大一下高数下册知识点

1、高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数(一)向量线性运算定理1:设向量az0,则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数 入，b=入a1、线性运算：加减法、数乘；2、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设a = ( ax , ay , az ) , b = (bx，by ,bz)；则 a - b = (ax - bx ,ay - by ,az - bz), a = ( ax , ay , az)；4、向量的模、方向角、投影：1) 向量的模：卜Jx2 + y2 + z2 ；I2222)两点间的距离公式：AB| = p(x2-xJ +(y2

2、-yj +(Z2-zj3)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 ：；，4)方向余弦:COS：xyzN-,COSP -,COSf -Nrrr5)投影：PJua= a cos® ,其中为向量a与U的夹角(二)数量积，向量积1、数量积：a b = |a | b cos日1) a a = a2) a 一 b 二 a b = 02、向量积：C = a b大小：| a |b sin日，方向：a,b,c符合右手规则1) a a = 02) a / b = a b = 0运算律：反交换律 b a二- a b(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S : f (x, y, zp 02、旋转曲面：yo

3、z 面上曲线 C : f (y, z)二 0，绕y轴旋转一周：f (y,- PX z2) = 0绕 z 轴旋转一周：f (- Jx2 y2 , zp 03、柱面:F(x,y) = F (x, y)二0表示母线平行于z轴，准线为I z = 04、 二次曲面0的柱面1)椭圆锥面:2xa2z2x22）椭球面：孑b2旋转椭球面：a2zc23)单叶双曲面:2X2ab22z_2c4)双叶双曲面:2X2ab22z"2c5)椭圆抛物面:2X2a6)双曲抛物面（马鞍面）7)椭圆柱面:2X2a8)双曲柱面:9)抛物柱面:2X2a2X（四）空间曲线及其方程1、b22Xa2b2b2b2ayF(X, y,z)

4、般方程:G(x,y,z)a cos t/丄I2、参数方程：y二y（t），如螺旋线： y = asin tz = z（t）z 二 bt3、空间曲线在坐标面上的投影F（x, y,z） = 0（一 c，消去z ，得到曲线在面xoy上的投影G（x, y, z） = 0H （x,y）二 0z 二 0（五）平面及其方程1、 点法式方程：A（x - X。） B（y - y。） C （z - z。）= 0法向量：n = （A,B,C），过点（x°, y°, z°）2、一般式方程：Ax By Cz0截距式方程：xyz =abc3、 两平面的夹角：m = （A,Bi,CJ， &

5、; = （A?, B2G），4、点 P0（X0,y°,Z0）到平面 Ax By Cz D 二 0 的距离:（六）空间直线及其方程1、一般式方程:A1xB1 yC1z D 0A2xB2y C2z D2 = 02、对称式（点向式）方程： 、二丿0.三二0方向向量：s 二(m,n, p)，过点(x0, y0, z0)x 二 x0 mtI3、参数式方程：y = yo 'ntZ 二 Z°pt4、 两直线的夹角：s - (mi,ni, pi) , $ = (me, P2),5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，第九章多元函数微分法及其应用(一) 基本概念1、距离，

6、邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：(1)定义：设n维空间内的点集D是R2的一个非空子集， 称映射f: DIR为定义在D上的n元函数。当n2时，称为多元函数。记 为U=f (Xi, X2, ，Xn) , ( Xi , X2, ,Xn) Do3、 二次函数的几何意义：由点集 D所形成的一张曲面。如z=ax+by+c的 图形为一张平面，而z=x2+y2的图形是旋转抛物线。4、极限：(1)定义：设二元函数f(p)=f(x,y) 的定义域D,p0(x0,y0)是D 的聚点D,如果存在函数A对于任意给定的正数£ ,总存在正数3 ,使

7、得当点 p (x,y ) DAU( p0, 3)时，都有 I f(p)-A I = I f(x,y)-A I<e 成立，那 么就称常数A为函数f(x,y)当(x,y)宀(x 0,y 0)时的极限，记作多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：(1)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在 D上有界，且能取得它的最大值和最小值；(2)在有界区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的 任何值6、偏导数：设有二元函数z=f(x,y)，点(xo,y。)是其定义域D内一点。把 y固定在y0而让x在x0有增量(,相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x/y的偏增

8、量)如果:与/ 之比当(0/ f 0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x/y的偏导数记作fx(X0，y0)=驭。f(x。 x, y。)- f(x。，y。)也x7、混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数fxy(x,y)和f yx(x,y)在D内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。C f C fc f& 方向导数：COS：COS -其中:为I的方向角。c i c xc y9、全微分：如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量 &=f(x , y%)-f(x,y)可以表示为:二A&+B%+o( p，其中A、B不依

9、赖于 ,仅与x,y有关，当PTD,此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，A&+ B称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为(二) 性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:微分法偏导数存在3必要条件41)定义:2)复合函数求导：链式法则z f (u,v),u 二 u(x,y),v 二v(x, y),-:zz :u :z v :z : zL、L、L、：u z v+X ： U x v ： X '： y ： u3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数z=f（x,y）的极值f0解方程组f

