cos/)2 + (at sin t)2dt2件 j at = atdt5.求微分方程xy, y = xnx满足初始条件y|A=i =1的特解.y'-y = InxXdx + C分）(1分)（2分）（2分）（2分）（1分）（1分）x=i =1 得 c = I,所以y

6、= x(M2 | （2分）6. 求微分方程y" -3y' + 2y = xe2x的通解.解：对应齐次方程的特征方程为r2 -3r + 2 = 0,特征根为七=1心=2,(1对应齐次方程的通解为y = Cxex + C2e2x ,（1分） 设特解为 y* = x（ax + b）e2x = （ax2 +bx）e2x,（1分）代入方程解得a = -,b = -l, 故） /=（3-血 2，（1分）2r所求方程的通解为y =+ C2e2A + （3 - x.（ 1分）四、8分求微分方程 +成）2=0满足初始条件y|y=0，矿|硕=-:的特解.解：令y' = p,则）；=业（1

7、分）ax原方程化为e虺+p2 =0,（ 1分）dx=A>= exdx A = ex ,（ 2分）P P由 p| n =矿| n=_L ； G=_lnP = -，（1分）1 r r I %=o J i %=o 2 e * + 即 = => y = -ln（e*+1 ） +。2，（ 2分）dx ex +1X . 1 由 yl = 0 n C2 = ln2 n y =In .（ 1分），lx=0乙J9五、8分直径为20cm高为80cm的圆柱形容器内充满压强为ION/cn?的气体，设温度保持不变，要使气体体积缩小到原体积的1/3,问要作多少功？（注，恒温下，压强与体积/成反比）解以母线左底

8、面这端为原点，水平向右为x轴正向建立坐标系，坐标x的值表示 活塞的位置，在恒温下气体的压强 p与体积V的乘积为常数，即pV=k，故(2 分)k = pV =10A-102 -80 = 80000、又1/ =.话，所以p=，作用在活塞上是气体压力af = pS =, 分）xS现设活塞从位置X压缩到x + dx，这时气体压力所作的功元素为 dW = Fdx = &dx ,x于是使气体体积缩小到原体积的1/3,要克服气体压力所作功为勺 0/3|?0/3icn/Q'八、W = - dW =- -dx = -kl nxr =kln3（ 2 分）A0A0 x180=80000 In 3（

9、N ? cm） = 800八 In 3（ J）（ 1 分）即要克服气体压力作的功为800A-In3（ J） o（ 1分）六、综合题（9分）（1）求曲线y = e'，该曲线过原点的切线以及y轴所围成的封闭图形 的面积；（2）求该图形绕X轴旋转一周所成的旋转体的体积解：（1）设切点为3。，建），由y' = e",可得切线方程为y-ex° =eJC° （x-x0）,(1由切线过原点可得XQ=|,分）故切线方程为 y = ex ,分）I2所求图形的面积为 S = f （e' -ex） dx = （e' -= -1 ； 分）Jo2° 2（2）该图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为V = A7r （ e'）2dx- A7r（ e.x） 2dx七、证明题（本题6分）设f在a,b:连续，且f （% > 0 ,证明：在（a,（3（）内有唯的Tie1* 1 7ie2x3 1 _ 7T（ e2_-3）证明：设 FQ) = (x)dx-j ) dx ,则的)在a,b 土可导，且了Tdx < 0, F(b) = j f (x)dx >