大学线性代数考试模拟试题答案1,精品资料

1、学期：2005至2006学年度第 二学期线性代数得分x aa(io 分)计算行列式2? = f. . 二f.a axXa-xa x-aa0D尸a-x0x-a? ? ? ? ? ? ?a-x00解 将第一行乘(-1)分別加到其余各行，得再将各列都加到第一列上，得?Dn=x+(n-V)a 0aa? ? ? ijx-a0? ? ?J0x-a? ? ? J0=x+(n-)a(x-a" 0000 x-a8分1 0分 的逆阵(10分)得分求矩阵设人=3<8 3Q2丿0000.5J25 8< k-I B2 n5 2zf kK-4OO3U>0OO52O/!-_2 3 0 05 8设

2、四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,己知彳，彳，处是它的三个解向量且7= (2, 3, 4, 5)：帀汁少=(1, 2, 3, 4)；求该方程组的通解.(12分) 解: 由于方程组中未知数的个数是 4,系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解 系含有 一个向量,且由于处,处均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得2 | 一(帀 2+帀 3)=(帀 1 一帀 2)+ (帀卜 “3)为其基础解系向量(3, 4,5, 6) r10分故此方程组的通解为:x=k(3,4, 5, 6 卩 +(2, 3, 4, 5):伙 wR)C知RF勺两个基为12分得分3= (1, 1, 1)： =

3、 (1, 0, 一 1)： 33= (1, 0, 1)1 &= (1, 2, 1)： 3)r.求由基列弧幺到基加厶的过渡矩阵尺(12分)Z>2= (2, 3, 4):Z>3= (3, 4,q 1 P(4,禺,。3)=(弓，02，?)1 0 0(勺，仑2,仑3)仃 1 1Y1=1,。2, “3 10 0'lli 1 丿1于是(方 1, 3) = ("1, *2,勺)2 3U 4角由基设切如绍 到是三维单位坐标过渡矩阵测'I -1 13、ri 1 1、一 1(12 3)4=(4卫2卫3)1 0 02 3 43,1 11(14 3丿得分二fl 1 1、1

4、 0 0(1-1 1'五、-1<1 2 3)2 3 4<2 3 4)0-10J 4 3:O<-1°设丿12<2 1 1 1、/ 1 2A2解B=1 A 1 A0 A-l1 22(1-A)J 1 2 A2；(° 0(l-2)(2+2) (1-2)(Z+1) 27R(A) =3.因此当冷1且冷-2时方程组有唯一解一 ？9分(3)有无穷多解？ (15分)? 6分 +冷+冯=1V X1+AX2+A3=2问2为何值时，此方程组 (1)有唯一解(2)无解 卯+%+加3=/12要使方程组有唯一解，必须(2)要使方程组无解，必须R(A)<R(B),故(

5、1 一 2)(2+/1)=0, (1-2)(24-1 )铅 0.因此当2=1时，方程组有无穷多个解. 15分1): (2,1, 0); (1,4, l)r是线性相关还是线性无关；(2)试用施密特法把向量组佝宀孔)(3)要使方程组有有无穷多个解，必须R(A)=R(B)<3,故(1 一 2)(2+/1)=0, (1 -2)(2+1 )2=0.正交化(16分)解：以所得分量为列向量的矩阵记为向量组因为3,a= <-3 2 4、j 1 1 丿(0 2 2 丿<-1 2 1)0 1 13 00丿(2)根据施密特正交化方法，所以R(A)=2小于向量的个数，从而所给向量组线性相关b、 =a

6、)= 1 h 久如丹妇他丹一1 C7七、 得分| 己知3阶矩阵A的特征值为-1,2,3,求卜3-5屮+7斗(10分)解令仅兄)=,_5才+7入 .2分则处1)=13,仅2)=2,仅3)=3是仅A)的特征值， 6分故 |A3-5AMA|=|aA)|=a1)-a2)八3)=-13x2x3=-78-10分八、得分求一个正交变换将二次型 f(x X2X3)= 2x 2 +3X22 +3X32 +4吃兀3化成标准形(15分)=(2-2)(5-2)(1-A)解二次型的矩阵为人=O3得A的特征值为入=2,兄2=5，兄3=1当入=2时，解方程(A-2E)x=A由fO 0 0)<0A-2E= 012(0 2 1 丿得特征向量(1,0, 0/.取刃=(1,0,0)"当走=5时，解方程(A-5E)*0,由l丿OA-5E=OOO得特征向量(0, 1, 1/.取卩2