误差理论与数据处理总结

1、Chasing the dream 误差理论与数据处理2012小破孩XXX101201班 2012/6/7第一章 绪论第一节 研究误差的意义 随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高，虽可将误差控制的越来越小，但终究不能完全消除它。误差存在的必然性和普遍性，已为大量实践所证明。为了充分认识并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究。研 究 误 差 的 意 义第二节 误差的基本概念一、误差的定义及表示法误差、测量值和真值三者之间的关系：误差=测量值-真值（一）绝对误差 绝对误差=测得值-真值（二）相对误差 相对误差=绝对误差真值绝对误差测得值（三）引用误差 引

2、用误差=示值误差测量范围上限二、误差来源 标准量具误差 (一) 测量装置误差 仪器误差 附件误差 (二) 环境误差 (三) 方法误差 (四) 人员误差 三、误差分类 1.按对误差掌握的程度分 （一）系统误差 2.按误差出现规律分 （二）随机误差 （三）粗大误差 第三节 精度精度可分为准精度 它反映测量结果中系统误差的影响程度精密度 它反映测量结果中随机误差的影响程度精确度 它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。第四节 有效数字与数据运算 （一）有效数字 1）若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。 （二）数字舍入

3、规则 2）若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变。 3）若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加1。 1) 在近似数加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位数相同。 2）在近似数乘除运算时，各运算数据以有效数最少的数据为准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最好结果英语有效位数最少的数据位数相同。（三）数据运算规则 3）在近似数平方或开方运算时，平方相当于乘法运算，开方是平方的你运算，故可按乘除运算处理。 4）

4、在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用（n+1）位对数表，以免损失精度。 5）三角函数运算中，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多。第二章 误差的基本性质与处理 第一节 随机误差 一、随机误差的产生原因 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因素构成，主要有以下几个方面： 二、正态分布 若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的随机误差一般具有一下几个特征： （1）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性。 （2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性。 （3）在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，这

5、称为误差的有界性。 （4）随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的抵偿性。 三、算术平均值 （一）算术平均值的意义 设l1，l2，ln为n次测量所得的值，则算术平均值为=l1+l2+lnn= （二）算术平均值的计算校核 算术平均值及其余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。 其代数和为=- n 当求得的为未经凑整的准确数时，则有=0 用残余误差代数和校核算术平均值及其残余误差，其规则如下： 1）残余误差代数和的应符合： 当= n，求得的为非凑整的准确数时，为零； 当>n，求得的为凑整的非准确数时，为正，其大小为求时的余数; 当<n，求得的为凑

6、整的非准确数时，为负，其大小为求时的亏数。 2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n为偶数时，nA2； 当n为奇数时，（n2-0.5）A。（A为实际求得的算术平均值末位的一个单位） 四、测量的标准差 （一）测量列中单次测量的标准差 （二）测量列算术平均值的标准差 别捷尔斯法（三）标准差的其他测量方法 级差法 最大误差法 五、测量的极限误差 （一）单次测量的极限误差 （二）算术平均值的极限误差 六、不等精度测量 由于单次测量精度皆相同，其标准差均为，则各组算术平均值的标准差为：=ni i=1，2，m 由此可得=2 （三）加权算术平均值其表达式为：=+ （四）单位概念 （五）加权算术平均值的标准差

7、七、随机误差的其他分布 （一）均匀分布 （二）反正弦分布 （三）三角形分布 （四）2分布 （五）分布 （六）F分布第二节 系统误差 一、系统误差产生原因 （1）测量装置方面的因素 （2）环境方面的因素 （3）测量方法的因素 （4）测量人员方面的因素 二、系统误差的特征 （一）不变的系统误差 （二）线性变化的系统误差 （三）中期性变化的系统误差 （四）复杂规律变化的系统误差 （详细图表见书P35） 三、系统误差的发现 （一）实验对比法 （二）残余误差观察法 1.用于发现线性系统误差 （三）残余误差校核法 2.用于发现周期性系统误差 可用统计准则进行判断，令 u= 若u >n-1 2则认为该