10、 = 0求出所有驻点，对于每一个驻点Ty 0(x°,y°)，令A=fxx(xo,y°)，B=fxy(x°,yo)，C = fyy(x°,yo)， 若AC - B20 , A 0，函数有极小值，若AC - B20 , A舟0，函数有极大值； 若AC - B2： 0，函数没有极值； 若AC - B2 = 0，不定。2)条件极值：求函数z二f(x,y)在条件(x,y) = O下的极值令：L(x, y)二 f (x, y) (x, y) Lagrange 函数Lx = O解方程组 Ly = 0(x, y) 72、几何应用1) 曲线的切线与法平面x =

11、x(t)曲线y = y(t)，则I上一点M (X0,y0,z。)(对应参数为t°)处的Z 二 z(t)切线方程为:X X。X(to)二 y 一 y° 二y (t。)Z- z0z(t。)X (to)(x - X。) y (to)( y - y。) Z (to)( z - z。)= 02) 曲面的切平面与法线z Z。曲面二：F (x, y, z)二0 ,贝上一点M(Xo,yo,Zo)处的切平面方程为:口x - x。y - y°法线方程为：Fx(x。，y°,z。)Fy(x°, y°, z°) Fz(x°, y°

12、, z°)第十章重积分（一）二重积分1、 定义：f（x,y）d；D2、性质：（6条）送k=1-u/kkaAkn3、几何意义：曲顶柱体的体积4、计算：1）直角坐标D = (x, y)(x)D = (x, y)i(y)* 2(y) ?2）极坐标） 三重积分1、定义：2、性质：3、计算：1）直角坐标i"r；f (x,y,z)dv =n辄;j(k'k' k)50f (x, y,z)dz Z2(x,y)f (x,y,z)dv = dxdyDzi(x,y)b. f(x,y,z)dv 二 dz D f(x,y,z)dxdy “先二DZ亍_一 ”2) 柱面坐标x = : c

13、os 寸y = sin 二I，z 二 z111 f (x, y, z)d v !丨丨，f (' cos， sin, z)'d'dr dz3) 球面坐标(三)应用曲面 S: z = f (x, y), (x, y) D 的面积：第十二章无穷级数(一)常数项级数1、定义：O01)无穷级数：' u u1 u2 uunn=1n部分和：6八如二u1 U2Un，心QO正项级数：a Un，Un -0n =1QO交错级数：v DS，Un _0n =4则称级数a Un收敛，否则称级数a Unn =1n=：12）级数收敛:若lim Sn = S存在，nj co7发散3）绝对收敛：送

14、片收敛，则送Un绝对收敛; n -1nd条件收敛：Un收敛，而Un发散，则Un条件收敛n =1n 丄n =1定理：若级数瓦Un|绝对收敛，则瓦片必定收敛。n 丄n =12、性质：1）级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；O0OQO2） 级数V an与bn分别收敛于和s与，则' （an-bn）收敛且，其n Tn =1n P禾口为s+ （T3）在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；4）级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。QO5） 必要条件：级数a Un收敛即limUn 7.nm3、审敛法正项级数：V Un , Un -0n=11）定义：

15、lim Sn二S存在；QO2）a Un收敛=S、有界;n T3）比较审敛法：a Un, a Vn为正项级数，且UVn （n=1,2,3）n =1n =1OOQO若v Vn收敛，则a Un收敛；若v叫发散，则V“发 n =1n=1n=1n=1m，当散4）比较法的推论:a Un ,Vn为正项级数，若存在正整数n Jn -1n m时，比空kVn,而v Vn收敛，贝y v Un收敛；若存在正整数 m ,n丄n丄当n m时，Un - kvn，而Vn发散，则v Un发散.n =1nV做题步骤：找比较级数（等比数列，调和数列，p级数1/np）;比较大小；是否收敛5)比较法的极限形式：设u心a Vn为正项级数

16、,n 二1(1)若limUnnVoOoO，而a Vn收敛，则Un收敛;n =1n -1(2)若limUnlimUnQOQO，而a Vn发散，则v Un发散.n dn T6)oO比值法：v Un为正项级数,n=1limUn 1QO"，则当l : 1时，级数a Unn=1收敛；则当I 1时，级数Un发散；当1=1时，级数Un可能收敛也可n =1n =1能发散.设吧，则当l 1时，级数UnCO7)根值法：Un为正项级数,n 二1收敛；则当I 1时，级数Un发散；当1=1时，级数Un可能收敛也可n =1n =1能发散."收敛，|q|<1发散，q - 1p -级数:1n7收敛，p 1发散，p8)极限审敛法：0为正项级数，若nim：n叮0或nimzn=，QO则级数a山发散；若存在p 1，使得lim np u = I (0乞I ：)，则级数 心foOv Un收敛