8、测量列中含有周期性系统误差。它能有效地发现周期性系统误差。 （四）不同公式计算标准差比较法 （五）计算数据比较法 （六）秩和检验法 （七）t检验法 四、系统误差的减小和消除 （一）从产生误差根源上消除系统误差 （二）用修正方法消除系统误差 （三）不变系统误差消除法 1.代替法被测量=标准量+差值 2.抵消法 3.交换法 （四）线性系统误差消除法对称法 (五)周期性系统误差消除法半周期法 周期性系统误差一般可表示为= 设=时，误差为 = 当=+时，即相差半周期的误差为= 取两次读数平均值则有 由此可知半周期法能消除周期性误差。 第三节 粗大误差 一、粗大误差的产生原因 （1）测量人员的主观原因；

9、 （2）客观外界条件的原因 二、防止与消除粗大误差的方法 （一）3准则（莱以特准则） （二）罗曼诺夫斯基准则 （三）格罗布斯准则 （四）狄克松准则 第四节 测量结果的数据处理实例 一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例 二、不等精度直接测量列测量结果的数据处理实例 第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差 一、函数系统误差计算在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且一般为多元函数，其表达式为式中，为各个直接测量值；为间接测量值。则上式的函数增量为从而可近似得到函数的系统误差为 二、函数随机误差计算 函数的一般形式为 三、误差间的相关关系和相关系数 （一）误差间的线性相关关系（二）相关系

10、数 若两误差与之间的相关系数为，则有式中为误差与之间的协方差；，为分别为误差与的标准差。根据概率论可知，相关系数的取值范围是当时，两误差与正相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均地增大; 当时，两误差与负相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均地减小; 当=+1时，称为完全正相关；=-1时，称为完全负相关。此时两误差与之间存在着确定的线性函数关系； 当=0时，两误差间无线性关系或称不相关，即一误差增大时，另一误差取值可能增大，也可能减小。 1.直接判断法 2.实验观察和简略计算法 （1）观察法 （2）简单计算法 （3）直接计算法3.理论计算法 如果求得两个误差与间为线性相关，即=，则相关系数

11、为 +1 -1 第二节 随机误差的合成 一、标准差的合成 根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标注差为一般情况下各个误差互不相关，相关系数，则有 二、极限误差的合成 则按方和根法合成的总极限误差为第三节 系统误差的合成 一、已定系统误差的合成 按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为 二、未定系统误差的合成 （一）未定系统误差的特征及其评定 1.标准差的合成 （二）未定系统误差的合成 2.极限误差的合成第四节 系统误差与随机误差的合成 一、按极限误差合成 测量结果平均值误差的总极限误差公式为 二、按标准差合成 测量结果平均值的总标准差公式为 第五节 误差分配 一、按等作用原则分配误差

12、二、按可能性调整误差 三、验算调整后的总误差 第六节 微小误差的取舍准则 第七节 最佳测量方案的确定 函数的标准误差为 一、选择最佳函数误差公式 二、使误差传递系数等于零或为最小第四章 测量不确定度 第一节 测量不确定的基本概念 一、概述 二、测量不确定度定义 第二节 标准不确定度的评定 标准不确定度：用标准差表征的不确定度。一、标准不确定度的A类平定A类评定用统计分析法评定，其标准不确定度u等同于由系列观测值获得的标准差。二、标准不确定度的B类评定B类评定不用统计分析法，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到标准不确定度。三、自由度及其确定（一）自由度概念将不确定度计算表达

13、式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数，所得差值称为不确定度的自由度。（二）自由度的确定 1.标准不确定度A类评定的自由度 2.标准不确定度B类评定的自由度第三节 测量不确定度的合成 一、合成标准不确定度 当测量结果受多重因素影响形成了若干个不确定度分量时，量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度表示。二、展伸不确定度展伸不确定度由合成标准不确定度 乘以包含因子k得到，记为U。其中k由t分布的临界值 给出， 是合成标准不确定度的自由度。三、不确定度的报告当测量不确定度用合成标准不确定度表示时，应给出合成标准不确定度 及其自由度 ；当测量不确定度用展伸不确定

14、度表示时，除给出展伸不确定度U外，还应说明计算式所依据的合成标准不确定度 、自由度 、置信概率P和包含因子k。 第四节 测量不确定度应用实例 一、测量不确定度计算步骤 1）分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量； 2）评定标准不确定度分量，并给出其数值和自由度； 3）分析所有不确定度分量的相关性，确定个相关系数； 4）求测量结果的合成标准不确定度及自由度； 5）若需要给出展伸不确定度，则将合成标准不确定度乘以包含因子k，得展伸不确定度； 6）给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值y及合成标准不确定度或展伸U，并说明获得它们的细节。 二、体积测量的不确定度计

15、算 三、湿度计检定的不确定度计算 四、粘度测量的不确定度计算 五、量块校准的不确定度计算 六、砝码校准的不确定度计算第五章 线性参数的最小二乘法处理 第一节 最小二乘法原理 测量结果的最可信赖值应在残余误差平方和为最小的条件下求出。 线性参数的误差方程式： 第二节 正规方程 一、等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程 可表示为矩阵形式：，则：，。二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程可表示为矩阵形式： ，则：，。三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程四、最小二乘法原理与算术平均值原理的关系 第三节 精度估计 一、测量数据的精度估计 等精度测量数据的精度估计： ，不等精度测量数据的

16、精度估计：。 二、最小二乘估计量的精度估计：等精度测量： ，不等精度测量： 第四节 组合测量的最小二乘法处理 组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量，然后对这些数据进行处理，从而求的待测参数的估计量，并给出其精度估计。第六章 回归分析第一节 回归分析的基本概念 一、函数与相关人们通过实践，发现变量之间的关系分为两类：函数关系和相关关系，二者并无严格的界限。回归分析：回归分析就是应用数学的方法，对大量的观测数据进行处理，从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。二、回归分析与最小二乘法的关系联系：回归分析是基于最小二乘法原理，回归方程系数的求解与最小二乘法有一定的相似性。区别：最小二乘法只对

17、经验公式待求参数的估计量的精度进行评价，不研究公式整体质量，回归分析则对经验公式整体精度进行分析和检验。第二节 一元线性回归 一、一元线性回归方程（一）回归方程的求法：1）由已知数据画散点图2）假设一直线方程，带入各组数据3）用最小二乘法求解未知量（二）回归方程稳定性，愈小，方程愈的稳定二、回归方程的显著性检验 称为回归平方和，考虑了x与y线性关系部分在总的离差平方和中所占的成分 称为残余平方和，它是除了x对y线性影响只外的的一切因素对y的变差作用。，查F分布表，判定回归是否显著。第七章 动态测试数据处理的基本方法 第一节 动态测试基本概念 一、动态测试 动态测试的被测量是随时间或空间或其他参

18、数变化的。仪器的输入量测试及结果（数据或信号）也是随时间而变化 二、动态测试数据的分类 （一）确定性数据 （二）随机性数据 第二节 随机过程及其特征 一、研究过程理论的实际意义 随机过程理论就是研究随机性表现为一个过程的随机现象的学科，通常它是研究动态测量过程及其测量结果的理论数据。 二、随即过程的基本概念 三、随机过程的特征量 1.概率密度函数 2.均值、方差和方均值 3.自相关函数 4.谱密度函数 第三节 随机过程特征量的实际估计 一、平稳随机过程及其特征量 （一）平稳随机过程 （二）平稳随即过程的特征量 1.平稳随机过程的均值和方差 2.平稳随机过程的自相关函数 3.平稳随机过程的谱密度函数 （三）平稳随即过程特征量的实验估计 二、各态历经随即过程及其特征量 三、非平稳过程的随机函数 第四节 谱估计的基本方法 一、谱估计的算法原理 （一）周期图法 （二）自相关法 二、谱估计的质量分析概念 在统计性上主要有无偏性与一致性；在数据处理上主要与数据截断、离散化、窗函数选取等有关的分辨率与能量泄漏。 （一）无偏性 （二）一致性 （三）分辨率 （四）泄漏 三、现代谱分析法简介 第五节 动态测试误差及其评定8 一、概述 （一）动态测试误差的基本概念 动态测试误差是指动态测试中，被测量任一时刻的测得值减去被测量同一时刻的真值所得的代数差，即 （二）动态测试数据与